参考答案与试题解析
一、填空题〔本大题共有12题，总分值54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分〕考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．〔4分〕〔2021•上海〕行列式
的值为 18 ．
【考点】：二阶行列式的定义．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵与变换． 【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可． 【解答】解：行列式故答案为：18．
【点评】此题考察行列式的定义，运算法那么的应用，是根本知识的考察．
2．〔4分〕〔2021•上海〕双曲线
﹣y2=1的渐近线方程为 ±
．
=4×5﹣2×1=18．
【考点】：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题．
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长与虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵双曲线 而双曲线∴双曲线故答案为：±
的2，1，焦点在x轴上
的渐近线方程为±的渐近线方程为±
第 1 页
【点评】此题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 3．〔4分〕〔2021•上海〕在〔1〕7的二项展开式中，x2项的系数为 21 〔结果用数值表示〕．
【考点】：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理． 【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数． 【解答】解：二项式〔1〕7展开式的通项公式为
1
=•，
=21．
令2，得展开式中x2的系数为故答案为：21．
【点评】此题考察了二项展开式的通项公式的应用问题，是根底题． 4．〔4分〕〔2021•上海〕设常数a∈R，函数f〔x〕=12〔〕．假设f〔x〕的反函数的图象经过点〔3，1〕，那么 7 ． 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】由反函数的性质得函数f〔x〕=12〔〕的图象经过点〔1，3〕，由此能求出a．
【解答】解：∵常数a∈R，函数f〔x〕=12〔〕． f〔x〕的反函数的图象经过点〔3，1〕， ∴函数f〔x〕=12〔〕的图象经过点〔1，3〕，
第 2 页
∴2〔1〕=3， 解得7． 故答案为：7．
【点评】此题考察实数值的求法，考察函数的性质等根底知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是根底题．
5．〔4分〕〔2021•上海〕复数z满足〔1〕1﹣7i〔i是虚数单位〕，那么 5 ．
【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有
【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩大与复数．
【分析】把等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【解答】解：由〔1〕1﹣7i， 得那么
故答案为：5．
【点评】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数模的求法，是根底题．
6．〔4分〕〔2021•上海〕记等差数列{}的前n项与为，假设a3=0，a67=14，那么S7= 14 ．
【考点】85：等差数列的前n项与．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差
第 3 页
．
，
数列与等比数列．
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，2，由此能求出S7．
【解答】解：∵等差数列{}的前n项与为，a3=0，a67=14， 解得a1=﹣4，2， ∴S7=7a1
﹣28+42=14．
故答案为：14．
【点评】此题考察等差数列的前7项与的求法，考察等差数列的性质等根底知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是根底题． 7．〔5分〕〔2021•上海〕α∈{﹣2，﹣1，﹣
，1，2，3}，假设
幂函数f〔x〕α为奇函数，且在〔0，+∞〕上递减，那么α= ﹣1 ． 【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】由幂函数f〔x〕α为奇函数，且在〔0，+∞〕上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值． 【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，
，1，2，3}，
幂函数f〔x〕α为奇函数，且在〔0，+∞〕上递减， ∴a是奇数，且a＜0， ∴﹣1． 故答案为：﹣1．
第 4 页
【点评】此题考察实数值的求法，考察幂函数的性质等根底知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是根底题．
8．〔5分〕〔2021•上海〕在平面直角坐标系中，点A〔﹣1，0〕、B〔2，0〕，E、F是y轴上的两个动点，且2，那么为 ﹣3 ．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．
【分析】据题意可设E〔0，a〕，F〔0，b〕，从而得出﹣2，即2，或2，并可求得
同理将2带入，也可求出
，将2带入上式即可求出
的最小值．
的最小值，的最小值
【解答】解：根据题意，设E〔0，a〕，F〔0，b〕； ∴2，或2； 且当2时，
∵b2+2b﹣2的最小值为∴
；
； ；
的最小值为﹣3．
的最小值为﹣3，同理求出2时，
故答案为：﹣3．
【点评】考察根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式． 9．〔5分〕〔2021•上海〕有编号互不一样的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，那么这
第 5 页
三个砝码的总质量为9克的概率是 〔结果用最简分数表示〕．
【考点】：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．
【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．
【解答】解：编号互不一样的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，
从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，
所有的事件总数为：
=10，
这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个， 所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：故答案为：．
【点评】此题考察古典概型的概率的求法，是根本知识的考察． 10．〔5分〕〔2021•上海〕设等比数列{}的通项公式为﹣1〔n∈N*〕，前n项与为．假设
=，那么 3 ．
=，
【考点】8J：数列的极限．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．
第 6 页
【解答】解：等比数列{}的通项公式为因为
﹣1
〔n∈N*〕，可得a1=1，
=，所以数列的公比不是1， ，1．
可得可得3． 故答案为：3．
，
【点评】此题考察数列的极限的运算法那么的应用，等比数列求与以及等比数列的简单性质的应用，是根本知识的考察． 11．〔5分〕〔2021•上海〕常数a＞0，函数f〔x〕=过点P〔p，〕，Q〔q，
〕．假设236，那么 6 ．
的图象经
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．
【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值． 【解答】解：函数f〔x〕=那么：整理得：解得：22， 由于：236，
第 7 页
的图象经过点P〔p，〕，Q〔q，， =1，
〕．
所以：a2=36， 由于a＞0， 故：6． 故答案为：6
【点评】此题考察的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．
12．〔5分〕〔2021•上海〕实数x1、x2、y1、y2满足：x1212=1，x2222=1，x1x21y2=，那么
+
的最大值为 + ．
【考点】7F：根本不等式及其应用；：点到直线的距离公式．菁优网版权所有
【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．
【分析】设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，=〔x1，y1〕，=〔x2，y2〕，由圆的方程与向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形为等边三角形，1，
+
的几何意义为点A，B两点到直线﹣
1=0的距离d1与d2之与，由两平行线的距离可得所求最大值． 【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕， =〔x1，y1〕，=〔x2，y2〕， 由x1212=1，x2222=1，x1x21y2=， 可得A，B两点在圆x22=1上， 且•=1×1×∠，
第 8 页
即有∠60°，
即三角形为等边三角形， 1，
+
的几何意义为点A，B两点
到直线﹣1=0的距离d1与d2之与，
显然A，B在第三象限，所在直线与直线1平行， 可设：0，〔t＞0〕， 由圆心O到直线的距离可得2
=1，解得
， ，
， +
，
即有两平行线的距离为即故答案为：
++
．
=
的最大值为
【点评】此题考察向量数量积的坐标表示与定义，以及圆的方程与运用，考察点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．
二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分，每题5分〕每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．〔5分〕〔2021•上海〕设P是椭圆到该椭圆的两个焦点的距离之与为〔 〕
第 9 页
=1上的动点，那么P
A．2 B．2 C．2 D．4
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】判断椭圆长轴〔焦点坐标〕所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可． 【解答】解：椭圆P是椭圆
=1的焦点坐标在x轴，
，
=1上的动点，由椭圆的定义可知：那么P到该椭圆
．
的两个焦点的距离之与为22应选：C．
【点评】此题考察椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是根本知识的考察．
14．〔5分〕〔2021•上海〕a∈R，那么“a＞1〞是“＜1〞的〔 〕 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．
【分析】“a＞1〞⇒“此能求出结果．
【解答】解：a∈R，那么“a＞1〞⇒“
第 10 页
〞，
〞，“
〞⇒“a＞1或a＜0〞，由
“〞⇒“a＞1或a＜0〞，
〞的充分非必要条件．
∴“a＞1〞是“应选：A．
【点评】此题考察充分条件、必要条件的判断，考察不等式的性质等根底知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是根底题． 15．〔5分〕〔2021•上海〕?九章算术?中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1是正六棱柱的一条侧棱，如图，假设阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1为底面矩形的一边，那么这样的阳马的个数是〔 〕 A．4 B．8 C．12 D．16
【考点】D8：排列、组合的实际应用．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．
【分析】根据新定义与正六边形的性质可得答案．
【解答】解：根据正六边形的性质，那么D1﹣A11，D1﹣A11满足题意，而C1，E1，C，D，E，与D1一样，有2×6=12， 当A11为底面矩形，有2个满足题意， 当A11为底面矩形，有2个满足题意， 故有12+2+2=16 应选：D．
【点评】此题考察了新定义，以及排除组合的问题，考察了棱柱的特征，属于中档题．
第 11 页
16．〔5分〕〔2021•上海〕设D是含数1的有限实数集，f〔x〕是定义在D上的函数，假设f〔x〕的图象绕原点逆时针旋转
后与原
图象重合，那么在以下各项中，f〔1〕的可能取值只能是〔 〕 A．
B．
C．
D．0
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．
【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．
【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转
个单位后与下一个点会重合．
，
，0时，此时得到
我们可以通过代入与赋值的方法当f〔1〕=的圆心角为
，
，0，然而此时0或者1时，都有2个y与之对
应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当
，此时旋转
，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案
就选：B． 应选：B．
【点评】此题考察的知识要点：定义性函数的应用．
三、解答题〔本大题共有5题，总分值76分〕解答以下各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．〔14分〕〔2021•上海〕圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
〔1〕设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
第 12 页
〔2〕设4，、是底面半径，且∠90°，M为线段的中点，如图．求异面直线与所成的角的大小．
【考点】：异面直线及其所成的角；L5：旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕；：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．
【分析】〔1〕由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．
〔2〕以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角．
【解答】解：〔1〕∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4， ∴圆锥的体积
〔2〕∵4，，是底面半径，且∠90°， M为线段的中点，
∴以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴， 建立空间直角坐标系，
P〔0，0，4〕，A〔2，0，0〕，B〔0，2，0〕， M〔1，1，0〕，O〔0，0，0〕， =〔1，1，﹣4〕，=〔0，2，0〕， 设异面直线与所成的角为θ， 那么θ
．
第 13 页
∴θ．
．
∴异面直线与所成的角的为
【点评】此题考察圆锥的体积的求法，考察异面直线所成角的正切值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是根底题．
18．〔14分〕〔2021•上海〕设常数a∈R，函数f〔x〕222x． 〔1〕假设f〔x〕为偶函数，求a的值； 〔2〕假设f〔
〕1，求方程f〔x〕=1﹣
在区间[﹣π，π]上的解．
【考点】：两角与与差的三角函数；：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．
【分析】〔1〕根据函数的奇偶性与三角形的函数的性质即可求出， 〔2〕先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【解答】解：〔1〕∵f〔x〕222x， ∴f〔﹣x〕=﹣222x， ∵f〔x〕为偶函数， ∴f〔﹣x〕〔x〕， ∴﹣222222x， ∴220， ∴0； 〔2〕∵f〔
〕
1，
第 14 页
∴22〔〕1222
1， 221=2〔2，
，
〕+1，
∴f〔x〕
∵f〔x〕=1﹣∴2〔2∴〔2∴2∴﹣
﹣
〕+1=1﹣〕=﹣
，
+2kπ，或2π+2kπ，k∈Z，
ππ，或ππ，k∈Z，
∵x∈[﹣π，π]， ∴
或
或﹣
或﹣
【点评】此题考察了三角函数的化简与求值，以及三角函数的性质，属于根底题．
19．〔14分〕〔2021•上海〕某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中〔0＜x＜100〕的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f〔x〕=
〔单位：分钟〕，
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果答复以下问题：
〔1〕当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
〔2〕求该地上班族S的人均通勤时间g〔x〕的表达式；讨论g〔x〕的单调性，并说明其实际意义．
第 15 页
【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】〔1〕由题意知求出f〔x〕＞40时x的取值范围即可； 〔2〕分段求出g〔x〕的解析式，判断g〔x〕的单调性，再说明其实际意义．
【解答】解；〔1〕由题意知，当30＜x＜100时， f〔x〕=2
﹣90＞40，
即x2﹣65900＞0， 解得x＜20或x＞45，
∴x∈〔45，100〕时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
〔2〕当0＜x≤30时， g〔x〕=30•40〔1﹣〕=40﹣当30＜x＜100时， g〔x〕=〔2∴g〔x〕=
﹣90〕•40〔1﹣〕=
；
﹣
58；
；
当0＜x＜32.5时，g〔x〕单调递减； ＜x＜100时，g〔x〕单调递增；
说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
第 16 页
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．
【点评】此题考察了分段函数的应用问题，也考察了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．
20．〔16分〕〔2021•上海〕设常数t＞2．在平面直角坐标系中，点F〔2，0〕，直线l：，曲线Γ：y2=8x〔0≤x≤t，y≥0〕．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段上的动点． 〔1〕用t表示点B到点F的距离；
〔2〕设3，2，线段的中点在直线上，求△的面积；
〔3〕设8，是否存在以、为邻边的矩形，使得点E在Γ上？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，说明理由． 【考点】：直线与抛物线的位置关系．菁优网版权所有
【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】〔1〕方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得；
方法二：根据抛物线的定义，即可求得；
〔2〕根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得的中点坐标，即可求得直线的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△的面积；
〔3〕设P及E点坐标，根据直线•﹣1，求得直线的方程，求得Q点坐标，根据
，求得E点坐标，那么〔
第 17 页
〕2=8〔
+6〕，
即可求得P点坐标．
【解答】解：〔1〕方法一：由题意可知：设B〔t，2那么∴2；
方法二：由题意可知：设B〔t，2由抛物线的性质可知：2，∴2； 〔2〕F〔2，0〕，2，3，那么1， ∴
，∴Q〔3，
〕，
，那么直线方程：﹣
〔x﹣2〕，
〕，设的中点D，
t〕，
2，
t〕，
D〔，
﹣
联立，整理得：3x2﹣2021=0，
解得：，6〔舍去〕， ∴△的面积×
×=
；
，m〕，那么
，
，
〔3〕存在，设P〔，y〕，E〔
直线方程为根据∴〔
〔x﹣2〕，∴
+6，
〔8﹣2〕=〕，
，
，Q〔8，〕，
，那么E〔〕2=8〔
+6〕，解得：y2=
∴存在以、为邻边的矩形，使得点E在Γ上，且P〔，
第 18 页
〕．
【点评】此题考察抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考察转化思想，计算能力，属于中档题．
21．〔18分〕〔2021•上海〕给定无穷数列{}，假设无穷数列{}满足：对任意n∈N*，都有﹣≤1，那么称{}与{}“接近〞．
〔1〕设{}是首项为1，公比为的等比数列，1+1，n∈N*，判断数列{}是否与{}接近，并说明理由；
〔2〕设数列{}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{}是一个与{}接近的数列，记集合{，1，2，3，4}，求M中元素的个数m； 〔3〕{}是公差为d的等差数列，假设存在数列{}满足：{}与{}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．
【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】〔1〕运用等比数列的通项公式与新定义“接近〞，即可判断； 〔2〕由新定义可得﹣1≤≤1，求得，1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；
〔3〕运用等差数列的通项公式可得，讨论公差d＞0，0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近〞，推理与运算，即可得到所求范围． 【解答】解：〔1〕数列{}与{}接近． 理由：{}是首项为1，公比为的等比数列， 可得
，1+1
1，
第 19 页
那么﹣1﹣1﹣＜1，n∈N*，
可得数列{}与{}接近；
〔2〕{}是一个与{}接近的数列， 可得﹣1≤≤1，
数列{}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，
可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]， 可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，
集合{，1，2，3，4}， M中元素的个数3或4；
〔3〕{}是公差为d的等差数列，假设存在数列{}满足：{}与{}接近， 可得1+〔n﹣1〕d，
①假设d＞0，取，可得1﹣1﹣＞0，
那么b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意； ②假设0，取1﹣，那么﹣1﹣﹣a1＜1，n∈N*， 可得1﹣﹣
＞0，
那么b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意； ③假设﹣2＜d＜0，可令b2n﹣12n﹣1﹣1，b221， 那么b2n﹣b2n﹣121﹣〔a2n﹣1﹣1〕=2＞0，
那么b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；
④假设d≤﹣2，假设存在数列{}满足：{}与{}接近，
第 20 页
即为﹣1≤≤1，1﹣1≤1≤1+1， 可得1﹣≤1+1﹣〔﹣1〕=2≤0，
b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意． 综上可得，d的范围是〔﹣2，+∞〕．
【点评】此题考察新定义“接近〞的理解与运用，考察等差数列与等比数列的定义与通项公式的运用，考察分类讨论思想方法，以及运算能力与推理能力，属于难题．
第 21 页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容