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北京市海淀区2021届高三上期末数学试题

2022-01-26 来源:乌哈旅游
2021北京海淀高三(上)期末

数 学

2020.01

本试卷共8页,150分。考试时常120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共10 小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)抛物线yx的准线方程是

(A)x211 (B)x 24(C)y1 2(D) y1 4(2)在复平面内,复数

(A)第一象限

5i对应的点位于 1i(C)第三象限

(D)第四象限

(B)第二象限

(3)在x2的展开式中,x4的系数为

(A)5

(B)5

(C)10

(D)10

(4)已知直线l:xay20,点A(1和点B(2,2),若l//AB,则实数a的值为 ,1)(A)1

(B)1

(C)2

(D)2

(5)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为

(A)2

(B)4 (C)6

(D)12

(6)已知向量a,b满足a1,b,且ab2,则ab (2,1)(A)1

(B)0

(C)1

(D)2

(7)已知,是两个不同的平面,“∥”的一个充分条件是

(A)内有无数直线平行于 (B)存在平面,, (C)存在平面,m,n且m∥n

(D)存在直线l,l,l (8)已知函数f(x)12sin(x(A)f(x)是偶函数 (B)函数f(x)的最小正周期为2π (C)曲线yf(x)关于x(D)f(1)f(2)

(9)数列an的通项公式为ann3n,nN,前n项和为Sn,给出

224) 则

π对称 4下列三个结论:

①存在正整数m,n(mn),使得SmSn;

②存在正整数m,n(mn),使得aman2aman; ③记,Tna1a2确结论的序号是

(A) (B)③ (C)③ (D)②③

(10)如图所示,在圆锥内放入连个球O1,O2,它们都与圆锥相切(即与圆锥的每条母线相切),切点圆(图中Dandelin)利用这个模型证粗线所示)分别为,⊙. 这两个球都与平面a相切,切点分别为F1,F2,丹德林(G·

an(1,2,3,)则数列Tn有最小项,其中所有正

明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆,F1,F2为此椭圆的两个焦点,这两个球也称为Dandelin 双球。若圆锥的母线与它的轴的夹角为,, ⊙的半径分别为1,4,点M为⊙上的一个定点,点P为椭圆上的一个动点,则从点P沿圆锥表面到达M的路线长与线段PF1的长之和的最小值是

(A)6 (B)8 (C)33 (D)43

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。

(11)在“互联网+”时代,国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合,实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况,在抽取样本中,高一学生有16人,则该样本中的高三学生人数为 .

(12)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S1、S2、a3成等差数列,则数列{an}的公比为 . y21的左右焦点分别为F1,F2,点M(3,4),则双曲线的渐近线方程为 ;(13)已知双曲线x22MF1MF2 ;

x(14)已知函数f(x)是定义域R的奇函数,且x0时,f(x)ae1,则a ,f(x)的值域是 ;

22(15)已知圆P:(x5)(y2)2,直线l:yax,点M(5,22),点A(s,t).

给出下列4个结论:

①当a0,直线l与圆P相离; ②若直线l圆P的一条对称轴,则a2; 52120③若直线l上存在点A,圆P上存在点N,使得MAN90,则a的最大值为;

④N为圆P上的一动点,若MAN90,则t的最大值为其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

(16)(本小题共15分)在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BCC1B1为矩形,AC平面BCC1B1,D,E分别是棱

528. 4AA1,BB1的中点.

(Ⅰ)求证:AE∥平面B1C1D (Ⅱ)求证:

CC1平面ABC

(Ⅲ)若ACBCAA12,求直线AB与平面B1C1D所成角的正弦值.

(17)(本小题共14分)若存在ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个,请选择一组这样的三个条件并解答下列问题: (Ⅰ)求A的大小;

(Ⅱ)求cosB和a的值. 条件①:sinC33; 14条件②:a7c; 3条件③:ba1; 条件④:bcosA

5 2

(18)(本小题共14分)

某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示:

年份

年生产台数(单位:万台) 年返修台数(单位:台) 年利润(单位:百万元)

2013 2014 3 32 3.85

4 38 4.50

2015 2016 2017 2018 2019 5 54 4.20

6 58 5.50

6 52 6.10

9 71

10 80

2020 10 75

2021

a

b c

9.65 10.00 11.50

注:年返修率=年返修台数.

年生产台数(Ⅰ)从2013~2020年中随机抽取一年,求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率;

(Ⅱ)公司规定:若年返修率不超过千分之一,则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2020年中随机选出3年,记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求的分布列和数学期望;

(Ⅲ)记公司在2013~2015年,2016~2018年,2019~2021年的年生产台数的方差分别为s1,s2,s3.若

2222s3max{s12,s2},其中max{s12,s2}表示s12,s2,这两个数中最大的数.请写出a的最大值和最小值.(只需写出

222结论) (注:s

21[(x1x)2(x2x)2(xnx)2],其中x为数据x1,x2,,xn的平均数) nx2y23. (19)(本小题共14分)已知椭圆W:22(的离心率为,且经过点C(2,3)1ab0)ab2(Ⅰ)求椭圆W的方程及其长轴长;

(Ⅱ)右顶点,点D在椭圆W上,且位于x轴下方,直线CD交x轴于点Q,若△ACQA,B分别为椭圆W的左、的面积比△BDQ的面积大23,求点D的坐标.

(20)(本小题共14分)

已知函数f(x)lnx. x(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)设g(x)f(x)x,求证:g(x)1;

(Ⅲ)设h(x)f(x)x2ax4a1.若存在x0使得h(x0)0,求a的最大值.

22

(21)(本小题共14分)设A是由nn(n2)个实数组成的n行n列的数表,满足:每个数的绝对值是1,且所有数的和是非负数,则称数表A是“n阶非负数表”.

(Ⅰ)判断如下数表A1,A2是否是“4阶非负数表”;

1,2,3,4,5,(Ⅱ)对于任意“5阶非负数表”A,记R(s)为A的第s行各数之和,证明:存在i,j,k(1s5)使得R(i)R(j)R(k)3;

(Ⅲ)当n2k(kN)时,证明:对与任意“n阶非负数表”A,均存在k行k列,使得这k行k列交叉处的k2*个数之和不小于k.

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