2017-2018学年上海市金山区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）
1. 下列直线与一次函数y=-2x+1的图象平行的直线是（ ）
A. B. C. C. B.
D. ． D.
2. 下列方程中是二项方程的是（ ）
A. B. 3. 下列方程中有实数根的是（ ）
A.
C.
4. 下列事件中是必然事件的是（ ）
D. ． B. 明天下雨
D. 明天买彩票中奖．
A. 明天太阳从东边升起 C. 明天的气温比今天高
5. 下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 下列说法正确的是（ ）
A. 长度相等的两个向量叫做相等向量 B. 只有方向相同的两个向量叫做平行向量
C. 当两个向量不相等时，这两个有向线段的终点一定不相同 D. 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
3
7. 方程x=8的根是______． 8. 方程 =2的解是______
2
9. 关于x的方程ax+x=1的解是______．
10. 一次函数y=2x+1的图象与x轴的交点坐标为______．
11. 已知直线y=kx+b（k≠0）在y轴上的截距是-2，且与直线y=3x-1平行，那么该直线
的解析是______． 12. 已知分式方程
+=，设
=y，那么原方程可以变形为______．
13. 有一个质地均匀的正方体，其六个面上分别写着直角梯形、等腰梯形、矩形、正方
形、菱形、平行四边形，投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图形的概率是______．
14. 如果一个多边形的每一个内角都等于120°，那么这个多边形的边数是______． 15. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，
则∠ACP度数是______度．
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16. 如图，已知AD是△ABC的中线， ， ，
那么 =______． 17. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD=3，
联结BD，若△BDC是等边三角形，那么梯形ABCD的面
积是______．
18. 如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=3，把矩形ABCD绕点A
顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，那么线段DP的长度等于______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19. 某中学八年级学生到离学校15千米的青少年营地举行庆祝十四岁生日活动，先遣
队与大部队同时出发，已知先遣队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍，预计先遣队比大部队早0.5小时到达目的地，求先遣队与大部队的行进速度．
四、解答题（本大题共6小题，共46.0分） 20. 解方程： - =1
21. 解方程组
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22. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，∠C=30°，点E、F分别是边AB、CD的
中点，作DP∥AB交EF于点G，∠PDC=90°，求线段GF的长度．
AD∥BC，AB=CD，23. 如图，在梯形ABCD中，过点D作DE⊥BC，
垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE，联结BF、CD、AC．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形．
（2）联结BD，如果AD=AB，BD=DF，求证：四边形ABFC是矩形．
24. 如图，正方形ABCD，AB=4，点M是边BC的中点，点E是边AB上的一个动点，
作EG⊥AM交AM于点G，EG的延长线交线段CD于点F． （1）如图①，当点E与点B重合时，求证：BM=CF；
（2）设BE=x，梯形AEFD的面积为y，求y与x的函数解析式，并写出定义域．
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25. 如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半
轴交于点Q，∠QAO=45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y=-2x+8与直线AQ交于点P． （1）求直线AQ的解析式；
（2）在y轴正半轴上取一点F，当四边形BPFO是梯形时，求点F的坐标．
（3）若点C在y轴负半轴上，点M在直线PA上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边
形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：与一次函数y=-2x+1的图象平行的直线解析式中，k=-2，b≠1， ∴与一次函数y=-2x+1的图象平行的直线是y=-2x-1， 故选：B．
两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，常数项不相等，可确定函数解析式．
本题考查了两条直线平行问题，解题的关键是掌握两直线平行，则k的值相同且b不相等． 2.【答案】C
【解析】
解：A、不是二项方程，故本选项错误； B、不是二项方程，故本选项错误； C、是二项方程，故本选项正确； D、不是二项方程，故本选项错误； 故选：C．
二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的右边是0，结合选项进行判断即可．
本题考查了二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0． 3.【答案】B
【解析】
解：A、B、
=-1，没有实数根； =-x，两边平方得：x+2=x2，
解得：x=1或x=-2，
经检验x=1是无理方程的解；
C、由x2+y2+1=0，得到x2+y2=-1，无解； D、方程整理得：x=1，
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经检验x=1是增根，分式方程无解， 故选：B．
根据负数没有平方根，平方的结果为非负数得出所求即可．
此题考查了无理方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4.【答案】A
【解析】
解：A、明天太阳从东边升起，是必然事件，故此选项正确；
B、明天下雨，事件可能发生，也可能不发生，为不确定事件，即随机事件，故不符合题意误
C、明天的气温比今天高，事件可能发生，也可能不发生，为不确定事件，即随机事件，故不符合题意误
D、明天买彩票中奖事件可能发生，也可能不发生，为不确定事件，即随机事件，故不符合题意误． 故选：A．
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
此题主要考查了随机事件，关键是理解必然事件就是一定发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养． 5.【答案】A
【解析】
解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项正确； B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误； C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误； D、正方形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误． 故选：A．
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根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，正确理解定义是解题关键． 6.【答案】D
【解析】
解：A、错误．应该是长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量； B、错误．平行向量的方向可以相反；
C、错误．两个向量不相等时，这两个有向线段的终点可能相同； D、正确．减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量； 故选：D．
根据相等向量、平行向量的性质即可判断．
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握相等向量、平行向量的性质，属于中考常考题型． 7.【答案】2
【解析】
3
解：x=8，
解得：x==2．
故答案为：2．
直接进行开立方的运算即可．
本题考查了立方根的知识，注意掌握开立方的运算． 8.【答案】x=-1或4
【解析】
2
解：方程两边平方得，x-3x-4=0，
（x-4）（x+1）=0 x-4=0，x+1=0， x1=4，x2=-1，
经检验，x=4或-1都是原方程的解， 则原方程的解为x=4或-1，
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故答案为：x=4或-1．
方程两边平方，化为一元二次方程，利用因式分解法解出一元二次方程，检验得到答案．
本题考查的是无理方程的解法，解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程． 9.【答案】
【解析】
2
解：方程合并得：（a+1）x=1，
解得：x=故答案为：
，
方程合并后，将x系数化为1，即可求出解．
此题考查了分式的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10.【答案】（- ，0）
【解析】
解：在y=2x+1中令y=0，可得2x+1=0，解得x=-， ∴一次函数y=2x+1的图象与x轴的交点坐标为（-，0）， 故答案为：（-，0）．
令y=0可求得x的值，则可求得与x轴的交点坐标．
本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，掌握函数图象与坐标轴的交点所满足的条件是解题的关键． 11.【答案】y=3x-2
【解析】
解：∵直线y=kx+b平行于直线y=3x-1， ∴k=3． 又∵截距为-2， ∴b=-2，
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∴这条直线的解析式是y=3x-2． 故答案是：y=3x-2．
根据互相平行的直线的解析式的值相等确定出k，根据“截距为-2”计算求出b值，即可得解．
本题考查了两直线平行的问题，熟记并利用平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 12.【答案】y+ = 【解析】
解：∵分式方程+=，设=y，
∴原方程可以变形为y+=， 故答案为：y+=
根据设出的y，将分式方程变形即可．
此题考查了换元法解分式方程，当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化． 13.【答案】 【解析】
解：∵在直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四边形这6个四边形中，对角线相等的有等腰梯形、矩形、正方形这3个，
∴投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图形的概率是=， 故答案为：．
由这6个图形中对角线相等的有等腰梯形、矩形、正方形这3个，根据概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握常见特殊四边形的性质及随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14.【答案】6
【解析】
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解：∵多边形的每一个内角都等于120°， -120°=60°， ∴多边形的每一个外角都等于180°÷60°=6． ∴边数n=360°故答案为：6．
先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除即可得到边数． 本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
15.【答案】22.5
【解析】
解：∵ABCD是正方形，
， ∴∠DBC=∠BCA=45°
∵BP=BC，
-45°）=67.5°， ∴∠BCP=∠BPC=（180°-45°=22.5°． ∴∠ACP度数是67.5°
根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，从而可求得∠BCP的度数，从而就可求得∠ACP的度数．
此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质，平分每一组对角． 16.【答案】
【解析】
解：∵BD=DC，
==+∴故答案为
-．
=-+=-，
因为BD=DC，可得==+=-+=-；
本题考查平面向量，三角形中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
17.【答案】
【解析】
解：∵△BDC是等边三角形， ，BD=DC， ∴∠BDC=60°∵AD⊥DC，
-60°=30°， ∴∠ADB=90°
∵AB∥DC，AD⊥DC，AD=3，
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， ∴∠DAB=90°∴AB=∴DC=2
，
，BD=2
，
∴梯形ABCD的面积===
，
故答案为：
根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质以及梯形的面积解答即可．
此题考查了梯形的性质，关键是根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质以及梯形的面积解答． 18.【答案】 ， 【解析】
解：如图，
当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，则AP=AD=5， 在Rt△ABP中，BP=∴PC=5-4=1， 在Rt△PCD中，DP=
=
； =4，
当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P′处时，则AP′=AD=5， 在Rt△ABP′中，BP′=∴P′C=5+4=9， 在Rt△P′CD中，DP′=综上所述，线段DP的长度为故答案为
或3
．
=3
； 或3
．
=4，
如图，当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，利用旋转的性质得AP=AD=5，再利用勾股定理计算出BP=4，则PC=1，接着
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利用勾股定理计算出DP的长；当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P′处时，利用同样的方法可计算出DP′的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
19.【答案】解：设大部队的行进速度为x千米/时，则先遣队的行进速度为1.2x千米/
时．根据题意，可列出方程 ．
解得x=5．
经检验，x=5是原方程的根，且符合题意．
5=6． 当x=5时，1.2x=1.2×
答：大部队的行进速度为5千米/时，先遣队的行进速度为6千米/时 【解析】
设大部队的行进速度为x千米/时，则先遣队的行进速度为1.2x千米/时；根据“先遣队比大部队早0.5小时到达目的地”列分式方程解出即可．
本题是分式方程的应用，属于行程问题；有两个队：先遣队和大队；路程都是15千米，时间相差半小时，速度：先遣队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍；根据速度的关系设未知数，根据时间关系列方程，注意未知数的值有实际意义并检验．
20.【答案】解： = +1 x+2=x+2 +1 1=2 【解析】
将方程化为
=
+1，然后两边平方即可求出答案．
本题考查无理方程的解法，解题的关键是将无理方程化为整式方程来解答，本题属于基础题型． 21.【答案】解：
，
22
把①代入②得：x-4x（x+1）+4（x+1）=4， x2+4x=0，
解得：x=-4或x=0，
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当x=-4时，y=-3， 当x=0时，y=1，
． 所以原方程组的解为： ， 【解析】
22
把①代入②得出x-4x（x+1）+4（x+1）=4，求出x，把x的值代入①求出y即
可．
本题考查了解高次方程组，能根据把高次方程组转化成一元二次方程是解此题的关键．
22.【答案】解：∵AD∥BC，DP∥AB，
∴四边形ADPB是平行四边形．
∵点E，F分别是边AB，CD的中点， ∴EF∥BC∥AD，
∴四边形ADGE和四边形EGPB都是平行四边形， ∴DG=GP= DP= AB．
∵AB=4，∠C=30°，∠PDC=90°， ∴PC=2AB=8=2GF， ∴线段GF的长度是4． 【解析】
由AD∥BC，DP∥AB可得出四边形ADPB是平行四边形，由点E，F分别是边AB，CD的中点可得出EF∥BC∥AD，进而可得出四边形ADGE和四边形EGPB都是平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DG=GP=DP=AB，在Rt△CDP中通过解含30°角的直角三角形可求出CP的长度，再利用三角形的中位线定理即可求出GF的长度．
本题考查了梯形的中位线定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质以及解含30度角的直角三角形，通过解含30°角的直角三角形求出CP的长度是解题的关键．
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23.【答案】证明：（1）联结BD．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC， ∴AC=BD，
∵△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=BD，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB． ∴∠ACB=∠DBC．
又∵DE⊥BC，EF=DE， ∴BD=BF，∠DBC=∠FBC， ∴AC=BF，∠ACB=∠CBF， ∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形； （2）∵BC垂直平分DF， BD=BF，∠BED=90°， ∵BD=DF，
∴△BDF是等边三角形， ∴∠BDE=60°，∠DBE=30°， ∵AD=AB，AD∥BC，AB=CD， ∴∠ABF=90°，
∵四边形ABFC是平行四边形， ∴四边形ABFC是矩形 【解析】
（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）利用等边三角形的判定和性质以及进行的判定解答即可．
本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大，注意各知识点的融会贯通．
，又∠CBF+∠ABG=90°， 24.【答案】（1）证明：∵GE⊥AM，∴∠BAM+∠ABG=90°在△BAM和△CBF中，∠BAM=∠CBF，AB=BC，∠ABM=∠BCF，
∴△BAM≌△CBF（ASA），∴BM=CF；
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（2）作EH⊥CD于H，由（1）得：△BAM≌△HEF， ∴HF=BM=2，∴DF=4-2=x=2-x，
∴ ＜ ，
答：y与x的函数解析式为∴ ＜ ． 【解析】
（1）证明△BAM≌△CBF（ASA）即可；
（2）按照（1）的思路，作EH⊥CD于H得：△BAM≌△即可求解．
本题考查的是二次函数的应用，涉及到三角形全等的知识，此类题目通常（1）为（2）提供思路．
25.【答案】解：（1）设直线AQ的解析式为y=kx+b，
∵直线AQ在y轴上的截距为2， ∴b=2，
∴直线AQ的解析式为y=kx+2， ∴OQ=2，
在Rt△AOQ中，∠OAQ=45°， ∴OA=OQ=2， ∴A（-2，0）， ∴-2k+2=0， ∴k=1，
∴直线AQ的解析式为y=x+2；
（2）由（1）知，直线AQ的解析式为y=x+2①， ∵直线BE：y=-2x+8②， 联立①②解得 ，
∴P（2，4），
∵四边形BPFO是梯形， ∴PF∥x轴， ∴F（0，4）；
（3）设C（0，c，）
∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，
①当CQ是对角线时，CQ与MN互相垂直平分， 设C（0，c，），
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∵CQ的中点坐标为（0，∴点M，N的纵坐标都是∴M（∴
），
，
，
），N（
，），
+
=0，
∴c=-10，
∴C（0，-10），
②当CQ为边时，CQ∥MN，CQ=MN=QM， 设M（m，m+2）， ∴N（m，-2m+8）， ∴|3m-6|=2-c= |m|
∴m=或m=，
∴c=或c=（舍）
∴ ，∴（0，
，
）或
C（0，-10）
【解析】
（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出点P的坐标，进而得出点F的纵坐标和点P的纵坐标相同，即可得出结论；
（3）分两种情况，利用菱形的性质建立方程，求解即可得出结论．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，梯形的性质，两直线的交点坐标的求法，菱形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
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