数学分析中不等式的证明

学号：**********

哈尔滨师范大学 学士学位论文

题 目 数学分析中证明不等式的若干方法 学 生 刘卓

指导教师 卞春雨 讲师 年 级 2008级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 数学科学学院

哈 尔 滨 师 范 大 学 学士学位论文开题报告 论文题目 数学分析中证明不等式的若干方法 学生姓名 刘卓 指导教师 卞春雨 讲师 年 级 2008级 专 业 数学与应用数学 2011年11月

说 明

本表需在指导教师和有关领导审查批准的情况下，要求学生认真填写。

说明课题的来源（自拟题目或指导教师承担的科研任务）、课题研究的目的和意义、课题在国内外研究现状和发展趋势。

若课题因故变动时，应向指导教师提出申请，提交题目变动论证报告。

课题来源： 由论文指导教师提供。 课题研究的目的和意义： 在数学分析中，不等式作为其中重要的部分，发挥着巨大的作用，也是各个年级数学知识的重要内容，同时在现实生活中也能解决一些难度较大的问题，方便且实用，所以对于不等式的理解要更为深刻透彻，本文从不等式的各种证明出发，深刻了解不等式的内容，也从具体的问题来说明其作用和意义，使我们更加理解不等式的应用。对于不等式的诸多证明方法在本文中只是体现了一部分，但充分体现了不等式在数学分析中的重要地位。 国内外同类课题研究现状及发展趋势： 不等式的证明在自然学科和社会人文学科以及在我们日常生活中的应用不断的深化和发展。对于今后不等式的研究主要包括以下各个方面，推广和改进现有的不等式，建立新的不等式，扩大不等式的应用范围，探索不等式的各种方法，研究不等式证明之间的关联，从而寻找到最简单的不等式证明方法。

课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法： 研究内容： 1．数学分析中不等式的证明； 2．用不同方法证明不等式； 3．不等式证明的方法应用和意义； 主要问题： 1．数学析中不等式的证明； 2．证明不等式的具体方法和具体问题研究 1．查阅相关文献，研究证明不等式方法； 2．在证明不等式中的诸多方法中体现不等式的意义； 课题研究起止时间和进度安排： 1. 选定课题（2011.12—2012.1） 2. 收集资料 (201121—2012.2) 3. 完成开题报告 (2012.2—2012.3) 4. 完成初稿 (2012.3—2012.4) 5．请指导教师指导完成论文 (2012.4—2012.5)

课题研究所需主要设备、仪器及药品： 外出调研主要单位，访问学者姓名

指导教师审查意见： 指导教师 （签字） 年 月 教研室（研究室）评审意见： ____________教研室（研究室）主任 （签字） 年 月 院（系）审查意见： ____________院（系）主任 （签字） 年 月

学 士 学 位 论 文

题 目学 生指导教师 年 级专 业 系 别 学 院

数学分析中证明不等式的若干方法 刘卓

卞春雨 讲师 2008级 数学与应用数学 数学系 数学科学学院

哈尔滨师范大学 2012年4月

目 录

摘要............................................................................................................................................ 1 关键词........................................................................................................................................ 1 引言............................................................................................................................................ 1 一、不等式的证明 .................................................................................................................... 1 1.利用单调性的证明 ................................................................................................................ 1 2.利用微分中值定理证明不等式 ............................................................................................ 2 3.利用泰勒公式 ........................................................................................................................ 3 4.利用凸（或凹）函数的定义来证明不等式 ........................................................................ 4 5.用求极值方法证明不等式 .................................................................................................... 4 6.利用单调极限证明不等式 .................................................................................................... 5 7.利用被积函数的不等式证明不等式 .................................................................................... 6 8.在不等式两端取变限积分证明新的不等式 ........................................................................ 7 9.利用著名的不等式证明其他不等式 .................................................................................... 7 二、不等式在数学教学中的意义 ............................................................................................ 8 总结.......................................................................................................................................... 10 英文摘要 .................................................................................................................................. 11

数学分析中证明不等式的若干方法

刘卓

摘要：本文主要应用数学分析中的单调性，微分中值定理，Taylor公式，凸函数的定义，极值，极限以及积分等的相关知识来证明不等式，同时也通过应用一些著名的不等式证明不等式．通过以上方法的应用使我们对不等式证明的相关知识有更加深刻系统的理解，从而为数学中许多其他内容的学习提供了一个重要工具． 关键词：数学分析 不等式 单调性

引言

不等式是数学分析的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具．在数学领域中占有重要的地位，也是各个时期的数学教材的重要组成部分，在各种考试和竞赛中都有举足轻重的地位．不等式的证明变化大，技巧性强，方法也较多．通过不等式的证明，不仅可以检验基本的数学知识的掌握程度，而且也是衡量数学水平的一个重要标志．因此，掌握一些基本的证明不等式的方法是十分重要也是十分必要的．下面将对不等式的证明方法进行总结．

一、不等式的证明

1.利用单调性的证明

利用函数的单调性证明不等式是一种较为重要的方法，同时又是一种行之有效的方法。 要点：若f(x)0 （或f(x)0 ，则当x1x2时，有f(x1)f(x2)（或

f(x1)f(x2)）.反之，若f(x)0（或f(x)0），则当x1x2时，有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)）.由此便可获得不等式.

ab例1 证明： 1ab 证明 记f(x)a1ab1b

1x10f(x)，则f(x)，所以在定义域内单调递

(1x)21x1x增函数.又由abab可知

1

ab1ab1ab1ab1ab1a1bbaababab

例2 设bae，证明：ab

分析 要证ab，只需证blnaalnb,也即证证明 记f(x)balnalnb． abx1lnxxf(x)f(x)0，则f(x)，所以当时，，故xelnxx2lnx在xe时是单调减函数.又由于bae，所以

lnalnb， ab即ab.

ba

2.利用微分中值定理证明不等式

用微分中值定理来证明不等式要熟记各个中值定理的应用条件，将原不等式通过变形找到一个辅助函数使其满足中值定理条件，证明的关键是处理好点，分析函数或其导数在该点的性质即可证明得到结论。

要点：如果函数f(x)在区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，那么在a,b内至

少存在一点，使得f(x)f(a)f()(xa).由此可得当f(a)0 在a,b内f(x)0时，有f(x)0 xa,b

f(b)f(a)f(),其中ab.

baf(b)f(a)因此，若f(x)单调递减，有f(a)f(b).以上原理在证明不等式时经常

ba有采用.

例3 设0x1,x2，平，p,q是正整数，pq1，证明:

psinx1qsinx2sin(px1qx2).

证明 当x1x2时，不等式两边都等于sinx1，因而等号成立.设x1x2，为确定起见，设x1x2，记x3px1qx2，由于pq1，故x3x1q(x2x1)x1.同理x3x2. 将原不等式改写为psinx1qsinx2(pq)sinx3，即

q(sinx2sinx3)p(sinx3sinx1).

2

令f(x)qsinx,g(x)psinx，则

f(x)qcosx,g(x)pcosx.

根据积分中值定理，

q(sinx2sinx3)qcos1(x2x3)qcos1(xpx1qx2)=pq(x2x1)cos1; p(sinx3sinx1)pcos2(x3x1)pcos2(px1qx2x1)=pq(x2x1)cos2

其中0x12x31x2，因而

cos1cos2.

所以原不等式得证.

3.利用泰勒公式

泰勒公式沟通了函数与高阶导数之问的关系，如果问题涉及到函数和高阶导数，就可以考虑用泰勒公式．用泰勒公式证明不等式时，常须将函数f按某些特定点展成泰勒公式，通过分析余项在考点的性质，而得出不等式．

依据f(x)的情形，使其按照Taylor公式展开，然后根据已知条件来进行证明不等式。 要点：若f(x)在a,b上有连续n阶导数，则

f(a)f(n1)(a)0,f（n）(x)0(当x(a,b)时)，则利用此原理，可以对一些不等式进

行证明。

例4 证明：

tanxx,x(0,) xsinx2f(x)sinxtanxx20

证明 原式等价于

f(n)()(xa)n0(当x(a,b]时), 因为f(x)n!f(0)f(0)0,

f(x)sinx(5sec2x1)bsin3xsec4x0

所以

f(x)sinxtanxx20 (当x(0,)时),

2

3



故

tanxx,x(0,). xsinx2

4.利用凸（或凹）函数的定义来证明不等式

利用函数的凸凹性来对不等式进行证明的方法首要是找到辅助函数f(x)，利用辅助函数f(x)在区间a,b上的二阶导数来判定f(x)的凸凹性，然后根据凸函数或凹函数的性质来进行这证明。

要点：若f(x)0，则函数f(x)为凸函数即x1,x2a,b,(0,1)，有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2).

若f(x)0，则函数f(x)为凹函数即x1,x2a,b,(0,1)，有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2).

xy,(x0,y0,xy) 21）证明 令f(t)tlnt(t0),f(t)lnt1,f(t)0，所f(t)tlnt在（0，

t例5 证明：xlnxylny(xy)ln是严格凸函数. 于是

1xy[f(x)f(y)]f(), 22即

1xyxy， fxfyln222也即

xlnxylny(xy)ln故得证.

类似的我们也可证明

xy， 2xyexeye2,(xy)． 2 5.用求极值方法证明不等式

用求极值的方法来证明不等式最重要的也很就是构造相关函数，然后判断该函数的极值，这是证明不等式的一个最基本的方法。

4

要点：要证明f(x)g(x)，只需求函数F(x)f(x)g(x)的极值，也就是证明

minF(x)0.

tnt2t 例6 设n为自然数，试证： e(1)e(当tn时).

nnttt2t 证明 原始可转化为1(1)e．只需证明

nnt2tf(t)[1(1)net]0(tn)，

nntt2tttte[(1)n1(1)(1)n]=[2et(1)n1]

nnnnntn1t故我们用表示方程2e(1)0的根.则极值的可疑点为t0,t,及tn.

nf(t)但f(0)0,f()2[1(1)e]=[12(1)](1)2(n1)0， nnnnnnn222f(n)n10,f(). 由此f(t)minf(t)f(0)0(tn时).所以问题即得

证.

类似的我们也可证明：设aln21为任意常数，试证：x2ax1e(当x0时)．

2x

6.利用单调极限证明不等式

利用单调极限来证明不等式主要的是求函数在某一点的极限值，然后根据单调函数的性质来进行判断。

要点：若xb时，f(x)在定义域上是单调增函数（或严格单调增函数），且

xb0时f(x)A,则f(x)A(当xb)（或f(x)A(当xb)）.反之，对于递减或

严格递减的函数，也有类似的的结论.利用该原理可以来证明一些不等式，从而使证明过程简洁易懂.

例7 证明：x0,tx时，e(1)0

证明 当t0或tx时不等式显然成立.故只需证明t0,tx,t0的情况.为此，我们只需证明当x时，f(x)(1)e即可. 事实上：

（1）当t0,t0,tx时，

5

ttxxtnxt

tt[lnf(x)][ln(1)x]x[xln(1)]x

xxt =ln(xt)lnx（应用Lagrange公式）

xt =

当0tx时，0xtx.tttt （ ）0 txtxtxt当t0时，0xxt.xtxtttt（2） lim(1)lim[(1)]e.

xxxx（3） 所以当x时，f(x)(1)e.故原不等式即得证.

tnxt

7.利用被积函数的不等式证明不等式

利用定积分定义来证明一些不等式是一种十分有效的手段，可以将原来较为复杂的证明转化为较为简洁易懂的证明。下面将利用积分的相关性质来证明不等式。

要点：若f(x)g(x)(或f(x)g(x))，则有

baf(x)dxg(x)dx(或f(x)dxg(x)dx),(x(a,b)).

aaabbb例8 证明：

1cosx1x20dx1sinx1x20dx

证明 令tarcsinx，则

 令tarccosx，则

1cosx1x2sinx1x20dx2cos(sint)dt0

要证的不等式转化为

10dx2sin(cost)dt

0严格递减.所以有

20cos(sint)dt2sin(cost)dt.

0所以我们只需证cos(sint)sin(cost)．(当t(0,)时)由已知(0,)上sinxx,cosx22sin(cost)costcos(sint).

即证原不等式



1cosx1x20dx6

1sinx1x20dx.

8.在不等式两端取变限积分证明新的不等式

利用在不等式两端取变限积分来证明不等式，此种方法要求较高，技巧性太强，难度较大。但对于一些不易证明的不等式应用此种方法则较为简便。

要点：若f(x)g(x)(或f(x)g(x))，则

baf(x)dxg(x)dx(或f(x)dxg(x)dx),(x(a,b)).

aaabbbx3x3x5sinxx例9 证明：x0时，x. 66120证明 已知cosx1 (x0,只有x2n时等号才成立).在此式两端同时取0,x上的积分，得

sinxx （x0）.

再次取0,x上的积分，得

x21cosx （x0）.

2即可得到

x3xsinx （x0）.

6然后继续取0,x上的积分，得

x3x5sinxx.

6120移项即可得所要证明的不等式

x3x3x5xsinxx.

66120

9.利用著名的不等式证明其他不等式

利用著名的不等式证明其他不等式要求我们应熟悉掌握数学分析中的一些常用的不等式，掌握了这些不等式我们可以利用他们来直接对其他一些难度较大不等式进行证明。此种方法对学生要求较高，难度也较大，技巧性更强。

要点：

Cauchy不等式 设ai,bi为任意实数（i1,,n）则(ab)ab22iiii1i1i1nnn2i，其

7

中当且仅当ai,bi成比例时等号才成立.

Schwarz不等式 若f(x),g(x)在（a,b）上可积，则

(f(x)g(x)dx)2f2(x)dxg2(x)dx．

aaabbb若f(x),g(x)在（a,b）上连续，其中等号当且仅当存在常数,使得f(x)g(x)时成立（,不同时为零）.

Holder不等式 设a1,a2,,an及b1,b2,,bn是两个正整数序列，

1p1qq111，则当pqpqp1时，有(ai)(bi)aibi当p0时，不等号反向.其中当且仅当ai和bipi1i1i1nnn成比例时取等号.

平均不等式 对任意n个实数ai0(i1,2,,n)恒有

na1a2ana1a2an。其中当且仅当a1a2an时等号成立.

n 例10 已知f(x)0，在[a,b]上连续，

bbbaf(x)dx1,k为任意实数，求证：

(f(x)coskxdx)2(f(x)sinkxdx)21.

aa证明 所要证明的式子的左端第一项应用 Schwarz不等式

(f(x)coskx)2[abbaabbaf(x)(f(x)coskx)dx]22baf(x)dxf(x)coskxdxf(x)cos2kxdx

同理可得

(f(x)sinkxdx)2f(x)sin2kxdx

aabb两式相得

(f(x)coskxdx)(f(x)sinkxdx)21.

aab2b即得证.

二、不等式在数学教学中的意义

恒等关系是义务教育数学学习中的一种基本的关系。在义务教育的学习过程中，有哪些恒等关系是重要的？是需要学生掌握的？决定这些恒等关系的基本数学思想是什么？这些数学思想是怎么发挥作用的？

b) 在义务教育阶段也引入了事物之间的不等关系，同时也引出了一些重要的不等关系，

8

例如，实数中的不等关系。我们还引出了一些不等关系的性质，例如，ab0，bc0就可以得出ac。建议同学们梳理一下在义务教育阶段所学的不等关系，体会不等关系与恒等关系的区别。

c) 在高中的必修5，我们设置了不等式的内容。它大体上由四部分内容组成。我们同学们梳理复习这四部分内容。

第一部分是，一些基本不等式的性质，例如，ab,c0得出acbc等。 第二部分是，在学会解一元一次不等式的基础上，引入了一元二次不等式。 第三部分是，介绍了我们一个经常使用的不等式，这个重要的不等式有许多不同的呈现形式，值得一提的是，它还有很多重要的几何形式。

第四部分是，简单的线性规划问题。解决线性规划问题是按照以下基本步骤实现的： 1）确定目标函数

2）确定目标函数的约束条件，即讨论这个目标函数的可行区域。利用不等式刻画目标函数的约束条件。

3）观察目标函数在可行区域内的变化趋势。 4）确定使得目标函数达到最大或最小值的解。

同学们应该思考的是，在讨论这些不等式的过程中什么思想发挥了作用。

d) 在我们上面分析的这些内容的学习中，我们可以体会到由运算思想所体现的恒等变换的能力。这种能力在研究不等式中发挥了重要的作用。建议同学们在教师的帮助下更好的发挥这种能力。

e) 由运算思想所体现的恒等变换的能力，是一种重要的逻辑推理的能力。在本专题中，提高这种能力是本专题的基本定位。建议教师思考在本专题中，如何体现这样一个基本定位。

f) 我们知道基本不等式，ab2ab,它有着重要的几何背景。如图所示：

22

所以ab2ab

22

222 令AFaBFb,则ABab,而S四边形ABCD4S三角形BGC

当AFBF时，正方形EFGH缩为一点，S四边形ABCD4S三角形BGC

实际上每一个好的不等式都有重要的数学背景，特别是重要的几何背景。

教师应思考这样的问题，如何引导学生体会和认识不等式的几何背景，以及这些几何背景在证明不等式的过程中发挥的几何意义？

g) 本专题我们主要介绍以下内容 （1）不等式的基本性质和基本不等式；

（2）绝对值不等式及其几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明和求解一些绝对值不等式；

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（3）认识柯西不等式的几种不同形式及其几何意义，用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况；

（4）用向量递归方法讨论排序不等式；

（5）了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题； （6）会用数学归纳法证明贝努利不等式；

（7）会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值；

（8）通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

教师应该思考，如何让学生构架起本专题的知识结构。

教师还应该思考，如何帮助学生总结、概括高中阶段有关不等关系的内容，并能写出一个好的读书报告与学生进行交流，总结在不等关系学习中的重要的数学思想。

h) 教师应了解学生学习不等式选讲的基础，并思考如何根据学生的起点设计本专题的教学方案。

总结

不等式是数学分析中的一个重点也是一个难点，也能为其他数学分支的学习提供一个重要工具。不等式的证明是数学领域的重要内容，也是学习中的一个难点。不等式作为一个系统，其内容较为复杂，其的证明方法也较多，以上只是简要介绍了不等式证明的几种常用方法，并用例题作一讲解，意在抛砖引玉。

参考文献:

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京：高等教育出版社.2006. [2]贺彰雄.不等式证明的几种常见方法.湖北教育学报,2007，10(1)：10-20. [3]王晓峰，李静.证明不等式的若干方法.数理医药学杂志.2008.12(1):12-20. [4]张锦来.微分法在不等中的应用.新乡教育学报.2008.10(2):12-20. [5]郭要红，戴普庆.中学数学研究.安徽：安徽教育出版社.

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英文摘要

MATHEMATICAL ANALYSIS OF SOME METHODS TO

PROVE THE INEQUALITY

LIU zhuo

Abstract: This paper is mainly used in the mathematical analysis of monotonicity, the differential mean value theorem, the formula of Taylor, the definition of convex function, extreme value, limit and the integral and other relevant knowledge to prove inequality, but also through the application of some famous inequalities proof of inequality. By using the above method allows us to prove inequality related knowledge to have a more profound understanding to system, and many other content in mathematics learning provides an important tool. Key words: mathematical analysis inequality monotonicity

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论文评阅人意见

论文（设计）题目 作 者 评阅人 数学分析中证明不等式的若干方法 刘卓 评阅人职称 意 见 评阅人 签字

评阅意见

论文评阅人意见

论文（设计）题目 作 者 评阅人 数学分析中证明不等式的若干方法 刘卓 评阅人职称 意 见 评阅人 签字 评阅意见

指导教师评语页

论文（设计）题目 作 者 指导教师 卞春雨 数学分析中证明不等式的若干方法 刘卓 职 称 讲师 评 语 指导教师签字

论文等级

本科毕业论文（设计）答辩过程记录

院系 数学科学学院 专业 数学与应用数学 年级 2008级 答辩人姓名 刘卓 学号 2008211405 毕业论文（设计）题目 数学分析中证明不等式的若干方法 毕业论文（设计）答辩过程记录：

答辩是否通过：通过（ ） 记录员 年 月 日

未通过（ ）

答辩小组组长签字

年 月 日

本科毕业论文（设计）答辩登记表

院（系）：数学科学学院 专业：数学与应用数学 年级：2008级 论文（设计）题目：数学教学内容知识分类与研发举例 答辩人：刘卓 评阅人： 指导教师：卞春雨 论文（设计）等级： 答辩小组成员： 学号：2008211405 答辩小组意见： 秘书签名： 年 月 日 论文（设计）答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ） 论文（设计）最终等级： 答辩小组组长签名：

答辩委员会主席签名：