中央广播电视大学2002秋期末考试

数学与应用数学专业2001级第三学期常微分方程试题

2003年1月

题号 得分

得分 评卷人 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1．方程 2．方程

dydxdydxxy满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． xsiny的所有常数解是 ．

dydx(x)y的任一非零解

222一 二 三 四 五 总分 3．若y(x)在(,)上连续，则方程

与x轴相交．

4．在方程yp(x)yq(x)y0中，如果p(x)，q(x)在(,)上连续，那么它的任一非零解在xoy平面上 与x轴相切．

5．向量函数组Y1(x),Y2(x),,Yn(x)在其定义区间I上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式W(x)0，xI． 得分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

6．n阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．

（A）n维 （B）n1维 （C）n1维 （D）n2维 7. 方程

dydxxy2（ ）奇解．

（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个 8．方程

dydx2． 3y3过点(0,0)（ ）

（A）有无数个解 （B）只有三个解

（C）只有解y0 （D）只有两个解

9．若y1(x)，y2(x)是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ）．

（A）1(x)2(x) （B）1(x)2(x) （C）C(1(x)2(x))1(x) （D）C1(x)2(x) 10．fy(x,y)连续是方程

dydxf(x,y)初值解唯一的（ ）条件．

（A）必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）充分

得分 评卷人 三、计算题（每小题６分，本题共30分）

求下列方程的通解或通积分：

11. 12.

dydxdydxxy1x2

2x3ye

13. (x3xy2)dx(x2yy3)dy0 14．eyyx0

15．yy(y)20

得分 评卷人 四、计算题（每小题10分，本题共20分）

16．求方程y5ysin5x的通解． 17．求下列方程组的通解．

dxxydt 

dy4xydt

得分 评卷人 五、证明题（每小题10分，本题共20分）

18．设f(x,y)在整个xoy平面上连续可微，且f(x,y0)0．求证：方程

dydxf(x,y)

的非常数解yy(x)，当xx0时，有y(x)y0，那么x0必为或．

19．设y1(x)和y2(x)是方程yq(x)y0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W(x)C，其中C为常数．