平谷区2015-2016 学年度第一学期质量监控【含答案】

初三数学 2016.1

一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．在ABC中，C90，sinB3，则B的度数是（ ） 2A．30 B．45 C．60 D．90 2．如果4x5y(y0)，那么下列比例式成立的是（ ）

A．

x4xyxy B． C． 4554y5

D．

x54y

3．抛物线y(x1)22的顶点坐标是（ ）

A．（1，2） B．（1，-2） C．（-1，2） D．（-1，-2）

ADEC4．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点， 且DE∥BC，若AD5，BD10，AE3，则CE的长为（ ） A．3 B．6 C．9 D．12

B

5．如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切 时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（ ） A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm

2 3 4 5 6 7 8 9 10 6．把抛物线y=x2+1向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线表达式为（ ） A．y(x3)2 B．y(x3)1 C．y(x3)1 D．y(x3)2 7．如图，在4×4的正方形网格中，tanα的值等于 （ ）．

22221525A．2 B． C． D． 255α8．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ） A．10米

B．9.6米 C．6.4米 D．4.8

9．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比 例函数y1k的图象上．若点B在反比例函数y的图象上，则k的值为（ ） xxyBA．2 B．-2 C．4 D．-4

OAx1

10．如图，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，

设∠APB=y（单位：度），点P运动的时间为x（单位：秒），那么表示y与x关系的图象是（ ）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．如图，在⊙O中，∠BOC＝100º，则∠A的度数是 ．

AO100°BC3

13题图

11题图

______________________________．

12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象写出一条此函数的性质

13．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积比等于 ．

14．数学课上，老师让学生用尺规作图画RtABC，使其斜边ABc，一条直角边BCa.小明的做法如图所示，你认为小明这种做法中判断ACB是直角的依据是___________.

15．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作 OE∥AC交半圆O于点E，过点E

作EF⊥AB于F．若AC=12，则OF的长为 ．

16．在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，在x轴上取一点C，使以B，O，C为顶点的三角形与△AOB

相似，写出符合请条件的C点坐标_____________________．

三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：2sin453tan302tan60cos30

2

CcaAOBEADOFBCE15题图

14题图 18．已知：如图，△ABC中，ACDB，求证：△ABC∽△ACD．

A

D BC

19．已知点(3，0)在抛物线y3x2(k3)xk上，求此抛物线的对称轴．

20．在Rt△ABC中，C = 90，sinA513， AC =24，求BC的长．

21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC的延长线与AD的延长线相交于点E，且DC=DE．A求证：∠A=∠AEB． OD

BC E

22．已知抛物线y= (m -2)x2 + 2mx + m +3与x轴有两个交点． (1) 求m的取值范围；

(2) 当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标．

3

23．下表是二次函数yax2bxc(a0)图象上部分点的横坐标（x）和纵坐标（y）.

x y … … -1 8 0 3 1 0 2 -1 3 0 4 m 5 8 … … （1）观察表格，直接写出m=____； （2）其中A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且-1< x1 <0， 2< x2 <3，

则y1_____y2（用“>”或“<”填空）；

（3）求这个二次函数的表达式．

24．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°， E为AB的中点，联结CE，DE. （1）求证：AC2＝AB•AD；

（2）若AD＝4，AB＝6，求AF的值．

FC

25．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”, 如图1所示, 点A是栏杆转动的支点, 点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时, 栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置, 其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计）, 其中AB⊥BC, EF∥BC, ∠AEF=143°, AB=AE=1.3米, 那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37° ≈ 0.60, cos 37° ≈ 0.80, tan 37° ≈ 0.75）

AEFAADCFEBEFEABF图1 图2 图3

C4

26．如图,在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(点P不与A、D重

合)，PE⊥BP，PE交DC于点Ｅ． (1)求证：△ABP∽△DPE；

(2)设AP＝x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？

BA如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．

27．如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，

CEDPABBC6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动.

（1）当B与O重合的时候，三角板运动的时间是_____； （2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；

2

CFCGCE．（3）如图3，当AB和DE重合时，联结OC交半圆于点F，联结DF并延长交CE于点G.求证：

CCFCGHABD图1

OEADO图2BEDO图3E

5

28.探究活动：

利用函数y(x1)(x2)的图象(如图1)和性质，探究函数y(x1)(x2)的图象与性质. 下面是小东的探究过程，请补充完整：

(1)函数y(x1)(x2)的自变量x的取值范围是___________；

(2)如图2，小东列表描出了函数y(x1)(x2)图象上部分点，请画出函数图象；

(3)解决问题：设方程(x1)(x2)1yy2211图1O2x-1 O1 2 3 4 x 图211xb0的两根为x1、x2，且x1x2，方程x23x2xb44的两根为x3、x4，且x3x4.若1b2，则x1、x2、x3、x4

的大小关系为 （用“<”连接）．

29. 小明在学习时遇到这样一个问题：

22如果二次函数ya1xb1xc1（a10，a1，b1，c1是常数）与ya2xb2xc2（a20，a2，b2，c2是常数）满足a1a20，b1b2，c1c20，则称这两个函数互为“旋转函数”．求yx23x2函数的“旋转函数”．

小明是这样思考的：由yx23x2函数可知a1=-1，b1=3，c12，根据

a1a20b1b2，c1c20，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面的问题：

（1）写出函数yx23x2的“旋转函数”； （2）若函数yx（3）已知函数y24mx2与yx22nxn互为“旋转函数”，求(mn)2016的值； 31(x1)(x4)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原21，B，CA，B，Cy(x1)(x4)互为点的对称点分别是A，试证明经过点的二次函数与函数1111112“旋转函数”．

6

平谷区2015-2016 学年度第一学期质量监控答案

初三数学 2016.1

一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 C 6 C 7 A 8 B 9 D 10 B 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题号 11 12 13 14 15 16 开口向下直径所对的圆周答案 50° （答案不4：9 角是直角 唯一） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 6 （-4,0）；(,0)；(,0) 949417.解： 2233---------------------------------------------------------- 4分 323232233 ------------------------------------------------------------5分

18.证明：在△ABC和△ACD中

ADAA----------------------------------4分 ACDB ∴△ABC∽△ACD ----------------------------5分 B19.解：∵点(3, 0)在抛物线y3x2(k3)xk上，

C∴03323(k3)k．-------------------------------------------------------------------2分 ∴k9． ---------------------------------------------------------------------------------------------3分

∴抛物线的解析式为y3x212x9． --------------------------------------------------4分∴对称轴为

xb122．--------------------------------------------------------------5分 2a2(3)20.解：在Rt△ABC中，C = 90，sinA∴sinA5 13

设BC=5x，AB=13x.

由勾股定理得AC =12x.-------------------------------- ---------------------------------------------------3分 ∵AC =24,

∴12x=24 解得x=2---------------------------------------------------------------------------------------4分 ∴BC=5x=10-------------------------------------------------------------------------------------------------5分

7

BC5AB13--------------------------------------------------------------------------2 分

21．证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠BCD=180°．------------------------------------------------------------------2分 ∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE．-----------------------------------------3分 ∵DC=DE，

∴∠DCE=∠AEB．-------------------------------------------------------------------------4分

∴∠A=∠AEB．----------------------------------------------------------------------------5分

22．（1）解：在 y= (m -2)x2 + 2mx + m +3 中，令y=0

(2m)24(m2)(m3)0 由题意得---------------------------------------------2分

m204m240整理，得 

m2解得 m6且m2------------------------------------------------------------3分

（2）满足条件的m的最大整数为5．--------------------------------------------------------4分 ∴y=3x2+10x+8

令y=0，3x2+10x+8=0，解得

4x2或x

3∴抛物线与x轴有两个交点的坐标分别为（-2,0）、（4，0）-----------------5分 323．解（1）3； -----------------------------------------------------------------------------------------1分 （2）>； ------------------------------------------------------------------------------------------2分

（3）观察表格可知抛物线顶点坐标为（2，-1）且过（0，3）点，

设抛物线表达式为ya(x2)21-------------------------------------------------------------3分

把（0，3）点代入，4a-1=3，

解得a=1---------------------------------------------------------------------------------------------4分 ∴y(x2)21

yx24x3------------------------------------------------------------------------------------5分

24．(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2．-------------------------------------------------1分 ∵∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△ACB-------------------------------------------------------------------2分

∴

ADACACAB

∴AC2＝AB•AD----------------------------------------------------------------------------3分

DC(2)解：

12

3F8

AEB在△ACB中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，AB＝6，

1∴ECAEAB32

∴∠2＝∠3．

∵∠1＝∠2

∴∠1＝∠3-----------------------------------------------------------------------------------------------4分

∵∠AFD＝∠CFE ∴△AFD∽△CFE ∴AFAD FCEC∵AD＝4，EC=3，

∴AF4 FC3-------------------------------------------------------------------------------------------------5分

25．解：过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H．-----------------------------------------1分

∵EF∥BC，∴∠GEF=∠BGE=90° ∵∠AEF=143°，∴∠AEH=53°．

∴∠EAH=37°．---------------------------------------------------------------------------------------------2分

在△EAH中，AE=1.2，∠AHE=90° ∴sin∠EAH= sin 37° ∴

AEHFEH0.6 AEBGC∴EH=1.2×0.6=0.72．-------------------------------------------------------------------------------------3分

∵AB⊥BC，

∴四边形ABGH为矩形．

∵GH=AB=1.2-----------------------------------------------------------------------------------------------4分

∴EG=EH+HG=1.2+0.72=1.92≈1.9

答：适合该地下车库的车辆限高标志牌为1.9米----------------------------------------------------5分

26．（1）证明：∵∠A=90°

B312A∴∠1+∠3=90°

∵PE⊥BP

∴∠1+∠2=90° ∴∠3=∠2

∵AB∥CD，∠A=90°，

PCED∴∠D=∠A=90°

∴△ABP∽△DPE------------------------------------------------------------------------2分

(2)由△ABP∽△DPE可得 ABAP

DPDE

9

∵AB=2，AD=5，AP＝x，DE=y ∴DP=5-x． ∴

2x 5xy整理，得y125xx （0当DE=AB=2时，四边形ABED构成矩形． 即DE=y125xx2 22解得x=1或x=4

∴AP的长为1或4.----------------------------------------------------------------------------------------5分 27．（1） t=2s----------------------------------------------------------------------------------------------1分

(2)如图，联结点O与切点H，则OH⊥AC，又∠A=45°， ∴AO2OH32cm．

HC∴AD=AO-DO=(323)cm．--------------------------3分 (3) 联结EF，

∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD．--------------------------4分 ∵DE为直径，∴∠DFE=90°． ∴∠ODF+∠DEF=90°． ∠DEC＝∠DEF+∠CEF=90°

∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG．---------------------5分 又∠FCG=∠ECF，

∴△CFG∽△CEF．--------------------------------------------------------------------------------------6分

∴

ADOBE图2CFGDO图3ECFCG． CECFCF2CGCE-----------------------------------------------------------------------------------------7分

28．解：（1）x1或x2； ------------------------------------------------------------------2分

（2）如图所示：

-----------------------------------------------------------------5分

10

（3）x1x3x4x2. --------------------------------------------------------------7分

29．解：（1）yx23x2---------------------------------------------------------------------------1分

（2）∵函数yx24mx2与yx22nxn互为“旋转函数”， 34m3m2n ∴3，解得n22n0∴(mn)2016(32)20161. --------------------------------------------------------------------4分

（3）证明：∵函数y1(x1)(x4)的图象与x交于A，B两点，与y轴交于点C， 2∴ A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)， --------------------------------------------------------------------5分

∵ A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，

∴A1(1，0)，B1(-4，0)，C1(0，-2). -------------------------------------------------------------------6分

设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y1=a(x-1)(x+4)，

1.-----------------------------------------------------7分 21123∴经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y1(x1)(x4)xx2.

2221123∵y1(x1)(x4)xx2，

222113∴a1a20，b1b2=，c1c22(2)0.

2221∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y(x1)(x4)互为“旋转函数”．---------8分

2将C1(0，-2)代入得-2=a(0-1)(0+4)，解得a

11