基于ANFIS与多模型的一类非线性系统的自适应控制方法

第６１卷第８期　化工　学　报　ＶｏＩ．６１　Ｎｏ．８　２０１０年８月　ＣＩＥＳＣ　Ｊｏｕｒｎａｌ　Ａｕｇｕｓｔ　２０１０　基于ＡＮＦＩＳ与多模型的一类非线性系统的　自适应控制方法　张亚军　，柴天佑　，富　月　（　东北大学流程工业综合自动化教育部重点实验室；　东北大学自动化研究中心，辽宁沈阳１１０００４）　摘要：针对一类不确定的离散时间零动态不稳定非线性系统，提出了一种基于自适应神经模糊推理系统　（ＡＮＦＩＳ）与多模型的非线性自适应控制方法。该方法由线性鲁棒自适应控制器，基于ＡＮＦＩＳ的非线性自适应控　制器以及切换机制组成。线性控制器用来保证闭环系统输人输出信号有界，非线性控制器用来改善系统性能。　切换机制通过对上述两种控制器的切换，保证闭环系统输入输出有界的同时，改善系统性能。在采用ＡＮＦＩＳ作　为系统未建模动态补偿器时，首先用一个连续、单调、可逆的一一映射把可能无界的未建模动态的定义域转化　成一个有界闭集，保证了ＡＮＦＩＳ的万能逼近特性成立的前提条件。而且，ＡＮＦＩＳ能减小ＢＰ神经网络收敛速度　慢和容易陷入局部极小的问题，改善了控制效果。建立了保证系统稳定性的引理，并给出了闭环系统的稳定性　和收敛性分析　通过仿真比较，说明了所提方法的有效性。　关键词：非线性系统；不稳定零动态；ＡＮＦＩＳ；多模型；切换　中图分类号：ＴＰ　２７３　文献标识码：Ａ　文章编号：０４３８—１１５７（２０１０）０８—２０８４—０８　Ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＡＮＦＩＳ　ａｎｄ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｍｏｄｅｌｓ　ＺＨＡＮＧ　Ｙａｊａｎ　，ＣＨＡＩ　Ｔｉａｎｙｏｕ　，ＦＵ　Ｙｕｅ　（　Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｐｒｏｃｅｓｓ　Ｉｎｄｕｓｔｒｙ，Ｍｉｎｉｓｔｒｙ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｃｅｎｔｅｒ　ｏｆ　Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ　１１０００４，Ｌｉａｏｎｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａｄａｐｔｉｖｅ—ｎｅｔｗｏｒｋ—ｂａｓｅｄ　ｆｕｚｚｙ　ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｙｓｔｅｍ（ＡＮＦＩＳ）　ａｎｄ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｍｏｄｅｌｓ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ——ｔｉｍｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ｕｎｓｔａｂｌｅ　ｚｅｒｏ——　ｄｙｎａｍｉｃｓ．Ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉＳ　ｃｏｍｐｏｓｅｄ　ｏｆ　ａ　１ｉｎｅａｒ　ｒｏｂｕｓｔ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ，ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ　ｕｓｉｎｇ　ＡＮＦＩＳ　ａｎｄ　ａ　ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ．Ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ　ｅｎｓｕｒｅｓ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｐｕｔ　ａｎｄ　ｏｕｔｐｕｔ　ｓｉｇｎａｌｓ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ　ｉｍｐｒｏｖｅｓ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｓｃｈｅｍｅ，ｂｏｔｈ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ａｎｄ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ａｒｅ　ａｃｈｉｅｖｅｄ　ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ．Ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ＡＮＦＩＳ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ａｓ　ａ　ｃｏｍｐｅｎｓａｔｏｒ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｕｎｍｏｄｅｌｌｅｄ　ｄｙｎａｍｉｃｓ，ｆｉｒｓｔｌｙ，ａ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ，ｍｏｎｏｔｏｎｉｃ　ａｎｄ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ　ｏｎｅ—ｔｏ—ｏｎｅ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｔｏ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｔｈｅ　ｎｏｎ—ｃｏｍｐａｃｔ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｄｏｍａｉｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｍｏｄｅｌｌｅｄ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｉｎｔｏ　ａ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｃｌｏｓｅｄ　ｓｅｔ．Ａｓ　ａ　ｒｅｓｕｌｔ，ｔｈｅ　ｕｎｉｖｅｒｓａｌ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｏｆ　ＡＮＦＩＳ　ｃａｎ　ｂｅ　ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ．ｔｈｅ　ＡＮＦＩＳ　ｃａｎ　ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ　ｔａｃｋｌｅ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ　ｌｏｗ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｒａｔｅ　ｏｆ　ｎｅｕｒａｌ　２０１０—０５—０６收到初稿，２Ｏ１Ｏ—Ｏ５—１３收到修改稿。　Ｒｅｃｅｉｖｅｄ　ｄａｔｅ　１　２０１０一Ｏ５—０６．　联系人及第一作者：张亚军（１９７９一），男，博士研究生。　Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ａｕｔｈｏｒ：ＺＨＡＮＧ　Ｙａｊｕｎ，ｚｈａｎｇｙａｊｕｎ７９＠　基金项目：国家重点基础研究发展计划项目　ｇｍａｉｌ．ｃｏｒｎ　（２∞９ＣＢ３２Ｏ６Ｏ１）；国家自然科学基金项目（６０５３４０１０，　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｉｔｅｍ：ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｂａｓｉｃ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　６０８２８００７）；国家创新研究群体科学基金项目（６０８２１０６３）；高等　Ｐｒｏｇｒａｍ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ（２００９ＣＢ３２０６０１），ｔｈｅ　Ｎａｔｉｏｎａ１　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　学校学科创新引智计划项目（Ｂ０８０１５）。　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ（６０５３４０１０，６０８２８００７），ｔｈｅ　Ｆｕｎｄｓ　ｆｏｒ　Ｃｒｅａｔｉｖｅ　Ｒｅｓｅａｒｅｈ　Ｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ（６０８２１０６３）ａｎｄ　１１１　ｐｒｏｊｅｃｔ（１３０８０１５）．　第８期　张亚军等：基于ＡＮＦＩＳ与多模型的一类非线性系统的自适应控制方法　・２０８５・　ｎｅｔｗｏｒｋ　ａｎｄ　ａｖｏｉｄ　ｔｈｅ　ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｂｅｃｏｍｅｓ　ｔｒａｐｐｅｄ　ｉｎ　ｌｏｃａｌ　ｍｉｎｉｍａ，ｔｈｅｒｅｂｙ　ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｅｆｆｅｃｔ．Ａ　ｌｅｍｍａ　ｉｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｌｏｓｅｄ—ｌｏｏｐ　ｓｙｓｔｅｍ　ａｒｅ　ｐｒｏｖｅｎ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｌｙ．Ｌａｓｔ，ｂｙ　ｃｏｍｐａｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍ；ｕｎｓｔａｂｌｅ　ｚｅｒｏ　ｄｙｎａｍｉｃｓ；ＡＮＦＩＳ；ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｍｏｄｅｌｓ；ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　引　言　多模型控制（ＭＭＣ）的思想最早在２Ｏ世纪　７Ｏ年代由ＬａｉｎｉｏｔｉｓＥ　］提出。２Ｏ世纪８Ｏ年代末至　９ｏ年代，Ｇｏｏｄｗｉｎ等　］、Ｎａｒｅｎｄｒａ等　引相继提　出具有稳定性的多模型自适应控制。因神经网络能　以任意精度逼近连续的非线性函数，近年来被大量　运用于控制系统　。引。文献［１４］针对一类零动态　渐近稳定的非线性系统，提出了神经网络与多模型　的非线性自适应控制方法。文献［１５－１６］针对一　类具有ＮＡＲＭＡ形式的零动态不稳定的非线性系　统，分别提出了基于神经网络与多模型的自适应控　制方法和广义预测控制方法。然而，文献Ｅ１４—１６３　中均考虑的是系统时滞为１的情况，未考虑系统时　滞为任意值的情况；而且文献［１４—１６３均采用神　经网络来估计系统的未建模动态，使得系统的近似　误差在闭环系统中得到补偿，并假定系统的未建模　动态全局有界。　虽然神经网络在上述文献中发挥了一定的作　用，但也存在不足之处。由于神经网络结构复杂，　其内部的非线性映射依赖于网络的参数初值，而参　数的初值一般取为随机数，不具有明确的物理意　义，因此，无法利用对象的知识。这导致网络的训　练容易陷入局部极小点，增加了网络的训练时间。　并且，如何根据特定的问题来确定出ＢＰ网络的结　构尚无很好的方法，仍需凭借经验和凑试法ｌｌ　。　此外，神经网络的万能逼近特性在紧集中成立，而　一般用于训练网络的输入由系统的状态或者输入和　输出量所组成，这些量的有界性往往是控制器设计　的目的，对一些如开环不稳定的系统，在设计控制　器之前是不能从理论上保证其状态或输入输出必然　在紧集中的。因此，神经网络在非线性控制中存在　局限，需进一步改进。　由于ＡＮＦＩＳ［１　］结合了模糊逻辑系统善于从不　确定问题中抽取有用的知识和神经网络具有的自适　应、自学习、并行处理能力以及泛化能力的优势，　其网络内部的参数具有明确的物理意义，而且　ＡＮＦＩＳ在进行学习训练时，采用ＢＰ算法与最小二　乘算法相结合的混合算法，使网络的收敛速度提高　了一个数量级，有效的避免了网络陷入局部极小等　不足。所以，本文采用ＡＮＦＩＳ估计系统的未建模　动态，而且在使用ＡＮＦＩＳ时，作为一个可选的并　有效方法之一，引入文献［１９］所提的连续、单调　并可逆的一一映射，该映射可以将一个非紧集的定　义域转化为一个有界开集并被一个紧集所覆盖，从　而保证了ＡＮＦＩＳ或不同的神经网络万能逼近特性　成立的前提条件（紧性）。　鉴于以上分析，本文的主要贡献为：①针对一　类零动态不稳定且时滞为ｄ的非线性系统，提出　了基于ＡＮＦＩＳ与多模型的非线性自适应控制方　法；②建立了保证系统稳定性的引理，从理论上给　出了闭环系统的稳定性和收敛性的严格的证明；③　采用一一映射保证了ＡＮＦＩＳ的万能逼近特性成立　的前提条件，而且ＡＮＦＩＳ在估计系统的未建模动　态时，避免了ＢＰ神经网络的一些缺陷。　１　控制问题描述　考虑ＳＩＳＯ离散时间非线性动态系统　∑：ｘ（ｋ＋１）一ＦＥｘ（ｋ），　（　）］　（　）一ＨＥｘ（ｋ）］　（１）　其中，“（尼）∈Ｒ、Ｙ（是）∈Ｒ分别为系统在ｋ时刻　的输入和输出；　（ｋ）∈Ｒ　为系统的状态，　Ｆｉｘ（ｋ），ｕ（ｋ）］∈Ｒ”、ＨＥｘ（　）］∈Ｒ为连续可微的　非线性函数，原点为系统的平衡点。当在原点的某　一邻域研究非线性系统［式（１）］时，通常采用式　（２）作为其等价系统　。。　：ｘ（ｋ＋１）＝Ａｘ（　）＋　（　）＋Ｆ１Ｉｘ（ｋ），“（　）］　（　）一　（　）＋Ｈ　Ｅｘ（ｋ）］　（２）　其中　Ａ—ＯＦ／Ｏｘ　ｌ（　：ｏ一０）Ｅ　Ｒ　Ｂ＝３Ｆ／３ｕｆ（　一　一０）∈Ｒ　ｃ—ａＨ／ａｘｌ（　一０）ＥＲ　称三元组（Ｃ，Ａ，　）代表∑的线性化系统，记作　・２０８６・　化工学报　第６１卷　∑　，并假定系统∑　既能控又能观　。Ｆ　［・］∈　Ｒ　，Ｈ　［・］∈Ｒ是包含　（尼）和　（志）高阶项的函　数，定义为高阶函数。由于系统输入输出可观测，　系统的状态ｘ（ｋ＋１）可以表示成ｙ（　），…，Ｙ（忌一　＋１），　（是），…，ｕ（ｋ—　＋１）的函数。所以，式（２）　可表示为　ｙ（ｋ＋　）一ｎ０　（　）＋…＋Ⅱ　１ｙ（ｋ一　＋１）＋　ｂ０“（　）＋…＋ｂ　一１ｕ（ｋ一　＋１）＋ｖＥｙ（ｋ），…，　ｙ（ｋ—ｎ＋１），“（　），…，ｕ（ｋ一　一ｄ＋１）］　（３）　其中，１≤　＜　为系统的时滞；　为系统的阶次；　［・］是系统的未建模动态（高阶非线性函数）；　利用单位延迟算子ｚ＿。，式（３）可写为　Ａ（ｚ　）　（　＋　）一Ｂ（ｚ　）“（　）＋ｖＥＸ（ｋ）］　（４）　其中，Ａ（ｚ　）、Ｂ（２　）是关于　的多项式，定　义为Ａ（ｚ－１）一１一ａ０　＿。一…一ａ　ｌ　ｚ～，Ｂ（　）一　ｂｏ＋ｂ１　＋…＋ｂ　１　～　，Ｘ（ｋ）：一［Ｙ（ｋ），…，　Ｙ（是一　＋１），ｕ（ｋ），…，“（足一　一ｄ＋１）ｌ　。　本文控制的目的是对参数未知的上述非线性系　统［式（４）］，设计一个自适应控制器，使得当该控　制器应用于被控系统时，闭环系统的输入、输出信　号有界，并且使系统输出渐近跟踪预先给定的有界　参考信号的变化。　２　非线性控制器设计　针对非线性被控对象［式（４）］，提出如图１所　示的含有反馈控制器和非线性补偿器组成的非线性　控制器。其中，反馈控制器由关于ｚ　的多项式　Ｒ（ｚ　），Ｈ（ｚ　）和Ｇ（ｚ　）组成，用来控制系统　的输出Ｙ（ｋ）使其跟踪有界参考输入信号ｗ（ｋ＋　）。非线性补偿器Ｋ（ｚ　）用来消除非线性项　・］（　・］：一　［ｘ（ｋ）］）对控制输入的影响。　由图１知，控制输入　（忌）可表示为　“（　）一　了　（　）｛Ｒ（ｚ一　）ｗ（ｋ＋　）一　Ｇ（ｚ　）　（　）一Ｋ（ｚ　）　・］｝　（５）　将控制器［式（５）］代人被控对象式（４）可得闭环　系统方程　厂　而　＿ｎ　Ｎ＿ｉ两－Ｉ　ｕｎｍｏｄｅｌｅｄ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　）　：仁　兰兰三　ｉ　Ｌ竺　＿Ｊｉ　图１非线性控制器　Ｆｉｇ．１　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ　［可（ｚ一　）Ａ（　）＋ｚ－　Ｂ（　）Ｇ（２『Ｉ　）］　（　＋　）一　Ｒ（ｚ　）Ｂ（ｚ　）∞（　＋　）＋［霄（ｚ　）一Ｂ（ｚ　）－ｇ（ｚ－　）］　・］　（６）　从式（６）可以看出，通过选择Ｈ（ｚ　）、Ｋ（ｚ　）、　Ｇ（ｚ　）和Ｒ（ｚ　）可实现输出ｙ（　）对参考输入　叫（忌）的跟踪，并尽可能地消除非线性项　・］对　系统输出的影响。　为选择控制器参数，引入如下性能指标　］　Ｊ　一［Ｐ（　）　（　十ｄ）一Ｒ（ｚ　）　（　＋　）＋　Ｑ（ｚ　）“（　）＋Ｋ（ｚ　）　・］］　（７）　其中，Ｐ（ｚ一　）、Ｑ（　）、Ｒ（ｚ一　）和Ｋ（　一　）均　为关于　的加权多项式。　使性能指标式（７）最小的最优控制律为　［ＦＢ（ｚ　）＋Ｑ（ｚ＿．）］“（矗）一Ｒ（ｚ　）ｗ（　＋　）一　Ｇ（ｚ　）　（　）一［Ｋ（　一　）＋Ｆ］　［・］　（８）　其中，Ｇ（ｚ　）一ｇ。＋ｇ　ｚ　＋…＋ｇ　一　ｚ～＋１为关于　ｚ　的　一１阶多项式，Ｆ为常数，它们由下　Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ方程所唯一确定　Ｐ（ｚ　）－二ＦＡ（ｒ　）＋　Ｇ（　）　（９）　由式（９）易得Ｆ—Ｐ（０）。由式（５）和式（８）可知，　与图１中所对应的控制器参数为　＿霄（２一　）一ＦＢ（ｚ一　）＋Ｑ（ｚ－　），　（ｚ－　）一Ｋ（ｚ－　）＋Ｆ　当　［・］较小时，可采用式（１０）的线性控制器　［ＦＢ（ｚ　）＋Ｑ（ｚ　）］Ｍ（　）一Ｒ（ｚ－　）＂（　＋　）一　Ｇ（ｚ　）　（　）　（１Ｏ）　可等同文献［２１］的方法选择加权项Ｐ（　）、　Ｒ（２　）、Ｑ（　）和Ｋ（２　）。下面给出一种简单　的加权项选择方法　Ｐ（　）一Ｒ（ｒ　）一１　（１１）　Ｑ（　一　）一　１（１一　）　（１２）　Ｋ（ｚ一　）一　２（１一　）　（１３）　其中，　、　采用凑试法选择。　３　自适应控制方法　当系统的阶次　和时滞ｄ已知，但组成　Ａ（ｚ　），Ｂ（ｚ　）的参数以及　Ｘ（　）］未知时，　可采用自适应控制算法。　３．１　自适应控制算法　由式（４）、式（９）和式（１１）可得控制器参数辨　识方程为　ｙ（ｋ＋　）一Ｇ（ｚ　）　（　）＋Ｈ（ｚ－　）　（量）＋　ｖＥＸ（ｋ）］一ＯＴｘ（忌）＋ｖＥＸ（ｋ）］　（１４）　其中，Ｈ（　）一ＦＢ（　）一Ｂ（ｚ　），８　一［ｇ０，　ｇ１，…，ｇ　１，ｈ０，ｈ１，…，ｈ　一１ｊ。　第８期　张亚军等：基于ＡＮＦＩＳ与多模型的一类非线性系统的自适应控制方法　‘２０８７’　３．１．１　线性鲁棒自适应控制算法　式（１４）的线性　估计模型为　ｙ（ｋ＋ｄ）一Ｏ　（　）　Ｘ（　）　（１５）　由式（１０）～式（１２）和确定等价原则可知，基　于线性估计模型的自适应控制器　（ｋ）通过式　（１６）计算　（　）　ｘ（　）一　（　＋ｄ）一Ａ　（１一Ｚ　１）“１（　）（１６）　其中，　（愚）　表示在ｋ时刻对参数０基于线性模型　的估计。采用下面的辨识算法在线校正＿１　０１１（　ｋ）　，ｈｔ１…　．．　）一　＋　（１８）　ｆ　１，ｌ　ｅ　（ｋ）Ｉ＞２Ｍ　１（　）一（ｏ，，Ｅ　｛ｔｇ　（　）　其中，Ｍ为ｖＥＸ（ｋ）］的已知上界，辨识误差为　ｅ　（　）一　（　）一日　（　一　）　Ｘ（ｋ—　）　（２０）　３．１．２　非线性自适应控制算法　首先，采用　ＡＮＦＩＳ估计出参数辨识方程式（１４）中的ｖＥＸ（ｋ）］。　由于ＡＮＦＩＳ的万能逼近特性要求非线性函数的定　义域是紧集，然而在设计控制器之前并不能保证　ｘ（忌）一定有界，所以不能直接以ｘ（ｋ）作为　ＡＮＦＩＳ的输入量。为此，本文采用文献［１９］所　提的连续单调并可逆的一一映射ａ　（是）一ｄ［ｘ　（是）］一　干　二１丽刀，　一２ｎ＋　ａ把Ｘ　（　）从集合ｆ２　一（一。。，＋ｏｃ））映射到　一（Ｏ，１），　可以被紧集　一［Ｏ，１］所覆盖，　从而保证了ＡＮＦＩＳ的万能逼近特性成立的前提条　件。所以，新的数据向量　（尼）将作为ＡＮＦＩＳ的　输入训练数据并得到ｌ　艾（忌）］ｌ，　ｘ（是）］可　按式（２１）计算　［ｘ（　）］一０［　（　（凫））］一｝［　（　）］４２１）　其中　［　（　）］＝［ｄ　（艾　（意）），…，ｄ一　（　＋　（　））］　本文采用Ｔ—ｓ型　。　ＡＮＦＩＳ来估计　ｘ（ｋ）］，　其中，Ｔ—Ｓ型模糊系统可由　条Ｉｆ－ｔｈｅｎ规则组成　的集合来表示。假定系统有ｍ个输入　，ｚ　，…，　ｚ　，单输出－厂，则第ｉ条模糊规则的形式如下　。　Ｉｆ　ｚ１　ｉｓ　Ａ　，ｚ２　ｉｓ　Ａ　，…，ｚ　ｉｓ　Ａ　，　ｔｈｅｎ　一Ｐ　＋Ｐ　ｚ】＋Ｐ　ｚ２＋…＋　ｚ　其中，Ａ　是输入量ｚ　的模糊子集，　为连接权　重，　＿＿１，…，ｎ。ＡＮＦＩＳ是具有５层结构的前向　网络，其内部各层的具体功能以及参数调节算法在　文献［１８］中有详细阐述，这里不再赘述。　其次，对式（１４）采用下面的基于ＡＮＦＩＳ的　非线性估计模型估计出参数０　ｙ（ｋ＋　）一Ｏｚ（　）　ｘ（　）＋ｖＥ・］　（２２）　由式（８），式（１１）～式（１３）以及确定等价原则可　知，基于ＡＮＦＩＳ的非线性自适应控制器　ｚ（忌）通　过式（２３）计算　２（　）　ｘ（　）一　（　十　）一　ｌ（１一Ｚ　１）“２（　）一　（１一Ｚ　１）＋１］　［　（　）］　（２３）　其中，　（忌）　为惫时刻参数　的基于非线性模型的　估计，其辨识算法类似于０　（是），即　’　㈨，一　Ｏ￣（ｋ　），　ｈ　ｒ２．一　＋　ａ（ｋ）一』）一｛　。　，ｆ　ｅｚ　’ｆ＞　（２６）　ｌ０，其他　其中，ｅ：（是）为系统的辨识误差　Ｐ　（　）一　（　）一　（　一　）　Ｘ（ｋ—ｄ）一　［ｘ（　一　）］　（２７）　＞０，为预先指定的紧集上的误差界，满足　ｌ　［・］一　［・］ｌ＜　。　３．２切换机制　采用文献Ｅ１４］中的切换函数　毒　＋　ｃ∑［１～　（ｚ）］　（ｚ）　（２８）　Ｉｆ　ｏ，１，ｌ　　ｅ，（　）ｉ＞２Ｍ　—　’其中，Ｊ一１代表线性，　一２代表非线性，Ｎ是正　整数，ｃ≥Ｏ为常数。ｅ　（愚）、ｅ。（　）分别由式（２０）、　式（２７）计算。　任意时刻ｋ，切换规则如下　Ｊ　（七）一ｍｉｎ［Ｊ１（愚），　２（七）］　如果Ｊ　（愚）一Ｊ　（愚），选择Ｕ　（忌）来控制系统；如　果Ｊ　（忌）＝＝＝Ｊ：（忌），选择“。（忌）来控制系统。　４　稳定性和收敛性分析　为了证明本文所提控制方法的稳定性和收敛　・２０８８・　化工学报　第６１卷　性，首先建立以下几个引理。　引理１辨识算法式（１５）～式（２０），式（２２）～　式（２７）具有如下性质　Ｎ　＜ｏ。（３Ｏ　一。　，　一。　证明：令８　（忌）一　（足）一０，ｉ一１，２。采用类似于　文献［１４］的方法容易证得引理１的结论成立，这　里不再赘述。　为节省空间，引理２和引理３的证明将被　省略。　引理２　当自适应算法式（１５）～式（２０）和　式（２２）～式（２７）分别作用于系统式（４）时，系统　的输入输出动态方程为　［　］一［　Ｂ（ｚ　１）　＋　［　一　］　・　＋［　；　：；］自ｃ　＋ｄ　ｃｓｓ　［　三Ｌｕ（　ｋ）＋　］一［ＡＢ（　ｚ　一１　）　．７ｗｃ　＋　＋　［ａ一　ｘ（　一ｚ　］　［・］一ＬＢＡ（　ｚ　１　）　１　２（　１　－－，ｚ　１　）　］　［・］＋　［　…　其中，Ｆ（ｚ　）一Ｂ（ｚ　）＋　１（１一ｚ　）Ａ（ｚ　）。　引理３考虑下列　阶时不变非线性系统　ｘ（ｋ＋１）一　（　）＋　（　）＋７（　（　），“（　）），　（ｏ）一Ｘ。　（　）一　（　）＋　（　（　））　其中，｛Ｈ（是））、｛　（忌））分别是Ｐ×１和ｍ×１维输　入和输出向量，ｘ（ｋ）为　×１状态向量。假设Ａ　是渐近稳定的，并且ｈ（　（忌）），厂（　（尼），Ｈ（走））≤Ｍ，　则存在与ｋ无关的常数０≤Ｃ　＜ｃｘ。，０≤Ｃ　＜Ｃｘ。使得　　ｌＹ　（　）１≤Ｃ１＋ｃ２　ｍａｘ　Ｉ　ｌＨ（ｒ）Ｉｌ，１≤ｋ＜。。，ｉ一１，…，ｍ　定理１式（４）满足如下假设条件　①构成Ａ（ｚ　）和Ｂ（　）的参数在紧集中　变化，并且ｂ。＞６　ｉ　，Ｂ（１）≠０。　②系统的阶次　以及时滞ｄ已知。　③非线性部分　［・］全局有界，并且界已知。　离线凑试　使其满足　Ｂ（ｚ　）＋Ａ１（１一　）Ａ（ｚ　）≠０，ｌ　ｌ≥１　（３５）　则当自适应控制算法式（１５）～式（２７）以及切换机　制作用于式（４）时，闭环切换系统ＢＩＢＯ稳定。而　且，当ｋ一。。时，系统的广义跟踪误差满足　　ｌｅ　（愚）｝≤２Ｍ十￡，ｅ为任意小的正数。其中，　（　＋　）：一ｙ（ｋ＋ｄ）一ｗ（ｋ＋　）＋Ａ　（１一　一　）　（　）＋　２（１一　）　・］　证明：首先证明单独使用线性鲁棒自适应控制算　法式（１５）～式（２０）时，闭环系统输入输出信号　有界。　由假设③和式（３３）、引理３、式（３５）以及　（尼＋１）的有界性可知，存在正常数Ｃ　、Ｃ　、Ｃ。、　Ｃ　满足　ｌ　（　）Ｉ≤Ｃｌ＋Ｃ２　ｍａｘ　ｆ　ｅｌ（ｒ）ｌ，　ｌ　ｕ（ｋ—　）ｌ≤Ｇ＋Ｃ４　ｍａｘ　ｌ　ｅｌ（ｒ）Ｉ　由于Ｘ（ｋ—　）一Ｅｙ（忌一　），…，Ｕ（忌一　），…］　，因　此存在正常数Ｃ　、Ｃ　满足　ｌ　ｌＸ（ｋ—　）ｌｌ≤Ｃ　＋Ｃｓ　ｍａｘ　Ｉ　ｅ　（ｒ）ｌ　（３６）　由式（２９）可知式（３１）中的分子是非负的。因此，由　式（３６）、式（３１）及文献Ｅ２４３中的引理３．１可知，　ｘ（志一　）有界，即单独使用线性自适应控制器时，闭　环系统Ｂ１Ｂ０稳定。　其次，当自适应控制算法式（１５）～式（２７）以及　切换机制作用于式（４）时，闭环切换系统输入输出信　号有界。由假设③、式（３４）、引理３、式（３５）以及　叫（是）有界性可知，存在正常数Ｃ７、Ｃ８满足　ｌ　ｌＸ（ｋ—　）ｌｆ≤Ｃ７十Ｃ８　ＩＴｈＲＸ　ｌ　ｅ２（ｒ）ｌ　（３７）　因此，综合式（３６）和式（３７）可知，在每一时刻，对　闭环系统总有式（３８）成立。　ｌ　ｌＸ（ｋ—　）ｌｌ≤Ｇ＋Ｃｌｏ　ｒｌｌａｘ　Ｉ　Ｐ（ｒ）ｌ　（３８）　其中，Ｐ（ｚ＿）一ｅ　（　或６２（ｒ）。　由式（２８）和　（　一１，２）的定义可知，切换函数　Ｊ　（足）（　一１，２）的第二项总是有界。结合式（３Ｏ）可知　Ｊ　（愚）有界。对于Ｊ：（是），在ｋ时刻存在以下两种　情况：　①Ｊ。（忌）＜．，　（志）　根据切换机制，系统切换到非　线性自适应控制器式（２３）。由于Ｊ：（忌）＜Ｊ　（忌）且Ｊ　（　）　总是有界，易知Ｊ。（　）有界。由切换函数式（２８）和　Ｊ。（是）的有界性可得　一。ｃｓ。　由　（忌）的定义可知，式（３９）中的分子非负。由式　（３７）和式（３９），采用文献［２４］中的引理３．１可知，　ｘ（　一　）有界，即系统输入输出信号有界。　②Ｊ　（忌）≤　。（忌）　根据切换机制，系统切换到　线性鲁棒自适应控制器式（１６）来控制系统，由前面　第８期　张亚军等：基于ＡＮＦＩＳ与多模型的一类非线性系统的自适应控制方法　’２０８９・　的分析可知，闭环系统输入输出信号有界。　综上，无论切换系统采用线性鲁棒自适应控　制器式（１６）或非线性自适应控制器式（２３），闭　环切换系统的输入输出信号总是有界，即闭环系　统ＢＩＢＯ稳定。　下面进行收敛性分析。　综合考虑式（３１）和式（３９）可知，切换系统的　辨识误差　（志）一ｅ　（足）或者ｅ　（愚）均满足　一。　㈤　由式（４０）及Ｘ（ｋ—ｄ）的有界性可知，对　式（１５）～式（２７）总有　ｌｉｍ／￣（　）［Ｐ（　）　一４Ｍ　］一０（４１）　由　（志）的定义和式（４１）可得不等式（４２）成立。　ｌｉｍ　ｓｕｐ［ｅ（ｋ）］≤２Ｍ　（４２）　一。。　即，对任意小的正数￡，存在时刻Ｋ，当忌＞Ｋ时，　　ＪＰ（　）Ｉ≤２Ｍ＋ｅ　（４３）　由　（是）的定义以及式（１６）、式（２０）、式（２３）和　式（２７），根据确定性等价原则，在每一时刻　（　＋　）一ｅ　（　＋　）＋Ａ　（１～ｚ　）　［ｘ（　）］　（４４）　或者　（　＋　）一　（　＋　）十Ａ２（１一　）口［　（七）］一　［ｘ（七）］　（４５）　当是一Ｃ×。时，由式（４３）～式（４５）可知　ｌ　（　）ｌ：Ｉ　ｅ２（　）ｌ≤２Ｍ＋ｅ　（４６）　对辨识算法式（２２）～式（２７），由式（３２），采用　类似的引理１中算法收敛性的证明方法可得，当　是＞Ｋ时　ｆ　ｅ２（　）Ｉ≤２｝＋￡　（４７）　是预先指定的紧集上的误差限，满足Ｉ　～　ｌ≤　。由于模糊系统是万能逼近器，它能以任意精度　逼近紧集上的任意函数　］。只要把输入空间划分　得足够细，选择足够多的隶属函数，就可使ＡＮ—　ＦＩＳ逼近误差　充分小，即｝＋０。因此，非线性估　计模型可使得系统的估计误差ｅ　（是）一ｏ。所以，非　线性估计模型误差的收敛半径小于线性模型估计误　差的收敛半径。因此，若基于ＡＮＦＩＳ的非线性自　适应控制器作用于系统时，由式（４５）和式（４７）　可得　Ｉ　ｅ　（　）ｌ—ｌ　ｅ２（　）Ｉ≤￡　（ｅ　一２　＋￡）　（４８）　其中，ｅ　为任意小的正数，即，非线性自适应控制　器可使系统的广义跟踪误差可收敛到原点的小邻　域内。　５　仿真实验　为了说明本文所提控制方法的有效性，选用文　献Ｅ１５－１中的例子作为仿真对象，考虑如下的离散　时间零动态不稳定的非线性系统　ｙ（ｋ＋１）一２．６ｙ（ｋ）一１．２ｙ（ｋ～１）＋“（七）＋１．２ｕ（ｋ一１）＋　ｓｉｎ（“（　）＋ｕ（ｋ一１）＋　（　）＋ｙ（ｋ一１））一　兰　±兰　＝　±　±　二！　１＋“（　）。＋ｕ（ｋ一１）。＋　（　）　＋ｙ（ｋ一１）　其中，　原点是系　统　的平衡点，　Ａ（ｚ～　）一１—２．６ｚ　＋１．２ｚ一，Ｂ（ｚ一　）＝＝＝１＋　１．２ｚ一，　一２，ｄ一１。该系统的高阶非线性项全　局有界，并且零动态不稳定。网络的输入量是Ｘ（ｋ　１）一Ｖｙ（ｋ），Ｙ（ｋ一１），ｕ（ｋ），“（ｋ一１）］　，通过映　射ａ把输入数据转化为Ｙ（尼），Ｙ（忌一１），Ｕ（愚），　（忌一　１），并以此作为ＡＮＦＩＳ和ＢＰ神经网络的输入训　练数据。离线选择加权项　一０．２，则闭环系统的　特征多项式为Ｂ（ｚ　）＋　（１一ｚ　）Ａ（　）一１．２＋　０．４８ｚ　十０．７６ｚ　一０．２４ｚ，其特征根　０．３２５５±０．８３１ｌｉ，０．２５１０均在单位圆内。参考　轨迹为　（点）一３ｓｉｇｎ［ｓｉｎ（￣ｋ／５ｏ）］。系统的初始状　态为Ｙ（０）一０，Ｕ（０）一０。　下面分别用ＡＮＦＩＳ和ＢＰ神经网络来估计系　统的高阶非线性项，并对控制效果作仿真比较。在　仿真中，选择切换函数中的参数Ｎ一２，Ｃ一１。　ＡＮＦＩＳ的隶属度函数选为高斯型，对每个输入量　划分为３个模糊子集。ＢＰ神经网络隐含层节点数　ｚ一１８，仿真结果如图２～图５所示。　５Ｏ　１０Ｏ　ｌ５０　２００　２５０　ｔｉｍｅ　ｓｔｅｐｓ　图２基于ＡＮＦＩＳ与多模型切换系统的性能　Ｆｉｇ．２　Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ｏｆ　ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＡＮＦＩＳ　ａｎｄ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｍｏｄｅｌｓ（ｏｕｔｐｕｔ　，　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ　ｉｎｐｕｔ∞。ｃｏｎｔｒｏｌ　ｉｎｐｕｔ“）　・２０９０・　化工学报　第６１卷　图３采用ＢＰ网络时切换系统的性能　Ｆｉｇ．３　Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ｏｆ　ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｂｙ　ＢＰ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ（ｏｕｔｐｕｔ　，ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ　ｉｎｐｕｔ　ｗ，ｃｏｎｔｒｏｌ　ｉｎｐｕｔ“）　图４切换序列　Ｆｉｇ．４　Ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ（１：ｌｉｎｅａｒ；２：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ）　图５　采用ＢＰ网络时控制器切换序歹　Ｆｉｇ．５　Ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｂｙ　ＢＰ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　通过比较图２和图３可以看出，采用本文所提　出的控制方法时系统的控制效果有了明显的改善，　跟踪性能也得到了显著提高。而且，图３是ＢＰ网　络第三次运行后所得的仿真结果，网络前两次运行　的效果不太理想，这是神经网络不确定性的表现，　只有对网络的权值进行反复训练后（一般训练两次　以上），控制效果才能明显好转。在同样的条件下，　采用本文提出的方法一次就可以达到图２的控制效　果。这正是由于ＡＮＦＩＳ对模糊系统中的条件参数　初始化时采取网格平均分割法，这相当于把输入空　间分成多个区域，与ＢＰ网络中参数初始化的随机　性相比，这一方法更加合理，具有更好的知识表达　能力。另外，从图２中可知，本文提出的控制方法　系统进入稳态的时间短，例如当愚从１００～１５０拍　内，用本文的方法大约经过１Ｏ拍后系统就进入稳　态，而采用基于ＢＰ神经网络的控制方法时，大约　需要２Ｏ拍后，系统才进入稳态。在２００～２５０拍　内，ＢＰ神经网络的使系统进入稳态的时间更长。　因此，采用基于ＡＮＦＩＳ与多模型切换的非线性自　适应控制方法提高了系统的收敛速度，实现了良好　的控制效果。　图４和图５分别是采用ＡＮＦＩＳ和ＢＰ神经网　络时控制器的切换序列。　６　结　论　针对一类不确定的离散时间零动态不稳定且时　滞为ｄ的非线性系统，提出了一种基于ＡＮＦＩＳ和　多模型切换的非线性自适应控制方法。这种控制方　法的优点是在保证闭环系统稳定的同时，使系统的　性能得到改善。采用映射　保证了ＡＮＦＩＳ的万能　逼近特性成立的前提条件，而且ＡＮＦＩＳ用来估计　系统的未建模动态，节省了网络的训练时间并且克　服了神经网络训练的不确定性和容易陷人局部极小　的问题。在理论上建立了所提非线性控制方法的稳　定性和收敛性分析。　Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ　［１］Ｌａｉｎｉｏｔｉｓ　Ｄ　Ｇ．Ｏｐｔｉｍａｌ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ａｎｄ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ａｄａｐｔａｔｉｏｎ．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃ　Ｃｏｎｔｒｏｌ，　１９７１，１６（２）：１６０—１　７０　［２］Ｌａｉｎｉｏｔｉｓ　Ｄ　Ｇ．Ｐａｒｔｉｔｉｏｎｉｎｇ：ａ　ｕｎｉｆｙｉｎｇ　ｆｒａｍｅｗｏｒｋ　ｆｏｒ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｓｙｓｔｅｍ（Ｉ）：Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＩＥＥＥ，１９７６，６４（８）：１１２６—１１４３　［３］　Ｍｏｒｓｅ　Ａ　Ｓ，Ｍａｙｎｅ　Ｄ　Ｑ，Ｇｏｏｄｗｉｎ　Ｇ　Ｃ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｈｙｓｔｅｒｅｓｉｓ　ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｉｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏ１．ＩＥＥＥ　Ｔｔａｎｓ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃ　Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９２，３７（９）：１３４３－１３５４　Ｅ４］　Ｗｅｌｌｅｒ　Ｓ　Ｒ，Ｇｏｏｄｗｉｎ　Ｇ　Ｃ．Ｈｙｓｔｅｒｅｓｉｓ　ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．　ＡｕｔｏｍａｔｉｃＣｏｎｔｒｏｌ，１９９４，３９（７）：１３６０　１３７５　Ｅ５３　Ｎａｒｅｎｄｒａ　Ｋ　Ｓ，Ｂａｌａｋｒｉｓｈｎａｎ　】．Ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ　ｔｒａｎｓｉｅｎｔ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｕｓｉｎｇ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｍｏｄｅｌｓ　ａｎｄ　ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．　Ａｕｔｏｍａｔｉｃ　Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９４，３９　（９）：１８６卜１８６６　［６］　Ｎａｒｅｎｄｒａ　Ｋ　Ｓ，Ｂａｌａｋｒｉｓｈｎａｎ　Ｊ，Ｃｉｌｉｚ　Ｍ　Ｋ．Ａｄａｐｔａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｌｅａｒｎｉｎｇ　ｕｓｉｎｇ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｍｏｄｅｌｓ，ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ａｎｄ　ｔｕｒｎｉｎｇ．　ＩＥＥＥ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｍａｇａｚｉｎｅ，１９９５，１５（３）：３７　５１　Ｅ７］　Ｎａｒｅｎｄｒａ　Ｋ　Ｓ，Ｐａｒｔｈａｓａｒａｔｈｙ　Ｋ．Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｄｙｎａｍｉｃａｌ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｕｓｉｎｇ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，１９９０，１（１）：４　２７　Ｅ８］　Ｃｈｅｎ　Ｆ　Ｃ，Ｋｈａｌｉｌ　Ｈ　Ｋ．Ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｔｉｍｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｕｓｉｎｇ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ．　ＪＥＥＥ　ＴＦａｎｓ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃ　Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９５，４０（５）：７９１—８Ｏ１　［９］　Ｒｏｖｉｔｈａｋｉｓ　Ｇ　Ａ，Ｃｈｒｉｓｔｏｄｏｕｌｏｕ　Ｍ　Ａ．Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｗｉｔｈ　第８期　张亚军等：基于ＡＮＦＩＳ与多模型的一类非线性系统的自适应控制方法　・２０９１・　Ｒｅｃｕｒｒｅｎｔ　Ｈｉｇｈ　Ｏｒｄｅｒ　Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：　Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，２０００　［１０３　Ｃｈｅｎ　Ｌ　Ｊ，Ｎａｒｅｎｄｒａ　Ｋ　Ｓ　Ｉｄｅｍｉｆｉｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｃＯｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ—ｔｉｍｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｉｔｓ　ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎ：ａ　ｕｎｉｆｉｅｄ　ｆｒａｍｅｗｏｒｋ．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ　２００４　１５（３）：６６３－６７３　［１１］　Ｈｓｕ　Ｃ　Ｆ．Ｓｅｌｆ＿ｏｒｇａｎｉｚｉｎｇ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｆｕｚｚｙ　ｎｅｕｒａｌ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，　２００７，１８（４）：１２３２　１２４１　［１２］　Ｗａｉ　Ｒ　Ｊ．Ｌｅｅ　Ｊ　Ｄ．Ａｄａｐｔｉｖｅ　ｆｕｚｚｙ　ｎｅｕｒａｌ—ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｏｒ　ｍａｇｌｅｖ　ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍｓ．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，２００８，１９（１）：５４　７０　［１３］　Ｇｅ　Ｓ　Ｚ　Ｓａｍ，Ｙａｎｇ　Ｃ　Ｇ，Ｌｅｅ　Ｔ　Ｈ．Ａｄａｐｔｉｖｅ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｕｓｉｎｇ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｐｕｒｅ－ｆｅｅｄｂａｃｋ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｉｎ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｔｉｍｅ．１ＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，　２００８，Ｉ９（９）：ｌ５９９—１６ｌ４　［１４］　Ｃｈｅｎ　ｌ　Ｊ，Ｎａｒｅｎｄｒａ　Ｋ　Ｓ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｕｓｉｎｇ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ａｎｄ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｍｏｄｅｌｓ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，２００１，　３７（８）：１２４５　１２５５　［ｉ５］　Ｆｕ　Ｙｕｅ（富月），Ｃｈａｉ　Ｔｉａｎｙｏｕ（柴天佑）．Ｄｉｒｅｃｔ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｎｏｎｍｉｎｉｍｕｍ　ｐｈａｓｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ（控制理论与应　用），２００６，２３（６）：８８６—８９０　［１６］　Ｓｈｉ　Ｙｕｊｉｎｇ（石宇静），Ｃｈａｉ　Ｔｉａｎｙｏｕ（柴天佑）．Ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ａｎｄ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｍｏｄｅｌｓ　ｂａｓｅｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏ１．Ａｃｔａ　Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ　Ｓｉｎｉｃａ（自　动化学报），２００７，３３（５）：５４０—５４５　Ｅ１７］Ｌｉ　Ｇｕｏｙｏｎｇ（李国勇）．Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　ＭＡＴＬＡＢ　Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ（智能控制及其ＭＡＴＬＡＢ实　现）．　Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ　Ｈｏｕｓｅ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　Ｉｎｄｕｓｔｒｙ，２００５　［１８３　Ｊａｎｇ　Ｊ　Ｓ　Ｒ．ＡＮＦＩＳ：ａｄａｐｔｉｖｅ—ｎｅｔｗｏｒｋ　ｂａｓｅｄ　ｆｕｚｚｙ　ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｙｓｔｅｍ．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ｓｙｓｔｅｍ，Ｍａｎ，Ｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ，１９９３，２３　（３）：６６５～６８５　Ｌ１９３　Ｗａｎｇ　Ｈ，Ｗａｎｇ　Ａ　Ｐ，Ｂｒｏｗｎ　Ｍ，Ｈａｒｒｉｓ　Ｃ　Ｊ．Ｏｎｅ－ｔｏ～ｏｎｅ　ｍａｐｐｉｎｇ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｂａｓｅｄ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｄｅｓｉｇｎ．Ｉｎｔ．Ｊ．Ｓｙｓｔｅｍ．Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９９６，２７：１６１－１７０　［２Ｏ］　Ｃｈｅｎ　Ｌ　Ｊ，Ｎａｒｅｎｄｒａ　Ｋ　Ｓ．Ｉｄｅｎｔｉｆｉｅａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｔｉｍｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｉｔｓ　ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎ：ａ　ｕｎｉｆｉｅｄ　ｆｒａｍｅｗｏｒｋ．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ。２００４．　１５（３）：６６３　６７３　［２１］　Ｍｉｄｄｌｅｔｏｎ　Ｎ　Ｒ，Ｇｏｏｄｗｉｎ　Ｇ　Ｃ，Ｈｉｌｌ　Ｄ，Ｍａｙｎｅ　Ｄ．Ｄｅｓｉｇｎ　ｉｓｓｕｅｓ　ｉｎ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏ１．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃ　Ｃｏｎｔｒ０　。　１９８８，３３（１）：５０　５８　［２２］　Ｊｉｅ　Ｘｕｅｊｕｎ（解学军），Ｚｈａｎｇ　Ｄａｌｅｉ（张大雷）．Ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｓｃｒｅｔ￣ｔｉｍｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｕｓｉｎｇ　ｒａｄｉａｌ　ｂａｓｉｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ．Ａｃｔａ　Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ　Ｓｉｎｉｃａ（自动化学报），　２０００，２６（３）：４１４—４１８　［２３］　Ｓｈｕ　Ｄｉｑｉａｎ（舒迪前），Ｒａｏ　Ｌｉｃｈａｎｇ（饶立昌），Ｃｈａｉ　Ｔｉａｎｙｏｕ（柴天佑）．Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｃｏｎｔｒｏｌ（自适应控制）．　Ｓｈｅｎｙａｎｇ：Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，１９９２　［２４］　Ｇｏｏｄｗｉｎ　Ｇ　Ｃ，Ｒａｍａｄｇｅ　Ｐ　Ｊ，Ｃａｉｎｅｓ　Ｐ　Ｅ．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｔｉｍｅ　ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏ１．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．　Ａｕｔｏｍｎｔｉｆ　Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９８０，２５（３）：４４９—４５６