第五章 相交线与平行线 ....................................................................................................... 2
5.1 相交线 ........................................................................................................................ 2 5.2 平行线及其判定 .................................................................................................... 12 5.3 平行线的性质 ........................................................................................................ 15 5.4 平移 ........................................................................................................................ 21 第六章 实数 ......................................................................................................................... 23
6.1 平方根 ...................................................................................................................... 23 6.2 立方根 ...................................................................................................................... 34 6.3 实数 .......................................................................................................................... 37 第七章 平面直角坐标系 ..................................................................................................... 45
7.1 平面直角坐标系 ...................................................................................................... 45 7.2 坐标方法的简单应用 .............................................................................................. 52 第八章 二元一次方程组 ..................................................................................................... 57
8.1 二元一次方程组 ...................................................................................................... 57 8.2 消元-解二元一次方程组 ...................................................................................... 60 8.3 实际问题与二元一次方程组 ................................................................................ 66 8.4 三元一次方程组的解法 .......................................................................................... 69 第九章 不等式与不等式组 ................................................................................................... 74
9.1 不等式 ...................................................................................................................... 74 9.2 一元一次不等式 ...................................................................................................... 79 9.3 一元一次不等式组 .................................................................................................. 86 第十章 数据的收集、整理与描述 ....................................................................................... 92
10.1 统计调查 ................................................................................................................ 92 10.2 直方图 .................................................................................................................... 97 10.3 课题学习 从数据谈节水 .................................................................................... 102
第五章 相交线与平行线 5.1 相交线
5.1.1 相交线
【教学目标】
1. 理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．
2. 掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．
3. 通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力． 【教学重点】
在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角． 【教学难点】
在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角． 【新课导入】
先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题． 学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的．
教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线、平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，引入本节课题．
【教学过程】 1．对顶角和邻补角的概念
学生活动：观察上图，同桌讨论，教师统一学生观点并板书．
【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．
学生活动：让学生找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？ 学生口答：∠2和∠4再也是对顶角． 紧扣对顶角定义强调以下两点：
（1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边．符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行．
（2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角． 2．对顶角的性质
提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？ 学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么． 【板书】∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义）， ∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．
注意：∠l与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．
或写成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义）， ∴∠1＝∠3（等量代换）．
学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演。
解：∠3＝∠1＝40°（对顶角相等）． ∠2＝180°－40°＝140°（邻补角定义）． ∠4＝∠2＝140°（对顶角相等）．
【例题展示】
例1 让学生把例题中∠1＝40°这个条件换成其他条件，而结论不变，自编几道题．
变式1：把∠l＝40°变为∠2－∠1＝40° 变式2：把∠1＝40°变为∠2是∠l的3倍 变式3：把∠1＝40°变为∠1：∠2＝2：9
【课堂小结】
学生活动：表格中的结论均由学生自己口答填出．
角的名称 特征 ①两条直线相交面成的角 性质 对顶角 相等 相同点 不同点 对顶角没有公共边而邻补角有一条公共边；两条直线相交时，一个有的对顶角有一个，而一个角的邻补角有两个。 对顶角 ②有一个公共顶点 ③没有公共边 ①两条直线相交面成的角 都是两直线相交而成的角，都有一个公共顶点，它们邻补角 ②有一个公共顶点 ③有一条公共边 邻补角 互补 都是成对出现。
5.1.2 垂线
课时1 垂线
【教学目标】
1. 认识生活中的垂直现象,理解垂直定义,并能用符号表示.掌握垂线的性质,会过一点作已知直线的垂线.
2. 经历垂线画法,垂线的性质以及点到直线的距离的探索过程,尝试从不同角度寻求垂线的画法,用不同方法得到垂线的性质.
3. 通过与生活相联系,让学生对数学产生兴趣,认识到数学的实用价值. 【教学重点】
垂线、垂线段、点到直线的距离的概念. 【教学难点】
垂线的性质和点到直线的距离. 【新课导入】
问题1教具：在相交线模型中，固定木条a,转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角也会发生变化.体验当α=90°时，a与b互相垂直的位置关系.
问题2已知点P和直线l,过点P画直线a⊥l.
问题3在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？若比例尺为1∶100000，水渠大约要挖多长？
【教学说明】在问题1中，教师可只作演示，从而引出互相垂直的定义，同时给出垂线、垂直等相关概念以及垂直符号的运用与读法.
在问题2中，要引导学生得出过一点只能画一条直线与已知直线垂直这一重
要结论.
在问题3中，要提示学生把河中的水引到农田P处，有无数种挖渠方法，但只有一种方法挖渠最短，从而引出垂线段最短的重要结论.要完成问题3中的第2个问题，可先提醒学生复习小学已学过的“比例尺=图距∶实距”这一重要知识.
【教学过程】
思考 1.两条直线相交，所成的4个角中.如果有一个角是90°，那么其余各角分别是多少度？
2.连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3……,其中PO⊥l(PO称为P到直线l的垂线段)，比较线段PO，PA1,PA2,PA3……的长短，这些线段中，哪一条最短？
3.垂线段和点到直线的距离有哪些区别和联系？ 【归纳结论】1.定义：
互相垂直：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是90°，那么这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
2.两条重要公理：
垂直公理：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段公理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，可简单说成：垂线段最短.
3.垂线段和点到直线的距离的区别与联系：
【例题展示】
例1.如图，CO⊥AB于O，OD⊥OE，∠AOE=42°，求∠DOC的度数.
例2.小刚牵着一头小牛从A先到B拿东西，再到河边让小牛饮水，请画出小刚的最佳行走路线，并说明这种画法的理由.
例3.如图，PR⊥l,QR⊥l,R为垂足，那么P，Q，R在同一直线上吗？
例4.如图，已知AOB为一条直线，OC为一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由.
【教学说明】本环节可采用先让学生独立思考，再以小组交流的方式展开，其中题2、3、4鼓励学生用自己的语言叙述，逐步渗透用数学语言进行说明的能力.
【答案】1.解：CO⊥AB于O，OD⊥OE，由垂直的定义可得∠AOC=90°，∠DOE=90°.
则∠COE=∠AOC-∠AOE=90°-42°=48°， ∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-48°=42°. 2.解：小刚的最佳行走路线如图.
理由：两点间的线段最短；点到直线的垂线段最短.
3.解：P、Q、R在同一直线上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4.解：OD⊥OE，理由如下：AOB为一条直线，∠AOB=180°，OD平分∠BOC，
11OE平分∠AOC，所以∠DOC=∠BOC，∠EOC=∠AOC，所以∠DOE=∠DOC+∠
2211EOC=(∠BOC+∠AOC）=∠AOB=90°，即OD⊥OE.
22【课堂小结】
本节课应掌握：
垂直定义，点到直线的距离，垂直公理，垂线段公理. 【课后作业】 “习题5.1”
课时2 垂线段
【教学目标】
1. 认识生活中的垂直现象,理解垂直定义,并能用符号表示.掌握垂线的性质,会过一点作已知直线的垂线.
2. 经历垂线画法,垂线的性质以及点到直线的距离的探索过程,尝试从不同角度寻求垂线的画法,用不同方法得到垂线的性质.
3. 通过与生活相联系,让学生对数学产生兴趣,认识到数学的实用价值. 【教学重点】
垂线、垂线段、点到直线的距离的概念. 【教学难点】
垂线的性质和点到直线的距离. 【新课导入】
问题1教具：在相交线模型中，固定木条a,转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角也会发生变化.体验当α=90°时，a与b互相垂直的位置关系.
问题2已知点P和直线l,过点P画直线a⊥l.
问题3在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？若比例尺为1∶100000，水渠大约要挖多长？
【教学说明】在问题1中，教师可只作演示，从而引出互相垂直的定义，同时给出垂线、垂直等相关概念以及垂直符号的运用与读法.
在问题2中，要引导学生得出过一点只能画一条直线与已知直线垂直这一重要结论.
在问题3中，要提示学生把河中的水引到农田P处，有无数种挖渠方法，但只有一种方法挖渠最短，从而引出垂线段最短的重要结论.要完成问题3中的第2个问题，可先提醒学生复习小学已学过的“比例尺=图距∶实距”这一重要知识.
【教学过程】
思考 1.两条直线相交，所成的4个角中.如果有一个角是90°，那么其余各角分别是多少度？
2.连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3……,其中PO⊥l(PO称为P到直线l的垂线段)，比较线段PO，PA1,PA2,PA3……的长短，这些线段中，哪一条最短？
3.垂线段和点到直线的距离有哪些区别和联系？ 【归纳结论】1.定义：
互相垂直：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是90°，那么这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
2.两条重要公理：
垂直公理：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段公理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，可简单说成：垂线段最短.
3.垂线段和点到直线的距离的区别与联系：
【例题展示】
例1.如图，CO⊥AB于O，OD⊥OE，∠AOE=42°，求∠DOC的度数.
例2.小刚牵着一头小牛从A先到B拿东西，再到河边让小牛饮水，请画出小刚的最佳行走路线，并说明这种画法的理由.
例3.如图，PR⊥l,QR⊥l,R为垂足，那么P，Q，R在同一直线上吗？
例4.如图，已知AOB为一条直线，OC为一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由.
【教学说明】本环节可采用先让学生独立思考，再以小组交流的方式展开，其中题2、3、4鼓励学生用自己的语言叙述，逐步渗透用数学语言进行说明的能力.
【答案】1.解：CO⊥AB于O，OD⊥OE，由垂直的定义可得∠AOC=90°，∠DOE=90°.
则∠COE=∠AOC-∠AOE=90°-42°=48°， ∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-48°=42°.
2.解：小刚的最佳行走路线如图.
理由：两点间的线段最短；点到直线的垂线段最短.
3.解：P、Q、R在同一直线上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4.解：OD⊥OE，理由如下：AOB为一条直线，∠AOB=180°，OD平分∠BOC，
11OE平分∠AOC，所以∠DOC=∠BOC，∠EOC=∠AOC，所以∠DOE=∠DOC+∠
2211EOC=(∠BOC+∠AOC）=∠AOB=90°，即OD⊥OE.
22【课堂小结】
本节课应掌握：
垂直定义，点到直线的距离，垂直公理，垂线段公理. 【课后作业】 “习题5.1”
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
【教学目标】
1. 了解同位角、内错角、同旁内角的概念.
2. 会在复杂或变式的图形中找出同位角、内错角或同旁内角，并能说出它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的.
3. 通过对同位角、内错角、同旁内角这三类位置关系的两个角的认识，体会识图的重要性，提高看图识图的本领.
【教学重点】
理解同位角、内错角、同旁内角的概念. 【教学难点】
在复杂或变式的图形中找出同位角、内错角或同旁内角，并能说出它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的.
【新课导入】
问题 如图，两条直线AB，CD被直线EF所截，形成了
八个角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8.
（1）观察∠1与∠5的位置关系，这种位置关系的角还有哪些？ （2）观察∠3与∠5的位置关系，这种位置关系的角还有哪些？ （3）观察∠3与∠6的位置关系，这种位置关系的角还有哪些？
【教学说明】在本问题中，全班同学合作交流，完成上面的问题，教师可作如下指导：先看这两个角与两条直线AB、CD的位置关系，再看这两个角与第三条直线EF的位置关系.
【教学过程】
思考 已知同位角、内错角或同旁内角，怎样判断它们是哪两条直线被第三条直线所截形成的？
【归纳结论】1.定义：
同位角:两条直线被第三条直线所截，如果两个角在这两条直线的同一方，在第三条直线的同一侧，那么这两个角叫同位角.
内错角:两条直线被第三条直线所截，如果两个角在这两条直线之内，并且分别在第三条直线的两侧，那么这两个角叫内错角.
同旁内角:两条直线被第三条直线所截，如果两个角在这两条直线之内，在第三条直线同一旁，那么这两个角叫同旁内角.
2.要判断同位角，内错角或同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截形成的，可先判断出第三条直线，第三条直线的显著特点是与两个角的边都有关.
【例题展示】
例1 如图，（1）∠B与哪个角是同位角，它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的？
（2）∠B与哪个角是同旁内角，它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的？
（3）∠C与哪个角是内错角，它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的？
（4）∠1与∠B是同位角吗？为什么？
【教学说明】本环节易采用抢答的形式让同学们回答，激发学生学习的趣味性.
【答案】略. 【课堂小结】 本节课应掌握：
同位角、内错角、同旁内角的概念. 【课后作业】
从教材“习题5.1”中选取.
5.2 平行线及其判定
5.2.1 平行线
【教学目标】 1. 掌握平行线的概念. 2. 理解平行公理及其推论.
3. 经历实验、画图、观察归纳的过程，体会数学学习的方法与技巧. 【教学重点】
平行公理及其推论的理解. 【教学难点】
平行公理及其推论的归纳、理解与运用. 【新课导入】 一、情境导入，初步认识
问题1 教具：如图，分别将木条a，b与木条c钉在一起，并将它们想象成在同一平面内两端成无限延伸的三条直线，将b，c不动，转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与b相交，相象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？
问题2 如图，已知直线a和它之外两点B、C，过B、C作直线b、c与直线a平行.过点B可作几条直线与直线a平行？过点C可作几条直线与直线a平行？直线b与c平行吗？
【教学说明】对问题1，可由教师演示，也可制成多媒体课件进行放映，不难得出平行的定义.
对问题2，可先由学生独立完成，然后再互相交流，最后将学生的成果进行归纳总结.
【教学过程】
思考 1.在同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
2.平行公理与垂直公理非常类似，请问已知条件中的点的位置有什么不同之处，为什么？
【归纳结论】1.平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 2.平行公理及其推论：（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
3.在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：（1）平行；（2）相交.［注意：这里不考察重合的情况或将重合理解为同一条直线.］
4.平行公理中，已知条件中的点必须在已知直线外，而垂直公理中，已知条件中的点可在直线外，也可在直线上，这是因为如果点在已知直线上，那么经过这一点不可能画已知直线的平行线，但可以画已知直线的垂线.
5.在理解平行的定义时，必须注意以下两点:（1）必须在同一平面内;（2）必须是不相交的直线.
【例题展示】
例1.如图，是一个正三棱柱，请找出图中所有的平行线
例2.如果直线a1∥l，直线a2∥l，……，an∥l（n为正整数）则a1，a2，……，an的位置关系如何？
【教学说明】本环节可让同学们分组完成，再进行交流. 【答案】略. 【课堂小结】 本节课应掌握： 平行公理及其推论. 【课后作业】
从教材“习题5.2”中选取.
5.2.2 平行线的判定
【教学目标】
1. 平行线的三个判定定理的理解. 2. 平行线的三个判定定理的简单运用.
3. 经历推导过程，初步形成严密的逻辑思维习惯. 【教学重点】
平行线的三个判定定理的理解与简单运用. 【教学难点】
推理的基本格式及方法. 【新课导入】
问题1 用实际操作或多媒体课件演示画平行线的过程，想一想，在这个过程中，∠1与∠2的大小关系怎样，∠1与∠2是什么关系的角？
问题1 问题2
到a∥b?
问题2如图，如果，∠2=∠3，能否得到a∥b;如果∠2+∠4=180°，能否得【教学说明】对问题1，可由教师亲自操作，也可事先制好课件进行放映，不难得到判定方法1.
对问题2，可由已知条件，结合前面学过的知识，利用“同位角相等，两条直线平行”得到a∥b,从而得到判定方法2和判定方法3.
【教学过程】
思考 遇到一个新的问题时，常常怎样去解决呢？ 【归纳结论】1.平行线的判定：
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单的说，就是同位角相等，两直线平行.
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等.那么这两条直线平行，简单地说，就是内错角相等，两直线平行.
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简单地说，就是同旁内角互补，两直线平行.
2.遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已解决的）问题去解决. 【例题展示】
例1.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
例2.如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行，并说明根据.
（1）∠ABD=∠CDB；（2）∠CBA+∠BAD=180°；（3）∠CAD=ACB. 例3.如图，写出所有能推得直线AB∥CD的条件.
【教学说明】问题1、2可以让同学们抢答来完成.问题3可让学生充分讨论，一般来说，要找到几个条件不难，但要找出所有的条件却并非易事，本题旨在考查学生的逆向思维能力.
【答案】略. 【课堂小结】 本节课应掌握： 平行线的判定方法：
1.平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2.同位角相等，两直线平行. 3.内错角相等，两直线平行. 4.同旁内角互补，两直线平行.
5.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 【课后作业】
从教材“习题5.2”中选取.
5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
【教学目标】
1. 掌握平行线的性质定理.
2. 综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算. 3. 培养学生逆向思维的能力.
【教学重点】
掌握平行线的性质定理，综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算.
【教学难点】
综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算. 【新课导入】
问题 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？
【教学过程】 可将上述问题细化：
1.如图，直线a∥b,直线a,b被直线c所截. （1）请填表：
（2）如果a与b不平行，∠1与∠2还有以上关系吗？ （3）通过（1）（2）的探究，你能得到什么结论？
2.如图，直线a∥b,则∠3与∠2相等吗？为什么？∠3与∠4互补吗？
思考1.你能根据以上探究，归纳出平行线的三个性质定理吗？ 2.平行线的性质定理与相应的判定定理是怎样的关系？ 【归纳结论】1.平行线的性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的性质定理与相应的判定定理的已知部分和结论部分正好相反，它们是互逆关系.
【例题展示】
例1.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠A与∠C有怎样的大小关系，为什么？
例2.已知AB∥CD,直线EF分别交AB，CD于M，N，MP平分∠EMA，NQ平分∠MNC，那么MP∥NQ，为什么？
例3.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=_____.
第3题图 第4题图
例4.如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____. 例5.一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD=_____度.
【教学说明】题1、2可让学生独立思考完成.题3、4可让同学们分组讨论、交流，有困难时，教师给予提示指导，如何作辅助线.题5与生活实际联系，让学生拓展思维.
【答案】1.解：∠A=∠C，理由如下： AB∥CD，∠A与∠D为同旁内角， 即∠A+∠D=180°；
AD∥BC，∠D与∠C为同旁内角，
即∠D+∠C=180°.
所以∠A+∠D=∠D+∠C，即∠A=∠C.
2.解：AB∥CD，∠EMA与∠MNC为同位角，即∠EMA=∠MNC.
11MP平分∠EMA，NQ平分∠MNC，则∠EMP=∠EMA，∠MNQ=∠MNC.
22所以∠EMP=∠MNQ，则MP∥NQ.
3.90° 解析：如图，经点F作AB的平行线，则∠1与∠3，∠2与∠4为内错角.
根据平行线的性质得∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠1+∠2=∠3+∠4=∠EFH=90°. 4.40° 解析：如图，过点C作GH∥DE.
所以∠DCH+∠CDE=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 因为∠CDE=140°（已知）， 所以∠DCH=180°-∠CDE=40°. 又因为AB∥DE（已知），
所以AB∥GH（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
所以∠ABC=∠BCH（两直线平行，内错角相等）. 因为∠ABC=80°（已知）， 所以∠BCH=80°（等量代换）. 所以∠BCD=∠BCH-∠DCH=40°.
5.270 解析:如图，过B作BG∥CD，则∠CBG+∠BCD=180°，∠ABG=90°，于是可得∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°.
【课堂小结】 本节课应掌握：
平行线的性质：
1.两直线平行，同位角相等. 2.两直线平行，内错角相等. 3.两直线平行，同旁内角互补.
在有关图形的计算和推理中，常见一类“折线”“拐角”型问题，解决这类问题的方法是：经过拐点作平行线，沟通已知角和未知角的联系，从而化“未知”为“可知”，这种方法应熟练掌握，如“
【课后作业】
从教材“习题5.3”中选取.
”“
”“
”型要引起注意.
5.3.2 命题、定理、证明
【教学目标】
1. 知道什么叫做命题，什么叫真命题，什么叫做假命题，什么叫定理. 2. 理解命题由题设和结论两部分组成，能将命题写成“如果……那么……”的形式或“若……则……”的形式.
3. 通过本节的学习使同学们明白命题在数学上的重要作用，不仅如此，命题在其它许多学科都有重要作用.
【教学重点】
命题的定义，命题的组成. 【教学难点】
命题的判断，真假命题的判断，命题的题设和结论的区分. 【新课导入】
问题1 分析下列判断事情的语句，指出它们的题设和结论.
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. （3）对顶角相等.
（4）等式两边加同一个数，结果仍是等式.
问题2 判断下列语句，是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题. （1）画线段AB=5cm.
（2）两条直线相交，有几个交点？
（3）如果直线a∥b,b∥c,那么a∥c. （4）直角都相等. （5）相等的角是对顶角.
【教学说明】全班同学合作交流，即先分组完成上面的两个问题，然后交流成果，最后得出正确的答案.
【教学过程】
思考 1.真命题与定理有什么样的关系.
2.对题设和结论不明显的命题，怎样找出它们的题设和结论. 【归纳结论】1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题. 2.命题由题设和结论两部分组成
3.真命题与假命题：正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题. 4.定理是经过推理证实的真命题，是在今后推理中经常作为依据的一种真命题.但不是所有经过推理证实的真命题都把它当作定理.
对于题设和结论不明显的命题，应先将它改写成“如果……那么……”的形式或“若……则……”的形式.一般来说，如果前面的部分是题设，那么后面的部分是结论.将这种命题改写成“如果……那么……”的形式时，那么后面的部分一定要简单明了.
【例题展示】
例1 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题.举出一个反例. （1）若a＞b,则a2＞b2. （2）两个锐角的和是钝角. （3）同位角相等. （4）两点之间，线段最短.
【教学说明】本环节让同学们分组讨论，在合作交流中深刻理解命题的组成和真假命题的判断.
【答案】略. 【课堂小结】
请几名学生口答，然后由教师归纳，可用电脑课件放映到屏幕上. 【课后作业】
从教材“习题5.3”中选取.
5.4 平移
【教学目标】 1. 知道什么叫平移.
2. 会欣赏、分析较复杂的平移图案，知道平移的实质是点的平移. 3. 会对一个图形按要求进行平移. 【教学重点】
1.分析平移图案是由怎样的基本图案怎样平移而成的. 2.能将一个图形按要求进行简单的平移. 【教学难点】
1.探求图形的平移实质.
2.运用平移知识制作美丽的平移图案. 【新课导入】
问题1 如图，可以看作是什么“基本图案”通过平移得到.
问题2 如图，是小鱼平移前后的图形，指出点A、B、C的对应点，并指出AD、BE、CF间的位置关系及大小关系.
【教学说明】同学们分组活动，再交流成果. 【教学过程】
思考 1.问题1的答案只有一种吗？ 2.图形平移的实质是什么？
3.平移前后两个图形的形状和大小是怎样的情况？平移前后连结各对应点的线段的关系怎样？
【归纳结论】1.问题1的答案不唯一. 2.图形平移的实质是点的平移. 3.平移的特征：
（1）平移前后两个图形的形状和大小完全相同；
（2）新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的.这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.
4.图形的平移方向不一定是水平的.
5.利用平移可以制作很多美丽的图案. 【例题展示】
例1 如图，平移四边形ABCD，使点A移动到点A′,画出平移后的四边形A′B′C′D′.
【教学说明】让学生独立思考完成，锻炼学生的作图能力. 【答案】略 【课堂小结】 本节课应掌握：
1.平移：把一个图形整体沿某一直线方向移动，得到一个新图形，这叫平移变换，简称平移.
2.平移的特征：
（1）平移前后，图形的形状大小完全相同；
（2）平移前后两个图形上的对应点的连线平行且相等. 【课后作业】
从教材“习题5.4”中选取.
第六章 实数 6.1 平方根
课时1 算术平方根
【教学目标】
1. 了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性.
2. 了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算或计算器求某些非负数的算术平方根.
3. 通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,通过探究活动培养动手能力和学习兴趣.
【教学重点】
理解算术平方根的概念. 【教学难点】
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根. 【新课导入】
教师出示下列问题1,并引导学生分析.问题1由学生直接给出结果. 问题1 求出下列各数的平方. 1,0,(-1),-1/3，3，1/2.
问题2下列各数分别是某实数的平方,请求出某实数. 25,0,4,4/25,1/144,-1/4,1.69.
对学生进行提问,针对学生可能会得出的一个值,由学生互相交流指正,再由教师指明正确的考虑方式.
由于52=25,(-5)2=25，故平方为25的数为5或-5. 0=0,故平方为0的数为0.
22=4,(-2) =4，故平方为4的数为2或-2.
2
问题3 学校要举行美术比赛,小壮想裁一块面积为25dm2的正方形画布画一幅画,这块画布的边长应取多少?
分析：本题实质是要求一个平方后得25的数,由上面的讨论可知这个数为±5,但考虑正方形的边长不能为负数,所以正方形边长应取5dm.
【教学过程】 教师归纳出新定义:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,记作a,读作“根号a”，a叫作被开方数.
规定:0的算术平方根是0. 例1求下列各数的算术平方根.
分析：正数的算术平方根是正数,零的算术平方根是零,负数没有算术平方根.
【教学说明】(1)算术平方根是非负数,要注意不要弄错算术平方根的符号.
22如:不要把（-3=3写成（-3=-3;(2)要审清题意,不要被表面现象迷惑.如））求81的算术平方根,错误地理解为求81的算术平方根81.
探究:当a为负数时,a2有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?举例说明所得结论.
【教学指导】当a为负数时,a2为正数,故a2有算术平方根,如a=-5时,a2=(-5)2=25,a225 =5,5是-5的相反数,故a<0时,a2的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.
当a为正数时,a的算术平方根表示为a2,其值为a,即a2=a.当a=0时,
2
a2=0.
【教学说明】应用上述结论解题时,可如例题的解答写出过程,熟练后再直接写出结果.对a2结果的讨论,可以检验学生是否真正理解了算术平方根的含义.学生中出现的问题,可由学生间交流讨论.
教师向学生介绍用计算器求算术平方根的方法，并由学生实际运用，体会方法.
【例题展示】
【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.
【答案】1.A 2.A 3.D
【课堂小结】 本节课应掌握：
1.读一读本节课学习的主要内容,说出平方根与平方的关系. 2.算术平方根的意义是什么样的? 3.怎样求一个正数的算术平方根? 【课后作业】
从教材“习题6.1”中选取.
课时2 用计算器求一个正数的算术平方根
【教学目标】
1. 了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性.
2. 了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算或计算器求某些非负数的算术平方根.
3. 通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,通过探究活动培养动手能力和学习兴趣.
【教学重点】
理解算术平方根的概念. 【教学难点】
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根. 【新课导入】
教师出示下列问题1,并引导学生分析.问题1由学生直接给出结果. 问题1 求出下列各数的平方. 1,0,(-1),-1/3，3，1/2.
问题2下列各数分别是某实数的平方,请求出某实数. 25,0,4,4/25,1/144,-1/4,1.69.
对学生进行提问,针对学生可能会得出的一个值,由学生互相交流指正,再由教师指明正确的考虑方式.
由于52=25,(-5)2=25，故平方为25的数为5或-5. 02=0,故平方为0的数为0.
22=4,(-2) =4，故平方为4的数为2或-2.
问题3 学校要举行美术比赛,小壮想裁一块面积为25dm2的正方形画布画一幅画,这块画布的边长应取多少?
分析：本题实质是要求一个平方后得25的数,由上面的讨论可知这个数为±5,但考虑正方形的边长不能为负数,所以正方形边长应取5dm.
【教学过程】
教师归纳出新定义:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,记作a,读作“根号a”，a叫作被开方数.
规定:0的算术平方根是0. 例1求下列各数的算术平方根.
分析：正数的算术平方根是正数,零的算术平方根是零,负数没有算术平方根.
【教学说明】(1)算术平方根是非负数,要注意不要弄错算术平方根的符号.
22如:不要把（-3=3写成（-3=-3;(2)要审清题意,不要被表面现象迷惑.如））求81的算术平方根,错误地理解为求81的算术平方根81.
探究:当a为负数时,a2有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?举例说明所得结论.
【教学指导】当a为负数时,a2为正数,故a2有算术平方根,如a=-5时,a2=(-5)2=25,a225 =5,5是-5的相反数,故a<0时,a2的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.
当a2为正数时,a的算术平方根表示为a2,其值为a,即a2=a.当a=0时,
a2=0.
【教学说明】应用上述结论解题时,可如例题的解答写出过程,熟练后再直接写出结果.对a2结果的讨论,可以检验学生是否真正理解了算术平方根的含义.学生中出现的问题,可由学生间交流讨论.
教师向学生介绍用计算器求算术平方根的方法，并由学生实际运用，体会方法.
【例题展示】
【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.
【答案】1.A 2.A 3.D
【课堂小结】 本节课应掌握：
1.读一读本节课学习的主要内容,说出平方根与平方的关系. 2.算术平方根的意义是什么样的? 3.怎样求一个正数的算术平方根? 【课后作业】
从教材“习题6.1”中选取.
课时3 平方根
【教学目标】
1. 掌握平方根的概念，明确平方根与算术平方根之间的联系与区别. 2. 能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.
3. 通过对平方根的学习，培养学生从多方面，多角度分析问题，解决问题的思想意识，养成全面分析问题的习惯.
【教学重点】
平方根的概念和求一个数的平方根. 【教学难点】
平方根和算术平方根的联系与区别. 【新课导入】
问题 已知一个数的平方等于16，这个数是多少?如何表示这个数呢? 【教学分析】由于42=16，(-4)2=16，故平方等于16的数有两个:4和-4，把4和-4叫做16的平方根，记为4=16，则-4=-16，把4和-4称为16的平方根.
提出平方根定义:一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即若x2=a，则x为a的平方根，记为x=±a.
【教学过程】
把求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，而平方运算与开平方运算互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.
例1 求下列各数的平方根和算术平方根.
分析：一个正数的平方根有两个，且互为相反数，其中正的平方根为算术平方根.可根据平方与开平方的互逆关系，通过平方运算求一个数的平方根.
【教学说明】一个正数的平方根有两个，不要丢掉其中负的平方根，算术平方根是其中的一个正平方根，不要弄错了符号.求平方根时一定要把所求的数化成x2的形式，同时注意正数有两个平方根.
例2计算下列各题.
1分析：(1)484就是求484的算术平方根；(2)是求12的平方根，可把带
4分数化成假分数；(4)应先求出被开方数的大小.
【教学说明】提醒学生注意分清每个算式的符号(包括性质符号). 例3 求下列各式的值.
分析：先要弄清每个符号表示的意义，并注意运算顺序.
【教学说明】(1)混合运算的运算顺序是先算开平方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行.(2)初学时可根据平方根，算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据a2a(a>0)来解.
例4 求下列各式中的x. (1)x2-361=0；(2)(x+1)2=289； (3)9(3x+2)2-64=0.
分析：表面上本题是求方程的解，但实质上可理解为求平方根，用开平方求出x值；(2)中(x+1)、(3)中(3x+2)看作一个整体，求出它们后，再求x.
例5 某建筑工地，用一根钢筋围成一个面积是25m2的正方形后还剩下7m，你能求出这根钢筋的长度吗?
分析：先求出面积是25m2的正方形需用的钢筋长度，然后再求出这根钢筋的总长度.
解：正方形的边长为5m，钢筋的长度为27m.
【教学说明】在实际问题中要注意正方形的面积与边长的关系即一个正数与它的算术平方根的关系.
【例题展示】
【教学说明】学生自主完成，教师巡视，然后集体订正.
【课堂小结】
根据下列问题梳理所学知识，学生交流. 问题:1.什么叫一个数的平方根? 2.正数，0，负数的平方根有什么规律?
3.怎样求出一个数的平方根?数a的平方根怎样表示? 【课后作业】
从教材“习题6.1”中选取.
6.2 立方根
【教学目标】
1. 了解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方根.
2. 了解立方与开立方互为逆运算,会用立方运算或计算器求某数的立方根. 3. 能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算. 【教学重点】 立方根的概念及求法. 【教学难点】
立方根与平方根的区别. 【新课导入】
问题 填写,并探求交流立方值与平方值的不同.
鼓励学生踊跃发言表述各自总结的结论.
【教学说明】求立方运算时,当底数互为相反数,其立方值也互为相反数,这与平方运算不同,平方运算的底数为相反数时,平方值相等.故一个正数的平方根有两个值,但一个正数的立方根只有一个值.
引出立方根定义:若x3=a,则x为a的立方根,记为3a. 根据上述定义,请学生口述下列问题的结果,并推广到一般规律.
【教学总结】由教师汇总得出下列结论：
1.正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0. 2.3a3a. 【教学过程】
例1 求下列各数的立方根.
分析：依据立方根的定义,先写出这四个数分别是由哪个数的立方得到的,从而求出立方根.
【教学说明】被开方数是带分数时,先将其化成假分数. 例2 求下列各式的值.
分析：先要分清符号的实际意义,如3512表示求-512的立方根,而-3512表示求512的立方根的相反数.
9解：(1)-8;(2);(3)-0.2;(4)6.
2【教学说明】以上两例中可总结得到:(1)任何数的立方根只有一个,而且被
开方数的符号与立方根的符号相同;(2)被开方数是算式,可先算出结果.
例3 求下列各式中的x.
分析：可根据立方根的定义求得x的大小.(2)(3)(4)中分别把(x+2),(x-1),(2x+3)看作一个整体.
本思路.
【教学说明】本题实质是解关于x的三次方程,两边同时开立方是解题的基例4 在做浮力实验时,小华用一根细线将一正方体铁块拴住,完全浸入盛满水的圆柱烧杯中,并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5cm3,小华又将铁块从水中提起，量得水杯中的水位下降了0.62cm,请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少?(用计算器求结果,结果精确到0.1cm).
分析：铁块排出的40.5cm3的水的体积,是铁块的体积,也是高为0.62cm烧杯的体积.
【答案】烧杯内部的底面半径约是4.6cm,铁块的棱长约是3.4cm. 【教学说明】引导学生完成上述问题后，指导学生用计算器求立方根，并用实际训练形成应用能力.
【例题展示】 例1.计算下列各题
例2.某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁,此长方体的长,宽,高分别为160cm,80cm和40cm,求原来立方体钢铁的边长.
例3.有一边长为6cm的正方体的容器中盛满水,将这些水倒入另一正方体容器时,还需再加水127cm3才满,求另一正方体容器的棱长.
例4.若3x+16的立方根是4,求2x+4的平方根.
【教学说明】通过上述几道题目的练习，可进一步巩固对本节知识的理解和领悟.
【课堂小结】
按下列问题顺序让学生表达,并补充完善. 1.立方和开立方的意义.
2.正数、0、负数的立方根的特征. 3.立方根与平方根的异同. 【课后作业】
从教材“习题6.2”中选取.
6.3 实数
课时1 实数及其分类
【教学目标】
1. 了解无理数和实数的概念,会将实数按一定的标准进行分类. 2. 知道实数与数轴上的点一一对应.
3. 从分类、集合的思想中领悟数学的内涵,激发兴趣. 【教学重点】 正确理解实数的概念. 【教学难点】
对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解. 【新课导入】
问题 请学生回忆有理数的分类,及与有理数相关的概念等.教师引导得出下列结论:任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,如
等.
引导学生反向探讨:任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？ 【教学说明】任何一个有限小数和一个无限循环小数都可以化成分数，所以任何一个有限小数和一个无限循环小数都是有理数.
【教学过程】
例1 (1)试着写出几个无理数.
(2)判断下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?
由学生共同完成上述问题后,要求学生思考: 1.如何把实数分类?
2.用根号形式表示的数一定是无理数吗? 出示实数分类表:
【教学说明】指导学生认识两种分类方式的异同,并特别强调“0”在表中的位置，考虑问题时不能忘记特殊数——0.
例2 将例1(2)中各数填入相应括号内.
整数集合{ ……} 正数集合{ ……} 有理数集合{ ……} 负数集合{ ……} 无理数集合{ ……} 由学生完成填空后探究:
每个有理数都可以用数轴上的点表示,无理数是否也可以用数轴上的点表示呢?
例3 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′表示的数是什么？由这个图示你能想到什么？
解：由图可知，OO′的长是这个圆的周长π，所以O′点表示的数是π，由此可知，数轴上的点可以表示无理数.
结合教材内容,让学生找到数轴上表示2,3,…等的点.
【教学说明】每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.实数与数轴上的点是一一对应的.
例4下列说法错误的是( ). A.16的平方根是±2 B.2是无理数 C.327是有理数 D.
2是分数 22是无理2分析：16的平方根即4的平方根±2, 327=-3是有理数,而数,不属于有理数范围,故其不可能是分数.故选D.
【教学说明】判断一个数是不是无理数,不能只看最初形式,而要看化简后的最后结果.
【例题展示】
例1.下列说法中正确的是（ ） A.4是一个无理数
B.在x1中x≥1 C.8的立方根是±2
D.若点P（2,a）和点Q（b,-3）关于y轴对称，则a+b的值是5 例2.下列各数中，不是无理数的是（ ）
例3.下列各数中：
其中无理数有 . 有理数有 . 例4.判断正误.
（1）有理数包括整数、分数和零. （2）不带根号的数是有理数. （3）带根号的数是无理数. （4）无理数都是无限小数. （5）无限小数都是无理数.
【教学说明】学生自主完成，教师巡视，然后集体订正. 【答案】1.B 2.D
【课堂小结】
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？你还有哪些问题，与同伴交流. 【课后作业】
从教材“习题6.3”中选取.
课时2 实数的运算
【教学目标】
1. 了解实数范围内的相反数和绝对值的意义,会求一个实数的相反数和绝对值.
2. 学会比较两个实数的大小.
3. 了解在有理数范围内的运算及运算法则\\,运算性质等在实数范围内仍然成立,能熟练地进行实数运算.
【教学重点】
有理数的大小比较和运算. 【教学难点】
带有绝对值的有理数的运算. 【新课导入】
同学们，我们在七年级的时候学习了有理数相反数，绝对值的概念，那么，这一法则能否推广到实数呢？答案是肯定的，数a的相反数是-a（a表示任意一个实数，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）
教师讲解课本例1
1【教学说明】教师可让同学们先计算-6，5.8，11有理数的绝对值与相
2反数，从而导出实数相反数和绝对值的法则.
【教学过程】
【教学导语】在数拓展到实数后,有理数范围内的法则、规律、公式仍然适用于实数范围,请同学们共同回忆,归纳在实数范围内适用的公式,法则.
1.在数轴上表示的数,右边的数总比左边的大.
2.两个正实数，绝对值较大的值也大;两个负实数，绝对值大的值反而小;正数大于0,负数小于0,正数大于负数.
3.运算律:
(1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)乘法交换律:ab=ba. (4)乘法结合律:(ab)c=a(bc). (5)分配律:a(b+c)=ab+ac. 例1比较下列各实数的大小：
【教学说明】实数比较大小常用以下方法:(1)两个负数比较,绝对值大的反而小;(2)被开方数大,它的算术平方根也大;(3)立方数大原数也大.
例2计算下列各题：
分析：先逐个化简后,再按照计算法则计算.
【教学说明】实数的运算同有理数的运算律和运算性质、运算顺序一样.
【教学说明】教师指导学生归纳得到下列结论：
（1）非负数的和等于零的条件是当且仅当每个非负数的值都等于0. （2）任何实数的绝对值是一个非负数,任何一个非负数的算术平方根也是一
个非负数.
【例题展示】
例1.（1）绝对值等于3的实数是 ，绝对值是
7（2）2的相反数是 ，绝对值是 .
52的实数是 . 2例2.比较2010-1与1949+1的大小.
例3.由于水资源缺乏,B,C两地不得不从河上的抽水站A处引水,这就需要在A,B,C之间铺设地下管道.有人设计了三种方案:如图甲,图中实线表示管道铺设线路,在图乙中,AD⊥BC于D,在图丙中,OA=OB=OC,为减少渗漏\\,节约水资源,并降低工程造价,铺设线路尽量缩短.已知△ABC是一个边长为a的等边三角形,请你通过计算.判断哪个铺设方案好.
【教学说明】第1题较易，2、3题稍难，教师可引导学生完成.
【课堂小结】
让学生回顾本节知识,思考整个学习过程,看看知道了什么,还有什么疑惑? 【课后作业】
从教材“习题6.3”中选取.
第七章 平面直角坐标系 7.1 平面直角坐标系
7.1.1 有序数对
【教学目标】
1. 知道表示平面上的点的位置需要两个数.这样的两个数叫做数对.为了方便，通常先约定这两个数的顺序，所以这样的数对叫有序数对.
2. 能用有序数对表示平面上点的位置，也能根据有序数对找到它所表示的点.
3. 锻炼用数学解决实际问题的能力，培养学习数学的兴趣. 【教学重点】
有序数对的意义.运用有序数对表示平面上的点或根据有序数对找到它所表示的点.
【教学难点】
用不同的有序数对表示平面上的同一个点. 【新课导入】
问题1 去影剧院看电影，影剧票上怎样表示你的座位？
问题2 当教师告诉你某页书上的某个字是关键字，要你将这个字打上着重号，老师怎样告诉你这个字的具体位置？
问题3 在教室里，怎样确定每个同学的座位？
【教学说明】学生分组讨论，然后交流成果，最后形成共识. 【教学过程】
思考 1.怎样较简单地表示平面上点的位置？ 2.在平面上表示一个点的位置只有一种方法吗？ 3.有序数对的顺序是怎样规定的？
【归纳结论】1.通常用有序数对（a,b）表示平面上点的位置，这种表示法非常简明，人们一般都喜欢运用它，是公认的较简单的方法.
2.在平面上表示一个点的位置有很多方法，如表示点A的位置（如图），可用（0，3）表示，也可用（3，90°）表示；表示点B的位置可用（7，0）表示，也可用（7，0°）表示.（后一种表示方法，教师可根据实际情况进行拓展）
3.有序数对：为了表示平面上点的位置，需要用两个有顺序的数a与b表示，这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作（a,b）.
4.有序数对的顺序是人为规定的，但为了方便，往往大家都遵循一种特定的顺序，这样，在大的范围内，人们使用起来就方便多了。随着科学的发展，有些有序数对的顺序是国际上规定的或约定俗成的，如地球上用经纬度表示位置等.
【例题展示】
例1.如图是小刚画的一张脸，他对妹妹说：如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（ ）
A.（1，0） B.（-1，0） C.（-1，1） D.（1，-1） 例2.如图，写出下列各点的有序数对：
A（______，______）；B（2，4）； C（______，______）； D（______，______）； E（______，______）； F（______，______）； G（______，______）； H（______，______）； I（______，______）；.
例3.下面是中国象棋一次对局时的部分示意图，若“帅”所在的位置用有序数对（5，1）表示，请你用有序数对表示其他棋子的位置.
例4.（1）请说出王明和张强的位置.
（2）若用（3，2）表示第3排第2列的位置，那么（4，5）表示什么位置？王明和张强的位置可以怎样表示？
（3）请说出（3，3）和（4，8）表示哪两位同学的位置.
（4）（3，4）和（4，3）表示的位置相同吗？一般地，若a≠b,(a,b)与（b,a)表示的位置相同吗？（1≤a≤5,1≤b≤8,a,b为整数）
例5.在如图所示的方格纸上，用有序数对（1，3）表示A点.请你描出下列各组点：
（1）（1，3），（10，3），（7，1），（3，1），（1，3）； （2）（4，3），（6，6），（6，3）.
将这些点依次连接起来，你觉得它像什么？如果有兴趣的话，还可以涂上颜色！
【教学说明】可由学生独立完成,相互交流,教师适时点拨. 【答案】1.A
2.解：A（1，1）；C（4，6）；D（5，9）；E（7，7）；F（9，3）；G（10，5）；H（6，3）；I（8，0）.
3.解：各棋子所处的位置为：卒：（2，5），车：（3，1），士：（5，2），马：（6，4），炮：（8，3），相：（9，3）.
4.解：（1）王明的座位位置是第2排第2列；张强的座位位置是第5排第
5列；（2）（4，5）表示的位置是第4排第5列，王明的位置可表示为（2，2），张强的位置可表示为（5，5）；（3）（3，3）表示张军的位置，（4，8）表示李可的位置；（4）（3，4）表示的是第3排第4列的位置，（4，3）表示的是第4排第3列的位置，所以它们表示的位置不相同.一般地，若a≠b,(a,b)与(b,a)表示的位置不相同.
5.略. 【课堂小结】 本节课应掌握： 1.有序数对的意义.
2.运用有序数对表示平面上的点. 3.根据有序数对找到它所表示的点. 【课后作业】
从教材“习题7.1”中选取.
7.1.2 平面直角坐标系
【教学目标】
1. 知道利用数轴上确定直线上一个点的位置用一个数就可以了. 2. 理解平面直角坐标系及其相关概念. 3. 理解坐标的概念. 【教学重点】
平面直角坐标系及相关概念，各象限及坐标轴上点的坐标特征. 【教学难点】
各象限及坐标轴上点的坐标特征，建立适当的平面直角坐标系，表示平面上点的坐标.
【新课导入】
问题1 如图，A，B两点在直线l上，怎样表示A，B两点的位置.
问题2 如图，平面上有A，B，C三点，怎样用类似于数轴确定直线上点的位置的方法，确定A，B，C的位置.
【教学说明】可提示学生在直线上确定出正方向、原点和单位长度，建立数轴，于是可用一个数表示A，B两点的位置了.
基础上，用类似的方法确定问题2中A，B，C三点的位置.由前节可知，要表示平面上的点，必须用有序数对表示，所以想到要画两条数轴才能表示A，B，C三点的位置.
我们可以在平面内画两条互相垂直，原点重合的数轴，这样我们就可以用有序数对表示A，B，C的位置了.
【教学过程】
思考 1.什么叫做平面直角坐标系？
2.坐标平面内各象限及坐标轴上点的坐标特征. 3.点（a,b）与点（b,a）是否表示同一个点（a≠b）？
4.怎样建立恰当的平面直角坐标系？如果建立的平面直角坐标系不同，对于平面上的一个点A，它的坐标相同吗？
【归纳结论】1.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成四个象限，右上方叫第一象限，以后按逆时针的方向，依次为第二象限，第三象限和第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限（如图）.
2.坐标：若点A在坐标平面内，过A作x轴的垂线，垂足在x轴上的坐标是a，过A作y轴的垂线，垂足在y轴上的坐标是b，那么A的坐标就是（a,b）.
3.坐标平面内，各象限及坐标轴上点的坐标特征.
4.点（a,b）和点（b,a）表示的是两个点（a≠b）.
5.建立恰当的平面直角坐标系的技巧是要根据实际情况进行正确决策，如在网格点上，原点应选在某一格点处，以后可根据实际情况慢慢体会.如果坐标系建得不相同，则对于平面上一点A的坐标就不相同，恰当地建立坐标系，可使横纵坐标都较整，绝对值都较小，使问题解决起来较简单.
【例题展示】
例1.坐标平面上，在第二象限内有一点P，且P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则P点坐标为（ ）
A.（-5，4） B.（-4，5） C.（4，5） D.（5，-4）
例2.在平面直角坐标系中，点P（-3，4）到x轴的距离为（ ） A.3 B.-3 C.4 D.-4
例3.在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（ ）
A.（-3，300） B.（7，-500） C.（9，600） D.（-2，-800）
例4.若点P（2，a）到x轴的距离为3，则a=_______. 例5.已知点P（a+1,2-a）在y轴上，那么P的坐标是_______. 例6.如果点M（a+b,ab）在第二象限，那么N（a,b）在第_______象限.
例7.已知A（3，2），AB∥y轴，且AB=4.写出B点的坐标.
例8.设P点的坐标为（x,y），根据下列条件判定点P在坐标平面内的位置. （1）xy=0;（2）xy＞0；（3）x+y=0.
例9.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标分别为（3，2）和（3，-2）的两个标点A，B，并且知道藏宝地点C的坐标为（4，4），除此之外不知道其它信息，如何确定直角坐标系并找到“宝藏”（即在图中先正确画出平面直角坐标系，再描出点C的位置）？
【教学说明】 题1、2、3、4为基础概念题，可让学生自主完成.题1、2容易出现坐标与距离相混淆的错误.点P（a,b）到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|.题4容易遗漏a=-3的情况.题5、6、7、8、9可根据教学的实际情况选择性地让同学们交流完成.
【答案】1.A 2.C 3.B 4.±3
5.(0,3) 解析：a+1=0得a=-1,则P为（0，3）.
6.三 解析：a+b＜0且ab＞0,则a＜0,b＜0,即N在第三象限.
7.解：设B点坐标为（a,b），依题意有a=3,|b-2|=4,解得b=6或-2，所以B点的坐标为（3，6）或（3，-2）.
8.解：（1）x轴或y轴或原点； （2）第一象限或第三象限；
（3）第二象限或第四象限或原点.9.略 【课堂小结】
请学生口头总结，最后用课件在屏幕上出示小结. 【课后作业】
从教材“习题7.1”中选取.
7.2 坐标方法的简单应用
7.2.1 用坐标表示地理位置
【教学目标】
1. 能用坐标表示地理位置.
2. 要学会建立恰当的平面直角坐标系，要选择一个单位长度表示实际问题中一个恰当的长度.这样才能用较简洁的坐标系标出某个地理位置.
3. 体验学以致用，提高运用数学知识解决实际问题的能力，激发数学学习兴趣.
【教学重点】 用坐标表示地理位置. 【教学难点】
建立恰当的平面直角坐标系，并选择一个单位长度表示实际问题中一个恰当的长度是本节难点.
【新课导入】
问题 根据以下条件画一幅示意图，标出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置.
小刚家：出校门向东走150m，再向北走200m.
小强家：出校门向西走200m，再向北走350m，最后向东走50m. 小敏家：出校门向南走100m，再向东走300m，最后向南走75m.
【教学说明】全班同学分组讨论，再交流成果，最后在老师的指导下解决问题.
【教学过程】
思考 1.建立怎样的平面直角坐标系？
2.怎样用一个简洁的平面直角坐标系标出某个地理位置.
【归纳结论】1.取实际问题中的某一标志物作为原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴，则可用坐标清楚地表示地理位置.
2.建立平面直角坐标系以后，要选择一个单位长度代表实际问题中一个恰当的长度，将地理位置当成一个点，这样就可简明地标出这个地理位置.需要注意的是，写该地理位置的坐标时要写实际问题的数值，这一点与前节所接触的坐标写法不相同，千万不要搞错了.
【例题展示】
例1 如图所示，是某市市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的
边长为1个单位长度）.请你以某个景点为原点，画出直角坐标系，并用坐标向游人介绍光岳楼、金凤广场、动物园的位置.
小明：以光岳楼为原点，金凤广场（-2，-1.5），动物园（7，3）.
小亮：以动物园为原点，金凤广场（-9，-4.5），光岳楼（-7，-3）.
你同意小明、小亮的介绍吗？你还有别的方法吗？
【教学说明】可让学生自主完成，相互交流，最后师生共同评析，加深对坐标表示地理位置和建立恰当坐标系的理解.
【答案】略. 【课堂小结】
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下： （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
（2）根据具体问题确定单位长度；
（3）在坐标系内画出这些点，写出各点的坐标系和各个地点的名称. 【课后作业】
从教材“习题7.2”中选取.
7.2.2 用坐标表示平移
【教学目标】
1. 掌握在平面直角坐标系中点的上、下、左、右平移特征. 2. 能在平面直角坐标系中作出平移后的图形.
3. 通过本节课的活动，使同学们体验“由特殊到一般”这种研究问题的方法.
【教学重点】 点的平移规律. 【教学难点】 探究点的平移规律. 【新课导入】
问题1 将点A（-2，-3）.（1）向右平移5个单位长度得到A1；（2）向
上平移3个单位长度得到A2；（3）向下平移2个单位得到A3；（4）向左平移4个单位长度得到A4.
写出A1，A2，A3，A4的坐标，观察它们相对于点A的变化.
问题2 △ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）. （1）将△ABC向左平移6个单位得△A1B1C1； （2）将△ABC向下平移5个单位得△A2B2C2.
【教学说明】学生分组活动，老师巡回指导，10分钟后交流成果. 【教学过程】
思考 1.在平面直角坐标系中，点的平移规律是怎样的？
2.在平面直角坐标系中，怎样作出平移后的图形.3.如果先左（右）平移，再上（下）平移，坐标怎样变化？
【归纳结论】1.在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a,y）（或x-a,y）；将点（x,y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x,y+b）或（x,y-b）.
2.在平面直角坐标系中作出平移后的图形，一般有如下步骤： （1）先求出平移后的图形的对应点的坐标.
（2）在平面直角坐标系中描出对应点；再连线，便得到平移后的图形. 3.在平面直角坐标系中，先左（右）平移，再上（下）平移可称为复合平移，平移后的横纵坐标都有变化.如先向左平移a个单位，再向上平移b个单位，可以得到对应点的坐标为（x-a,y+b）.
【例题展示】
例1.下列运动属于平移的是（ ） A.急刹车时汽车在地面上的滑动 B.冷水加热时小气泡上升变为大气泡 C.随风飘动的风筝在空中的运动 D.随手抛出的彩球的运动
例2.将点A（-4，3）按下列要求移动： （1）向右平移6个单位长度； （2）再向下平移3个单位长度； （3）再向左平移6个单位长度； （4）再向下平移3个单位长度； （5）最后向右平移6个单位长度.
写出平移过程中各点的坐标，并画出移动路线图，看像一个什么数字. 例3.如图所示，将△ABC向右平移3个单位，可以得到△A′B′C′，画出
平移后的图形，并指出其各个顶点的坐标.
例4.如图，三角形A1B1C1是由三角形ABC平移后得到的，三角形ABC中任意一点P（x0,y0）经平移后对应点为P1（x0+5，y0+3），求A1，B1，C1的坐标.
例5.图是一块从一边长为50cm的正方形材料中裁出的垫片，现测得FG=9cm，求这块垫片的周长.
第5题图 第6题图
例6.某宾馆在重新装修后考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，已知主楼梯宽3米，其剖面如图所示，请你计算一下：仅此楼梯，需要购买地毯的长为多少米？购买地毯多少平方米？
【教学说明】本环节由教师根据实际情况选题，先让学生独立完成，然后相互交流.教师巡视，适时参与讨论、指导，进一步加深学生理解和掌握点的平移与图形的平移.
【答案】1.A 解析：A.汽车向前滑动，运动方向和形状大小都没有改变，属于平移；B.气泡大小发生了变化.不属于平移；C.风筝在空中的运动方向不断变化，不属于平移；D.彩球的运动方向不能确定，不属于平移.
2.略.
3.解：A′（0，2），B′（-2，-1），C′（1，-2）.
4.解：A1（3，6），B1（1，2），C1（7，3）.
5.解：将线段AB、GH、EF平移到正方形的边CD上，AH、FG、ED平移到正方形的边BC上，则有AB+GH+EF=CD=50cm，AH+FG+ED=BC+2FG=50+2×9=68（cm）.
所以这块垫片的周长为AB+AH+GH+FG+EF+ED+DC+BC=（AB+GH+EF）+（AH+FG+ED）+DC+BC=50+68+50+50=218（cm）.
6.解：地毯的长度应等于楼梯的长度，而楼梯的长度应包括每节楼梯的所有的横长之和与所有的竖长之和.运用图形的平移，把所有的横长通过平移都移到BC边上，发现所有的横长之和等于BC的长；再把所有的竖长平移到AB边上，发现所有的竖长之和等于AB的长.
所以需要购买地毯长为AB+BC=1.2+2.4=3.6（米）；面积为S=3.6×3=10.8（平方米）.
【课堂小结】 点的平移：
横坐标，右移加，左移减； 纵坐标，上移加，下移减.
在平面直角坐标系中，如果把一个图的各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度.
【课后作业】
从教材“习题7.2”中选取.
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
【教学目标】 【知识与技能】
1. 能说出二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念，会检验所给的一组未知数的值是否二元一次方程、二元一次方程组的解．
2. 让学生学会用数学思想解决实际问题．
3. 体会实际问题中常会遇到的有关多个未知量间互相依赖、影响的问题，懂得二元一次方程组是反映现实世界多个量之间相等关系的一种有效的数学模型，能感受方程的作用．
【过程与方法】
经历由实际问题中抽象出二元一次方程组等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
【情感态度与价值观】
进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性. 【教学重点】
二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.
【教学难点】
弄清二元一次方程组的解的概念，对于一个二元一次方程，只要给出其中任一个未知数的取值，就必定能找到适合这个方程的另一个未知数的值，进一步理解二元一次方程有无数个解，以及二元一次方程组（未知数的个数与独立等量关系个数相等）有唯一确定的解.
【新课导入】 一、情境导入
小红到邮局寄挂号信，需要邮费3元8角．小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种票额的邮票？
这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？如果设需要票额为6角的邮票x张，需要票额为8角的邮票y张，你能列出方程吗？
【教学过程】 二、合作探究
探究点一：二元一次方程及其解的定义
【类型一】 利用二元一次方程的定义求参数的值 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________． 解析：根据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1的整式方程，即可求得m、n的值．根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.故填0.
方法总结：二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数的项的最高次数均为一次；(3)方程是整式方程．
【类型二】 二元一次方程的解 x＝1， 已知是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是( )
y＝－1A．1 B．3 C．－3 D．－1
x＝1，
解析：将代入方程2x－ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1.故选A.
y＝－1方法总结：根据方程的解的定义知，将x，y的值代入方程中，方程左右两边相等，即可求解．
探究点二：二元一次方程组及其解的定义 【类型一】 识别二元一次方程组 x－y＝3，2x＋z＝0，xy＝1，
有下列方程组：①②1③1④
x＋y＝2；
x＋y＝1；3x－y＝5；x＝5，x＋π＝3，
其中二元一次方程组有( x＋y＝7；⑤
x－y＝1，
23
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①方程组中第一个方程含未知数的项xy的次数不是1；②方程组中第二个方程不是整式方程；③方程组中共有3个未知数．只有④⑤满足，其中⑤方程组中的π是常数．故选B.
方法总结：识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：一看方程组中的方程是否都是整式方程；二看方程组中是不是只含两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为1.
【类型二】 利用二元一次方程组的解求参数的值 )
ax＋5y＝15；①
甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，
4x－by＝－2.②
x＝－3，x＝5，
得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
y＝－1；y＝4.试计算a2014＋(－
12015
b)的值． 10
解析：由方程组解的定义知：甲看错了方程①中的a得到方程组的解为x＝－3，x＝－3，x＝5，说明是方程②的解；同样是方程①的解． y＝－1，y＝－1y＝4
x＝－3，x＝5，
解：把代入②，得－12＋b＝－2，所以b＝10.把代入①，
y＝－1y＝4得5a＋20＝15，所以a＝－1.所以a2014＋(－＝1－1＝0.
方法总结：利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解．
探究点三：列二元一次方程组
小刘同学用10元钱购买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与
2元．设他购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y张，那么可列方程组( )
120151
b)＝(－1)2014＋(－×10)20151010
xyx＋y＝10，＋＝8，
22A. B.10 x＋y＝8x＋2y＝10x＋y＝10，x＋y＝8，C. D. x＋2y＝8x＋2y＝10
解析：根据题意可得到两个相等关系：(1)1元贺卡张数＋2元贺卡张数＝8(张)；(2)1元贺卡钱数＋2元贺卡钱数＝10(元)．设他购买了1元的贺卡x张，x＋y＝8，2元的贺卡y张，可列方程组为故选D.
x＋2y＝10.
方法总结：要判断哪个方程组符合题意，可从题目中找出两个相等关系，然后代入未知数，即可得到方程组，进而得到正确答案．
【课堂小结】
1.知识回顾.
2.谈谈这节课你有哪些收获？
【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺. 【课后反思】
通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，增加对数学较全面的体验和理解
8.2 消元-解二元一次方程组
课时1 代入消元法
【教学目标】 【知识与技能】
1、使学生学会用代人消元法解二元一次方程组；
2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法； 3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想． 【过程与方法】
经历由实际问题中抽象出二元一次方程组等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
【情感态度与价值观】
进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性. 【教学重点】
代入消元法的基本思想. 【教学难点】
代入消元法的基本思想. 【新课导入】 一、情境导入
《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上，另一部分在地上．树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子为整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子一样多．”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗？
我们可以设树上有x只鸽子，地上有y只鸽子，得到方程组x＋y＝3（y－1），可是这个方程组怎么解呢？有几种解法？ x－1＝y＋1.
【教学过程】 二、合作探究
探究点：用代入法解二元一次方程组 【类型一】 用代入法解二元一次方程组 用代入法解下列方程组： 2x＋3y＝－19，①(1)
x＋5y＝1；②
2x－3y＝1，①(2)y＋1x＋2
4＝3.②
解析：对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x2x－3y＝1，③
＝1－5y，然后代入①求解；对于方程组(2)，应将方程组变形为
4x－3y＝－5，④观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x3y＋1＝.
2
解：(1)由②，得x＝1－5y.③
把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19， 2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3. 把y＝3代入③，得x＝－14. x＝－14，
所以原方程组的解是
y＝3；
2x－3y＝1，③
(2)将原方程组整理，得
4x－3y＝－5.④
由③，得x＝
3y＋1
.⑤ 2
把⑤代入④，得2(3y＋1)－3y＝－5， 7
3y＝－7，y＝－.
3
7
把y＝－代入⑤，得x＝－3.
3
x＝－3，
所以原方程组的解是7
y＝－3.
方法总结：用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．
【类型二】 整体代入法解二元一次方程组 1
x＋＝2y，①3 解方程组： 2（x＋1）－y＝11.②解析：把(x＋1)看作一个整体代入求解．
解：由①，得x＋1＝6y.把x＋1＝6y代入②，得2×6y－y＝11.解得y＝1.x＝5，
把y＝1代入①，得＝2×1，x＝5.所以原方程组的解为
3y＝1.
x＋1
方法总结：当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．
【类型三】 已知方程组的解，用代入法求待定系数的值 x＝2，ax＋by＝7，
已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为
y＝1ax－by＝1
( )
A．1 B．－1 C．2 D．3
2a＋b＝7，a＝2，
解析：把解代入原方程组得解得所以a－b＝－1.故选
2a－b＝1，b＝3，B.
方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．
【教学反思】
回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力。
课时2 加减消元法
【教学目标】 【知识与技能】
1、掌握用加减法解二元一次方程组；
2、使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法； 3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心．
【过程与方法】
经历由实际问题中抽象出二元一次方程组等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
【情感态度与价值观】
进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性. 【教学重点】
加减消元法的基本思想. 【教学难点】
会用加减法解二元一次方程组．(重点) 【新课导入】 一、情境导入
上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，那么如何解方程组2x＋3y＝－1，①呢？ 2x－3y＝5②
1．用代入法解(消x)方程组． 2．解完后思考：
用“整体代换”的思想把2x作为一个整体代入消元求解．
3．还有没有更简单的解法？
由x的系数相等，是否可以考虑①－②，从而消去x求解？ 4．思考：
(1)两方程相减的依据是什么？ (2)目的是什么？
(3)相减时要特别注意什么？ 【教学过程】 二、合作探究
探究点一：用加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解下列方程组： 4x＋3y＝3，①(1)
3x－2y＝15；②
x＋1
1－0.3（y－2）＝，①5(2)
y－14x＋94＝20－1.②
解析：(1)观察x，y的两组系数，x的系数的最小公倍数是12，y的系数的最小公倍数是6，所以选择消去y，把方程①的两边同乘以2，得8x＋6y＝6③，把方程②的两边同乘以3，得9x－6y＝45④，把③与④相加就可以消去y；(2)2x＋3y＝14，③
先化简方程组，得观察其系数，方程④中x的系数恰好是方程
4x－5y＝6.④③中x的系数的2倍，所以应选择消去x，把方程③两边都乘以2，得4x＋6y＝28⑤，再把方程⑤与方程④相减，就可以消去x.
解：(1)①×2，得8x＋6y＝6.③ ②×3，得9x－6y＝45.④ ③＋④，得17x＝51，x＝3.
把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，y＝－3. x＝3，
所以原方程组的解是
y＝－3；2x＋3y＝14，③
(2)先化简方程组，得
4x－5y＝6.④③×2，得4x＋6y＝28.⑤ ⑤－④，得11y＝22，y＝2.
把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，x＝4. x＝4，
所以原方程组的解是
y＝2.
方法总结：用加减消元法解二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数．复杂的方程组一定要先化简，再观察思考消元方案．
探究点二：用加减法整体代入求值
x＋3y＝5，
已知x、y满足方程组求代数式x－y的值．
3x＋y＝－1，
解析：观察两个方程的系数，可知两方程相减得2x－2y＝－6，从而求出x－y的值．
x＋3y＝5，①③解：②－①，得2x－2y＝－1－5，③ ，得x－y＝－3.
23x＋y＝－1，②方法总结：解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．
探究点三：构造二元一次方程组求值
已知xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，求m和n的值．
解析：根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和
n.
解：因为xm－n＋1
y与－2xyn－13m－2n－5
m－n＋1＝n－1，①
是同类项，所以
3m－2n－5＝1.②
m－2n＋2＝0，③
整理，得
3m－2n－6＝0.④
④－③，得2m＝8，所以m＝4.把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.所以m＝4，当时，xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项． n＝3
方法总结：解这类题，就是根据同类项的定义，利用相同字母的指数分别相等，列方程组求字母的值． 【教学反思】
进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析问题的能力
8.3 实际问题与二元一次方程组
【教学目标】 【知识与技能】
1.经历和体验列方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型。
2.在运用二元一次方程组解决实际问题过程中进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识。
3.培养学生的思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，增强列方程组解决现实问题的应用数学意识。
【过程与方法】
经历由实际问题中抽象出二元一次方程组等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
【情感态度与价值观】
进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性. 【教学重点】
1．让学生经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。 2． 进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。 3. 确立等量关系，列出正确的二元一次方程组。
【教学难点】
1．让学生经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。 2． 进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。 3. 确立等量关系，列出正确的二元一次方程组。
【新课导入】 一、情境导入
古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问题吗？
【教学过程】
二、合作探究
探究点一：利用二元一次方程组解决实际问题 【类型一】 和差倍分问题
某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要
运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
解析：已知量：(1)甲种货物每吨体积为6立方米；(2)乙种货物每吨体积为2立方米；(3)船的载重量为300吨；(4)船的容积为1200立方米．
未知量：甲、乙两种货物应装的质量各为多少吨．若以x、y表示它们的吨数，则甲种货物的体积为6x立方米，乙种货物的体积为2y立方米．
相等关系：“充分利用这艘船的载重量和容积”的意思是“货物的总质量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．即
甲种货物质量,↓,x))＋,)乙种货物质量,↓,y))＝,)船的总载重量,↓,300))
甲种货物体积,↓,6x))＋,)乙种货物体积,↓,2y))＝,)船的总容积,↓,1200))
x＋y＝300，解：设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．由题意，得解
6x＋2y＝1200，x＝150，
得 y＝150.
答：甲、乙两种货物各装150吨．
方法总结：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找相等关系．设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．
【类型二】 变化率问题 为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学
的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”；
(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，
按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．
解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学x＋y＝5000，x＝3400，习的民工子女有y人．则解得20%x＝680，30%y20%x＋30%y＝1160，y＝1600.＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(万元)．
答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”； (2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就读的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．
答：一共需配备360名中小学教师．
方法总结：在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率＝(增长后的量－原量)÷原量．
【类型三】 行程问题 A、B两码头相距140km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7h，逆
水航行用了10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
解析：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，列表如下： 路程 速度 (x＋y)km/h (x－y)km/h 时间 7h 10h 顺流 140km 逆流 140km 解：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h.由题意，7（x＋y）＝140，x＝17，
得解得 10（x－y）＝140.y＝3.
答：这艘轮船在静水中的速度为17km/h，水流速度为3km/h.
方法总结：本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组．
探究点二：利用二元一次方程组解决几何问题
小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大
的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2cm的小正方形空白，你能算出每个小长方
形的长和宽各是多少吗？
解析：在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的宽的和，另一种是3个小长方形的长的和；在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是1个小长方形的长和2个小长方形的宽的和，另一种从中间看为2个小长方形的长与小正方形的边长的和，由此可设未知数列出方程组求解．
3x＝5y，解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm.由题意，得解得
2x＋2＝x＋2y.x＝10， y＝6.
答：每个小长方形的长为10cm，宽为6cm.
方法总结：本题考查了同学们的观察能力，通过观察图形找等量关系，建立方程组求解，渗透了数形结合的思想． 【教学反思】
通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”．进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神，使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识
8.4 三元一次方程组的解法
【教学目标】 【知识与技能】
使学生了解三元一次方程组的概念，会用消元法解简单的三元一次方程组。 【过程与方法】
通过三元一次方程组的解法练习，培养学生的分析能力，能根据题目的特点
确定消元方程，训练解题技巧.
【情感态度与价值观】
让学生通过自己的探索、尝试、比较等活动去发现一些数学规律，体会一些数学思想，从而激发学生的求知欲望和学习兴趣
【教学重点】
解简单的三元一次方程组。 【教学难点】
熟练解三元一次方程组，针对方程组的特点，选择最好的解法。。 【新课导入】 一、情境导入
《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．
问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？ 【教学过程】 二、合作探究
探究点一：三元一次方程组的概念
下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) ＋1＝1，xx－y＝1，1
A.y＋z＝0， B.＋z＝2，
yxz＝2
1＋x＝6z2
1
a＋b＋c＋d＝1，m＋n＝18，C.a－c＝2， D.n＋t＝12， b－d＝3t＋m＝0
解析：A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中含未知数的项的次数为2，不符111
合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中，，不是整式，故B选
xyz项不是；C选项中方程组含有四个未知数，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.
方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．
探究点二：三元一次方程组的解法
解下列三元一次方程组：
z＝y＋x，①
(1)2x－3y＋2z＝5，②
x＋2y＋z＝13；③2x＋3y＋z＝11，①(2)x＋y＋z＝0，②
3x－y－z＝－2.③
解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．
4x－y＝5，x＝2，
解：(1)将①代入②、③，消去z，得解得把x＝2，y2x＋3y＝13.y＝3.
x＝2，
＝3代入①，得z＝5.所以原方程组的解为y＝3，
z＝5；
(2)①－②，得x＋2y＝11.④ ①＋③，得5x＋2y＝9.⑤ x＋2y＝11，
④与⑤组成方程组
5x＋2y＝9.1
x＝－2，解得
23y＝4.
12321把x＝－，y＝代入②，得z＝－.
244
23
所以原方程组的解是y＝，
4z＝－21.4
x＝－，
方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．
探究点三：三元一次方程组的应用
【类型一】 三元一次方程组在非负数中的应用 若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值． 解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
1
2
a－b－1＝0，a＝－3，
可得方程组b－2a＋c＝0，解得b＝－4，
2c－b＝0.c＝－2.
方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．
【类型二】 利用三元一次方程组求数字问题 3
一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位4
上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z，则原三位数可表示为100x＋10y＋z.
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得3y＝z，4
x＋y＝z＋1，
100z＋10y＋x＝100x＋10y＋z＋495，
x＝3，解得y＝6，
z＝8.
答：原三位数是368.
方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么这个两位数可表示为10a＋b.如果一个三位数的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，那么这个三位数可表示为100a＋10b＋c，依此类推．
【类型三】 列三元一次方程组解决实际问题 某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小
山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km、20km、40km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
解析：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是xkm，
ykm和zkm.
x＋y＋z＝2.5，x＝12，由题意，得203040解得y＝54，
z＝4.zyx20＋30＋40＝2.3.
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km. 方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．
【教学反思】
通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯
x＋y＋z＝70，
第九章 不等式与不等式组 9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
【教学目标】 【知识与技能】
了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生白发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上
【过程与方法】
经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想；
【情感态度与价值观】
通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识；
【教学重点】
正确理解不等式及不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上．
【教学难点】
正确理解不等式解集的意义。 【新课导入】 一、情境导入
有一群猴子，一天结伴去摘桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个．你知道有几只猴子，几个桃子吗？
【教学过程】 二、合作探究
探究点一：不等式的概念
下列各式中：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；
⑥x＋2＞y＋3.不等式的个数有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
解析：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选B.
方法总结：本题考查不等式的判定，一般用不等号表示不相等关系的式子是不等式．解答此类题的关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式．
探究点二：列简单不等式
根据下列数量关系，列出不等式： (1)x与2的和是负数；
(2)m与1的相反数的和是非负数； (3)a与－2的差不大于它的3倍；
(4)a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍．
解析：(1)负数即小于0；(2)非负数即大于或等于0；(3)不大于就是小于或等于；(4)不小于就是大于或等于．
解：(1)x＋2<0； (2)m－1≥0； (3)a＋2≤3a； (4)a2＋b2≥2ab.
探究点三：不等式的解与解集 【类型一】 对不等式解的理解 下列不是不等式5x－3<6的一个解的是( ) A．1 B．2 C．－1 D．－2
解析：分别把四个选项中的值代入不等式，能使不等式成立的数分别为5×1－3＝2<6，5×(－1)－3＝－8<6，5×(－2)－3＝－13<6，而5×2－3＝7>6不能使不等式成立，故选B.
方法总结：判断某个数值是否为不等式的解的方法：可直接将数值代入不等式的左右两边看不等式是否成立．如果成立，则是不等式的解；反之，则不是．
【类型二】 对不等式解集的理解 下列说法中，正确的是( ) A．x＝2是不等式x＋3<4的解 B．x＝3是不等式3x<7的解 C．不等式3x<7的解集是x＝2 D．x＝3是不等式3x>8的解
解析：A不正确，因为当x＝2时，x＋3<4不成立；B不正确，因为不等式
7
3x<7的解集是x<，当x＝3时，不等式3x<7不成立；C不正确，因为不等式3x<7
3有无数多个解，而x＝2只是其中一个解，因此只能说x＝2是3x<7的解，而不能说不等式3x<7的解集是x＝2；D正确，因为当x＝3时，不等式3x>8成立．故选D.
方法总结：不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数．未知数取解集中任何一个值时，不等式都成立；未知数取解集外任何一个值时，不等式都不成立． 【教学反思】
本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系．要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过等，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“＝”，这也是学生容易出错的地方
9.1.2 不等式的性质
【教学目标】 【知识与技能】
1．掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形；
2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别. 【过程与方法】
在积极参与探索、发现的过程中，体会不等式的两条基本性质的作用和意义，培养学生探索数学问题的能力； 【情感态度与价值观】
1．通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力；
2．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神 【教学重点】
掌握不等式的两条基本性质，尤其是不等式的基本性质2； 【教学难点】
正确应用不等式的两条基本性质进行不等式的变形. 【新课导入】
一、情境导入
小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁，小刚说：“再过24年，我就比爸爸年龄大了．”小刚的说法对吗？为什么？
【教学过程】
探究点一：不等式的性质 【类型一】 比较代数式的大小 已知－x＜－y，用“＜”或“＞”填空： (1)－2x________－2y； (2)2x________2y； 22(3)x________y.
33
解析：(1)根据不等式的性质2，不等式两边同乘以2，不等号方向不变，故填＜；(2)根据不等式的性质3，不等式两边同乘以－2，不等号方向改变，故填2
＞；(3)根据不等式的性质3，不等式两边同乘以－，不等号方向改变，故填＞.
3
方法总结：利用不等式的性质2、3把不等式进行变形时，首先必须弄清两边同时乘(或除以)的数的符号，如果这个数是正数，不等号的方向不变；如果是负数，不等号的方向改变．
【类型二】 判断变形是否正确 根据不等式的性质，下列变形正确的是( ) A．由a>b得ac2>bc2 B．由ac2>bc2得a>b 1
C．由－a>2得a<2
2D．由2x＋1＞x得x＜－1
解析：A中a>b，c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；B中不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的符号不改变，故B正确；C中不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，右边也应乘以－2，故C错误；D中不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误．故选B.
方法总结：本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘(或除以)同一
个负数，不等号的方向改变．
【类型三】 根据不等式的变形确定字母的取值范围 如果不等式(a＋1)x＜a＋1可变形为x＞1，那么a必须满足________． 解析：根据不等式的性质可判断a＋1为负数，即a＋1＜0，可得a＜－1. 方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变．
探究点二：利用不等式的性质解简单的不等式
利用不等式的性质解下列不等式： (1)2x－2<0； (2)3x－9<6x； 13
(3)x－2＞x－5.
22
解析：根据不等式的性质，把含未知数的项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.
解：(1)根据不等式的性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的性质2，两边除以2得x<1；
(2)根据不等式的性质1，两边都加上9－6x得－3x<9.根据不等式的性质3，两边都除以－3得x＞－3；
3(3)根据不等式的性质1，两边都加上2－x得－x>－3.根据不等式的性质3，
2两边都除以－1得x<3.
方法总结：运用不等式的性质进行变形时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边，然后把未知数的系数化为1.要注意的是：如果两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；如果两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【教学反思】
在学习不等式的性质时，可与等式的性质进行类比学习．在课堂中，让学生大胆质疑，同时通过易错例题加深学生对不等式的性质3的理解和认识．通过学习，还需要学生能独立把不等式的三条性质用数学符号表示出来
9.2 一元一次不等式
课时1 一元一次不等式及其解法
【教学目标】 【知识与技能】
1、通过自主与合作学习，会解简单一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。 【过程与方法】
经历用类比方法探究解一元一次不等式的过程，通过去分母的方法解一元一次不等式，了解数学中的化归思想，感知不等式与方程的内在联系。 【情感态度与价值观】
培养利用类比思想、化归思想学习数学的能力，学习中渗透数形结合的思想。 【教学重点】
一元一次不等式的解法。 【教学难点】
一元一次不等式的解法。 【新课导入】
一、情境导入
1．什么叫一元一次方程？
2．解一元一次方程的一般步骤是什么？要注意什么？ 3．如果把一元一次方程中的等号改为不等号，怎样求解？ 【教学过程】
二、合作探究
探究点一：一元一次不等式的概念 【类型一】 一元一次不等式的识别 下列不等式中，是一元一次不等式的是( ) 1
A．5x－2＞0 B．－3＜2＋
xC．6x－3y≤－2 D．y2＋1＞2
解析：选项A是一元一次不等式，选项B中含未知数的项不是整式，选项C中含有两个未知数，选项D中未知数的次数是2，故选项B，C，D都不是一元一次不等式．故选A.
方法总结：如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：①含有
一个未知数；②未知数的最高次数为1；③不等式的两边都是关于未知数的整式．
【类型二】 根据一元一次不等式的概念确定字母的取值范围 1
已知－x2a－1＋5＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值是________．
31
解析：由－x2a－1＋5＞0是关于x的一元一次不等式得2a－1＝1，则a＝1.
3故答案为1.
探究点二：解一元一次不等式
【类型一】 解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)2x－3＜
x＋13
； (2)
2x－19x＋2
－≤1. 36
解析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．
解：(1)去分母，得3(2x－3)＜x＋1， 去括号，得6x－9＜x＋1， 移项，合并同类项，得5x＜10， 系数化为1，得x＜2.
不等式的解集在数轴上表示如下：
(2)去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6， 去括号，得4x－2－9x－2≤6， 移项，得4x－9x≤6＋2＋2， 合并同类项，得－5x≤10， 系数化为1，得x≥－2.
不等式的解集在数轴上表示如下：
方法总结：在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别实心圆点与空心圆圈．
【类型二】 根据不等式的解集求待定系数 已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m的值． 解析：先解不等式x＋8＞4x＋m，再列方程求解．
1
解：因为x＋8＞4x＋m，所以x－4x＞m－8，所以－3x＞m－8，所以x＜－
3(m－8)．
因为其解集为x＜3，
1
所以－(m－8)＝3，解得m＝－1.
3
方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．
【类型三】 求不等式的特殊解 y为何值时，代数式
条件的最大整数．
解析：根据题意列出不等式件的最大整数．
解：依题意，得
5y＋471－y≤－， 683
5y＋471－y≤－，再求出解集，然后找出符合条6835y＋471－y的值不大于代数式－的值？并求出满足683
去分母，得4(5y＋4)≤21－8(1－y)， 去括号，得20y＋16≤21－8＋8y， 移项，得20y－8y≤21－8－16， 合并同类项，得12y≤－3， 1
把y的系数化为1，得y≤－.
4
y≤－在数轴上表示如下：
14
由图可知，满足条件的最大整数是－1.
方法总结：求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．
【类型四】 一元一次不等式与二元一次方程组的综合 x－y＝3，
已知关于x、y的方程组的解满足不等式x＋y＜3，求实数
2x＋y＝6aa的取值范围．
解析：先解方程组，求得x、y的值，再根据x＋y＜3解不等式即可． x＝2a＋1，
解：解方程组得
y＝2a－2.∵x＋y＜3，∴2a＋1＋2a－2＜3， ∴4a＜4，∴a＜1.
方法总结：已知方程组，可先求出方程组的解，再把方程组的解代入不等式，求出字母系数的取值范围． 【教学反思】
本节课通过类比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一元一次不等式与解一元一次方程只是在两边都除以未知数的系数这一步时有所不同．如果这个系数是正数，不等号的方向不变；如果这个系数是负数，不等号的方向改变．这也是这节课学生容易出错的地方．教学时要大胆放手，不要怕学生出错，要通过学生犯的错误引起学生注意，理解产生错误的原因，以便在以后的学习中避免出错
课时2 一元一次不等式的应用
【教学目标】 【知识与技能】
会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题。 【过程与方法】
经历用类比方法探究解一元一次不等式的过程，通过去分母的方法解一元一次不等式，了解数学中的化归思想，感知不等式与方程的内在联系。 【情感态度与价值观】
培养利用类比思想、化归思想学习数学的能力，学习中渗透数形结合的思想。
【教学重点】
1．会在实际问题中寻找数量关系；
2．会列一元一次不等式解决实际问题．(重点、难点) 【教学难点】
1．会在实际问题中寻找数量关系；
2．会列一元一次不等式解决实际问题．(重点、难点) 【新课导入】
一、情境导入
如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠？ 【教学过程】
二、合作探究
探究点：一元一次不等式的应用 【类型一】 商品销售问题 某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小．为了促销，商
场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？
解析：由题意可知，利润率为20%时，获得的利润为120×20%＝24(元)．若打x折，该商品获得的利润＝该商品的标价×
x10
－进价，即该商品获得的利润＝
180×－120，列出不等式，解得x的值即可．
10
解：设可以打x折出售此商品，由题意得 180×
xx10
－120≥120×20%，
解得x≥8.
答：最多可以打8折出售此商品．
方法总结：商品销售问题的基本关系是：售价－进价＝利润．读懂题意列出不等关系式求解是解题关键．
【类型二】 竞赛积分问题 某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分．小
明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？
解析：设小明答对x道题，则答错或不答的题数为(25－x)道，根据得分要超过80分，列出不等关系式求解即可．
解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为(25－x)道．根据他的得分要超过80分，得
4x－2(25－x)＞80， 2解得x＞21.
3
因为x应是整数而且不能超过25，所以小明至少要答对22道题． 答：小明至少要答对22道题．
方法总结：竞赛积分问题的基本关系是：得分－扣分＝最后得分．本题涉及不等式的整数解，取整数解时要注意关键词：“至多”“至少”等．
【类型三】 安全问题 在一次爆破中，用一条1m长的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度
为0.5cm/s，引爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600m以外(包括600m)的安全区域？
解析：本题首先依题意可得出不等关系即引爆员所跑路程大于等于600米，1
然后列出不等式为x≥600，解出不等式即可．
0.005
解：设以每秒xm的速度能跑到600m以外(包括600m)的安全区域.0.5cm/s＝0.005m/s，
依题意可得
1
x≥600， 0.005
解得x≥3.
答：引爆员点着导火索后，至少以每秒3m的速度才能跑到600m以外(包括600m)的安全区域．
方法总结：题中的“至少”是建立不等式的关键词，也是列不等式的依据． 【类型四】 分段计费问题 小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户
每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元．小明家每月用水量至少是多少？
解析：当每月用水5立方米时，花费5×1.8＝9(元)，则可知小明家每月用水超过5立方米．设每月用水x立方米，则超出(x－5)立方米，根据题意超出部分每立方米收费2元，列一元一次不等式求解即可．
解：设小明家每月用水x立方米． ∵5×1.8＝9＜15，
∴小明家每月用水超过5立方米．
则超出(x－5)立方米，按每立方米2元收费， 列出不等式为5×1.8＋(x－5)×2≥15， 解得x≥8.
答：小明家每月用水量至少是8立方米．
方法总结：分段计费问题中的费用一般包括两个部分：基本部分的费用和超出部分的费用，根据费用之间的关系建立不等式求解即可．
【类型五】 调配问题 有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜
每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？
解析：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为(10－x)人．则种甲种蔬菜3x亩，乙种蔬菜2(10－x)亩．再列出不等式求解即可．
解：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为(10－x)人． 根据题意得0.5×3x＋0.8×2(10－x)≥15.6， 解得x≤4.
答：最多只能安排4人种甲种蔬菜．
方法总结：调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数． 【类型六】 方案决策问题 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种
型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
价格(万元/台) 处理污水量(吨/月) A型 B型 12 240 10 200 年消耗费(万元/台) (1)该企业有几种购买方案？
1 1 (2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
解析：(1)设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10－x)台，列出不等式求解即可，x的值取整数；(2)根据题表信息列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案．
解：(1)设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10－x)台．由题意得 12x＋10(10－x)≤105，解得x≤2.5. ∵x取非负整数，∴x可取0，1，2.
有三种购买方案：购A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，
B型8台；
(2)由题意得240x＋200(10－x)≥2040，解得x≥1， 所以x为1或2.
当x＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102(万元)； 当x＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104(万元)． 为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．
方法总结：此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较，找出最大或最小． 【教学反思】
本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生找不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的应用题来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系
9.3 一元一次不等式组
课时1 一元一次不等式组及其解法
【教学目标】 【知识与技能】
了解一元一次不等式组的概念
【过程与方法】
理解一元一次不等式组解集的意义 【情感态度与价值观】 掌握一元一次不等式组的解法 【教学重点】
一元一次不等式组的解法 【教学难点】
一元一次不等式组的解集的表示 【新课导入】
一、情境导入
你能列出上面的不等式并将其解集在数轴上表示出来吗？ 【教学过程】
二、合作探究
探究点一：在数轴上表示不等式组的解集
x＜3，
不等式组的解集在数轴上表示为( )
x≥1
解析：把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，它们的公共部分是1≤x＜3.故选C.
方法总结：利用数轴确定不等式组的解集，如果不等式组由两个不等式组成，其公共部分在数轴上方应当是有两根横线穿过．
探究点二：解一元一次不等式组
解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
3（x＋2）＞x＋8，2x－3≥1，
(1) (2)xx－1
x＋2＜2x；
4≥3.
解析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求它们的公共部分． 2x－3≥1，①
解：(1)解不等式①，得x≥2，解不等式②，得x＞2.
x＋2＜2x.②所以这个不等式组的解集为x＞2. 将不等式组的解集在数轴上表示如下：
3（x＋2）＞x＋8，①(2)xx－1解不等式①，得x＞1，解不等式②，得x≤4.
≥.②43
所以这个不等式组的解集是1＜x≤4. 将不等式组的解集在数轴上表示如下：
方法总结：解一元一次不等式组的一般步骤：先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来，然后利用数轴确定这几个不等式解集的公共部分．也可利用口诀确定不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找．
探究点三：求不等式组的特殊解
2－x≥0，
求不等式组x－12x－11的整数解．
2－3＜3
解析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的整数值即可．
2－x≥0，①解：x－12x－11
2－3＜3.②
解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞－3.
故此不等式组的解集为－3＜x≤2，x的整数解为－2，－1，0，1，2. 方法总结：求不等式组的特殊解时，先解每一个不等式，求出不等式组的解集，然后根据题目要求确定特殊解．确定特殊解时也可以借助数轴．
探究点四：根据不等式组的解集求字母的取值范围
x＋a≥0，
若不等式组无解，则实数a的取值范围是( )
1－2x＞x－2A．a≥－1 B．a＜－1 C．a≤1 D．a≤－1
解析：解第一个不等式得x≥－a，解第二个不等式得x＜1.因为不等式组无解，所以－a≥1，解得a≤－1.故选D.
方法总结：根据不等式组的解集求字母的取值范围，可按以下步骤进行：①解每一个不等式，把解集用数字或字母表示；②根据已知条件即不等式组的解集情况，列出新的不等式．这时一定要注意是否包括边界点，可以进行检验，看有无边界点是否满足题意；③解这个不等式，求出字母的取值范围． 【教学反思】
解一元一次不等式组是建立在解一元一次不等式的基础之上，解不等式组时，先解每一个不等式，再确定各个不等式的解集的公共部分．教学中可以把利用数轴与利用口诀确定不等式组的解集结合起来，互相验证
课时2 一元一次不等式组的应用
【教学目标】 【知识与技能】
会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式组解决实际问题。 【过程与方法】
经历用类比方法探究解一元一次不等式的过程，通过去分母的方法解一元一次不等式，了解数学中的化归思想，感知不等式与方程的内在联系。 【情感态度与价值观】
培养利用类比思想、化归思想学习数学的能力，学习中渗透数形结合的思想。 【教学重点】
1．会在实际问题中寻找数量关系；
2．会列一元一次不等式组解决实际问题．(重点、难点) 【教学难点】
1．会在实际问题中寻找数量关系；
2．会列一元一次不等式组解决实际问题．(重点、难点) 【新课导入】
一、情境导入
小明、小红和东东三人在公园玩跷跷板，当小明和小红坐在跷跷板的两端时，小明这一端着地．三人一起玩跷跷板时，小红与东东坐在一端，小明被跷起．已经知道小红和东东的体重分别为30kg和32kg，同学们，你们能算出小明的体重大约是多少吗？
【教学过程】
二、合作探究
探究点：一元一次不等式组的应用 【类型一】 分配问题 某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤
寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒；如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得1盒．
(1)设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒(用含x的代数式表示)? (2)该敬老院至少有多少个老人？最多有多少个老人？
解析：相等关系：每人分5盒，剩下38盒．不等关系：每人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得1盒，即最后一个老人分得的盒数大于或等于1且小于5.
解：(1)牛奶数量为(5x＋38)盒；
(2)方法一：根据题意可得1≤(5x＋38)－6(x－1)<5，解得39 6（x－1）＋1≤5x＋38，方法二：根据题意得解得39 方法总结：此类问题主要考查应用不等式组解决实际问题时要善于挖掘题中 的隐含条件，如本题中“每人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少1盒”的含义是最后一个老人分得的盒数大于或等于1且小于5. 【类型二】 方案决策问题 某地区发生严重旱情，为了保障人畜饮水安全，急需饮水设备12台．现 有甲、乙两种设备可供选择，其中甲种设备的购买费用为4000元/台，安装及运输费用为600元/台；乙种设备的购买费用为3000元/台，安装及运输费用为800元/台．若要求购买的费用不超过40000元，安装及运输费用不超过9200元，则可购买甲、乙两种设备各多少台？ 解析：根据“购买的费用不超过40000元”“安装及运输费用不超过9200元”作为不等关系列不等式组，求其整数解即可． 解：设购买甲种设备x台，则购买乙种设备(12－x)台．购买设备的费用为4000x＋3000(12－x)，安装及运输费用为600x＋800(12－x)． 4000x＋3000（12－x）≤40000，根据题意得 600x＋800（12－x）≤9200.解得2≤x≤4. 由于x取整数，所以x＝2，3，4. 故有三种方案：①购买甲种设备2台，乙种设备10台；②购买甲种设备3台，乙种设备9台；③购买甲种设备4台，乙种设备8台． 方法总结：列不等式组解应用题时，一般只设一个未知数，找出两个或两个以上的不等关系，相应地列出两个或两个以上的不等式组成不等式组求解．在实际问题中，大部分情况下应求整数解． 【教学反思】 本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生找不等关系列出不等式组，通过逐步引导，使学生明确直接的不等关系和一些隐含的不等关系．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程组解决实际问题，让学生认识到列方程组与列不等式组的区别与联系 第十章 数据的收集、整理与描述 10.1 统计调查 课时1 统计调查（1） 【教学目标】 【知识与技能】 1、了解全面调查的概念； 2、会设计简单的调查问卷，收集数据； 3、掌握划记法，会用表格整理数据； 4、会画扇形统计图，能用统计图描述数据； 5、经历统计调查的一般过程，体验统计与生活的关系. 【过程与方法】 1．了解收集数据的目的，掌握简单的收集与整理数据的方法； 2．掌握全面调查的概念；(重点) 3．能用统计图描述数据．(难点) 【情感态度与价值观】 1．了解收集数据的目的，掌握简单的收集与整理数据的方法； 2．掌握全面调查的概念；(重点) 3．能用统计图描述数据．(难点) 【教学重点】 全面调查的过程（数据的收集、整理、描述）是重点； 【教学难点】 绘制扇形统计图是难点。 【新课导入】 一、情境导入 小丽是班级的组织委员，为了响应学校提出的“全民健身、阳光体育”号召，她假期里准备组织全班同学观看一场球类比赛，为了吸引更多的同学参加，她应该组织观看哪种球类的比赛呢？为了解决上述问题，接下来让我们一起去看看吧！ 【教学过程】 二、合作探究 探究点一：全面调查 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是( ) A．了解一批圆珠笔的寿命 B．了解全国九年级学生身高的状况 C．调查人们保护海洋的意识 D．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件 解析：A，B，C中所有调查的对象数量庞大，且全面调查的意义不太大，不适合全面调查，D中检查运载火箭的各零部件，对精准度的要求很高，所以必须采用全面调查的方式．故选D. 方法总结：一般来说，对于具有破坏性的调查，无法进行全面调查，全面调查的意义或价值不大，对于精准度要求高的、事关重大的调查往往选用全面调查． 探究点二：用统计图描述数据 【类型一】 合理选择统计图描述数据 要反映某市一周大气中PM2.5的变化情况，宜采用( ) A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．以上都行 解析：因为PM2.5的含量变化没有规律，只能测出不同的变化情况，应选折线统计图．故选B. 方法总结：要结合三种统计图的缺点进行选择，条形统计图不能反映出各部分占总体的百分比；折线统计图除了不能反映出各部分占总体的百分比外，还不能反映每一部分的具体数量；扇形统计图也不能反映各部分的具体数量． 【类型二】 根据统计图获取需要的信息 某学校在七年级随机抽取若干名学生进行“创建文明城市”知识答 题，成绩分为1分，2分，3分，4分共4个等级，将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生中得2分的有( ) A．8人 B．10人 C．6人 D．9人 解析：先求出抽取的总人数，再求出得3分的人数，即可求出得2分的人数．抽取的总人数为12÷30%＝40(人)，得3分的人数为40×42.5%＝17(人)，得2分的人数为40－3－17－12＝8(人)．故选A. 方法总结：本题主要考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是能从条形统计图与扇形统计图中获取需要的信息． 【类型三】 制作统计图 下表是某学校学生上学时使用的交通工具调查统计表. 交通工具 人数(人) 步行 骑自行车 乘公交车 其他 500 100 160 40 你能根据上面的数据，尝试绘制扇形统计图吗？ 解析：根据画扇形统计图的步骤先确定使用不同交通方式的同学的人数，再求使用不同交通方式的同学占全体的百分比，并求出要画的扇形对应的圆心角，根据圆心角画出扇形统计图并写出名称即可． 解：总人数是500＋100＋160＋40＝800(人)．各部分占总体百分比分别如下：步行：500÷800＝62.5%，骑自行车：100÷800＝12.5%，乘公交车：160÷800＝20%，其他：40÷800＝5%.所对应扇形圆心角的度数分别为360°×62.5%＝225°，360°×12.5%＝45°，360°×20%＝72°，360°×5%＝18°.画出扇形统计图如下： 方法总结：本题考查了制作扇形统计图的能力，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 【教学反思】 教学过程中，应鼓励学生积极参与教学活动，在活动中，体会数学的实用性，从而产生对数学的好奇心和求知欲 课时2 统计调查（2） 【教学目标】 【知识与技能】 1、经历数据的收集、整理和分析的模拟过程，了解抽样调查、样本、个体与总体等统计概念； 2、初步感受抽样调查的必要性，初步体会用样本估计总体的思想。 【过程与方法】 1．了解抽样调查的概念并能区分全面调查和抽样调查；(重点) 2．了解样本、样本容量的概念及简单的抽样调查的方法． 【情感态度与价值观】 1．了解抽样调查的概念并能区分全面调查和抽样调查；(重点) 2．了解样本、样本容量的概念及简单的抽样调查的方法． 【教学重点】 抽样调查、样本、总体等概念以及用样本估计总体的思想是重点 【教学难点】 样本的抽取是难点。 【新课导入】 一、情境导入 妈妈做菜时，为了了解菜品的咸淡是否适合，取了一点品尝，想一想，妈妈的这种做法属于什么调查呢？ 【教学过程】 二、合作探究 探究一：抽样调查及样本的选取 【类型一】 抽样调查的概念 下列调查中：①调査本班同学的视力；②调查一批节能灯管的使用寿 命；③为保证卫星的成功发射，对其零部件进行检查；④对乘坐某班次客车的乘客进行安检．其中适合采用抽样调查的是( ) A．① B．② C．③ D．④ 解析：①中，由于考察对象数量较少，可以采取全面调查方式；②中，考察对象具有破坏性，宜采用抽样调查；③中，要保证卫星的成功发射，必须做到万无一失，所以要对其零部件进行全面调查；④中，为了保证每个旅客的安全，必须对所有乘客进行安检，即全面调查．故选B. 方法总结：全面调查和抽样调查是两种方式，各有自己的特点，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身需要，又要考虑实现的可能性． 【类型二】 样本选择的合理性 为了了解学校大门出口处每天在学校放学时段的车流量，以帮助学生 安全离校，有下面几个样本来统计大门出口处在学校放学时段的车流量，样本选取合适的是( ) A．抽取两天作为一个样本 B．以全年每一天为样本 C．选取每周星期日为样本 D．春、夏、秋、冬每个季节各选两周作为样本 解析：选项A样本容量太小，不具有广泛性；选项B抽取样本难度过大，没有必要；选项C样本不具有代表性；选项D对个体进行分类按比例随机抽取样本，样本具有代表性，符合简单随机抽样的要求．故选D. 方法总结：开展调查前，首先要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为调查对象，样本要避免遗漏某一个群体，使样本在总体中具有广泛性和代表性；其次样本容量应足够． 探究点二：总体、个体、样本、样本容量 今年某市有4万名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从 中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法：①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③2000名考生是总体的一个样本；④样本容量是2000，其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解析：这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；每个考生的数学中考成绩是个体；2000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本，样本容量是2000.故正确的是①④.故选C. 方法总结：(1)总体、个体、样本三者之间的关系是：所有的个体构成了总体，样本取自于总体，因此，样本是总体的一部分，没有个体就没有总体；(2)在总体、个体、样本中所提到的考察对象都是解题中的数量指标，是“量”而不是“物”． 探究点三：用样本估计总体 中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调 查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度(态度分为：A.无所谓；B.基本赞成；C.赞成；D.反对)，并将调查结果绘制成折线统计图(如图①)和扇形统计图(如图②，图不完整)．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长？ (2)将图①补充完整； (3)根据抽样调查结果，请你估计该市城区6000名中学生家长中有多少名家 长持反对态度． 解析：(1)根据折线统计图中的数据及扇形统计图中的百分比，利用A的人数÷百分比＝总人数；(2)C所占的百分比＝1－A、B、D所占的百分比之和；(3)持反对态度的家长人数＝总人数×60%. 解：(1)30÷15%＝200(名)． 答：共调查了200名中学生家长； (2)统计图补充如图； (3)6000×60%＝3600(名)． 答：估计该市城区6000名中学生家长中有3600名家长持反对态度． 方法总结：此类问题考查扇形统计图和折线统计图．扇形统计图表示部分占整体的百分比，折线统计图表示变化情况． 【教学反思】 教学过程中，强调学生自主探索与合作交流，经历收集、加工、整理等思维过程，培养学生的探索精神以及分析问题、处理问题的能力 10.2 直方图 【教学目标】 【知识与技能】 1. 体会数据在现实生活中的作用，理解直方图的特点. 2. 通过观察、思考、比较、概括等，提高合理思维、推理、归纳总结能力. 【过程与方法】 1. 体会数据在现实生活中的作用，理解直方图的特点. 2. 通过观察、思考、比较、概括等，提高合理思维、推理、归纳总结能力. 【情感态度与价值观】 1. 体会数据在现实生活中的作用，理解直方图的特点. 2. 通过观察、思考、比较、概括等，提高合理思维、推理、归纳总结能力. 【教学重点】 理解直方图的特点. 【教学难点】 能够根据直方图中提供的信息做出合理判断. 【新课导入】 一、情境导入 为了参加全校各年级之间的广播体操比赛，七年级准备从63名同学中挑出身高相差不多的40名同学参加比赛，为此收集到了这63名同学的身高(单位：cm)如下： 158 158 160 168 159 159 151 158 159 168 158 154 158 154 169 158 158 159 167 170 153 160 160 159 159 160 149 163 163 162 172 161 153 156 162 162 163 157 162 162 161 157 157 164 155 156 165 166 156 154 166 164 165 156 157 153 165 159 157 155 164 156 166 要挑出身高相差不多的40名同学参加比赛，我们应该怎样整理数据？ 【教学过程】 二、合作探究 探究点一：认识直方图 【类型一】 组数、组距、频数和频率 七年级五班20名女生的身高如下(单位：cm)： 153 156 152 158 156 160 163 145 152 153 162 153 165 150 157 153 158 157 158 158 (1)请你在表中填出身高在以下各个范围的频数、频率； 身高 140～149 150～159 160～169 频数 频率 (2)上表把身高分成________组，组距是________； (3)身高在________范围最多． 解析：(1)共有20个数据，要求填写各个身高范围的频数，就是指每个身高范围内包含的数据个数，一般采取“划记”法进行整理．身高在140～149的频数为1，频率为0.05；身高在150～159的频数为15，频率为0.75；身高在160～169的频数为4，频率为0.20；(2)分成了3组，组距为10；(3)身高在150～159的人数最多． 方法总结：弄清频数、频率、组距和组数的概念． 【类型二】 根据直方图获取需要的信息 某校统计七年级学生每分钟心跳次数如图所示，根据频数分布直方图， 回答下列问题： (1)总共统计了多少名学生的心跳情况？ (2)哪个次数段的学生人数最多？占多大百分比(精确到0.1%)? (3)如果每半分钟心跳在30次～39次属正常范围，那么心跳次数属于正常范围的学生占多大百分比(精确到0.1%)? 解析：(1)由频数分布直方图的特点，每个小长方形的高就表示该组的频数，所以总频数就是所有小长方形的高之和；(2)由直方图可知，第3个小长方形最高，对应的次数段为30次～33次，求其占的百分比即可；(3)正常心跳范围(30次～39次)的学生总数就是第三、四、五小组的频数之和，其占的百分比就是用第三、四、五小组学生人数之和除以统计的学生总数． 解：(1)总共统计学生人数为2＋4＋7＋5＋3＋1＋2＋2＋1＝27(人)； 7 (2)在30次～33次这个范围内的学生人数最多，共7人，所占百分比为× 27100%≈25.9%； (3)如果每半分钟心跳在30次～39次这个范围内属于正常范围，那么心跳属于正常范围的学生占的百分比是 7＋5＋3 ×100%≈55.6%. 27 方法总结：明确直方图的意义，弄清频数、组距之间的关系是解题的关键． 【类型三】 频数分布直方图与其他统计图的综合应用 为增加环保意识，某社区计划开展一次“减碳环保，减少用车时间” 的宣传活动，对部分家庭五月份的平均每天用车时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查了多少个家庭？ (2)将图①中的频数分布直方图补充完整； (3)求用车时间在1小时～1.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数； (4)若该社区有车家庭有1600个，请你估计该社区用车时间不超过1.5小时的约有多少个家庭． 解析：(1)根据用车时间在1.5小时到2小时的30个家庭，在扇形统计图中对应的圆心角是54°可求出样本容量；(2)算出各个时间段的家庭人数后可补全频数分布直方图；(3)先算出用车时间在1小时～1.5小时家庭数所占百分比，再求其对应的扇形圆心角的度数；(4)用样本估计总体． 解：(1)由频数分布直方图可知用车时间在1.5小时～2小时的家庭数为30个，由扇形统计图知其圆心角为54°，所以30÷200个家庭； (2)由扇形统计图知用车时间在0.5小时～1小时的家庭数所对应的圆心角108为108°，所以用车时间在0.5小时～1小时的家庭数为200×＝60(个)． 360 所以用车时间在2小时～2.5小时的家庭数为200－90－30－60＝20(个)． 补全后的频数分布直方图如图所示； 54 ＝200(个)，即本次调查了360 (3)因为用车时间在1小时～1.5小时的家庭数为90个，所以其对应的扇形 90 圆心角为×360°＝162°. 200 即用车时间在1～1.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数为162°； (4) 90＋60 ×1600＝1200(个)． 200 即该社区用车时间不超过1.5小时的约有1200个家庭． 方法总结：本题层次较多，结构复杂，包含的信息量大，且互相交错，所以弄懂每组信息的意义是解题的关键． 探究点二：频数分布直方图的实际应用 随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对某雷达测速区 监测到的一组汽车的时速(单位：千米)数据进行整理，得到其频数及频率如下表： 数据段 30～40 40～50 50～60 60～70 70～80 总计 频数 频率 10 0.05 36 0.39 20 0.10 200 1 (注：30～40为时速大于30千米而小于40千米，其他类同．) (1)请你把表中的数据填写完整； (2)补全频数分布直方图； (3)如果汽车时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？ 解析：(1)在40～50段，频数为36，频率＝频数÷总数＝36÷200＝0.18，根据各段的频率之和等于1，求得60～70段的频率为1－0.05－0.18－0.39－0.10＝0.28，在50～60段内的频数＝频率×总数＝0.39×200＝78.根据各频数之和等于200，可求60～70段内的频数；(2)根据(1)中计算的结果，补全频数分布直方图；(3)不低于60千米即大于或等于60千米． 解：(1)第二列0.18，第三列78，第四列56，0.28； (2)如图所示； (3)如果汽车时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有76辆． 方法总结：(1)频数分布表中各组频数的和等于数据的总数；(2)各小组的频率之和等于1；(3)用样本估计总体是重要的统计思想． 【教学反思】 在教学过程中，无论是复习旧知、新授学习，还是巩固训练都设置了学生熟悉的生活情境，使学生感到亲切有趣，感受到直方图在描述数据方面的魅力和现实意义，使学生易于接受和理解．由于本课教学过程中，使用统计图表的地方较多，因此，教学设计中充分利用现代多媒体的直观、形象作用，制成动画播放，有效地吸引了学生的注意力，调动了学生的积极性．学生在轻松愉快的气氛中学习，取得了较好的教学效果 10.3 课题学习 从数据谈节水 【教学目标】 【知识与技能】 1．进一步巩固处理数据的基本步骤和方法； 2．能对具体问题选用适当的统计方法进行统计； 3．感受统计在生活中的应用，培养统计观念；(重点) 4．能根据具体问题选择适当的统计图描述数据并能从统计图中获取有用的信息，能做出合理的判断和预测．(难点) 【过程与方法】 1．进一步巩固处理数据的基本步骤和方法。 2．能对具体问题选用适当的统计方法进行统计。 3．感受统计在生活中的应用，培养统计观念。 【情感态度与价值观】 1. 体会数据在现实生活中的作用，理解直方图的特点. 2. 通过观察、思考、比较、概括等，提高合理思维、推理、归纳总结能力. 【教学重点】 1．培养学生的统计观念，感受统计调查在生活中的应用。 【教学难点】 能根据具体问题选择适当的统计图描述数据并能从统计图中获取有用的信息，能做出合理的判断和预测。 【新课导入】 一、情境导入 看到这些图片你有什么感受？ 【教学过程】 二、合作探究 探究点一：从数据谈节水 水是生命之源、是人类赖以生存且无可替代的营养物质．小明同学根 据科学家研究成果，将一个成年人每天需用水量来源绘制成如图所示的统计图： 请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)统计图①中，食物所在扇形的圆心角是多少？ (2)成年人一日需水量是多少？ (3)补全统计图②； (4)若阳光中学有教师130人，则该校教师一日饮水量约需多少？ 解析：(1)求出食物所占的百分比，然后乘以360°即可；(2)用饮水的量除以所占的百分比，计算即可得解；(3)用一日需水量减去饮水和内生水即为食物提供的水，然后补全统计图即可；(4)用总人数乘以一个成年人一日的饮水量，计算即可得解． 解：(1)(1－12%－48%)×360°＝144°； (2)1200÷48%＝2500(毫升)； 答：成年人一日需水量为2500毫升； (3)食物提供的水量：2500－1200－300＝1000(毫升)，补全统计图如图所示； (4)130×1200＝156000(毫升)． 答：该校教师一日饮水量约需156000毫升． 方法总结：本题是条形统计图和扇形统计图的综合运用题，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 探究点二：分析处理统计图表 某学校为了了解学生课外参加体育锻炼的情况，随机抽取了该校七、 八、九年级共300名学生进行抽样调查，发现只有25%的学生课外参加体育锻炼，整理收集到的数据，绘制成如图所示的统计图．根据以上信息，下列结论错误的是( ) A．九年级共抽查了90名学生 1B．九年级学生课外参加体育锻炼的占九年级人数比例为 6C．八年级学生课外参加体育锻炼的比例最大 D．若该校七、八、九年级分别有600人、500人、500人，按各年级参加体育锻炼的比例计算，则全校学生中课外参加体育锻炼的约有394名学生 解析：九年级共抽查学生数为300×(1－40%－30%)＝300×30%＝90(人)，故A正确；九年级学生课外参加体育锻炼的人数占九年级人数比例为 151＝，故906 B正确；七年级学生课外参加体育锻炼的比例为 401 ＝，八年级学生课外300×40%3 参加体育锻炼的比例为 2021 ＝，九年级学生课外参加体育锻炼的比例为.300×30%96 故七年级学生课外参加体育锻炼的比例最大，故C错误；该校七、八、九年级分别有600人、500人、500人，按各年级参加体育锻炼的比例计算，则全校学生12 中课外参加体育锻炼的约有600×＋500×＋500×错误!≈394(人)，故D正 39确．故选C. 方法总结：利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断． 【教学反思】 本节内容是有关节约用水的一个课题学习，主要是通过查阅资料及自己收集的数据，感受节约用水的必要性和紧迫性，是典型的活动课．教材是在学生已经学习了基本的统计方法后，让学生将所学知识应用到实际生活中．在本节课中，教师要给予学生充分的讨论空间与时间，让学生进行充分的交流，从而感受到统计思想在生活中的应用，并通过课题的学习获得一定的数学经验，增强学生的节水意识，使学生自觉地加入到节约用水的宣传行动中来．教学设计上，强调学生的自主探究，注重交流合作，让学生与学生的交流合作在探究过程中进行，使他们在自主探索的过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容