三角函数的诱导公式(一)

三角函数的诱导公式（一）

[学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．

知识点一 诱导公式一～四

(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.

(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.

(3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.

(4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α.

思考1 任意角α与π＋α，－α，π－α的终边之间有怎样的对称关系？

思考2 设任意角α的终边与单位圆交于点P(x0，y0)，分别写出π＋α，－α，π－α的终边与单位圆的交点坐标． 知识点二 诱导公式的记忆

2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”． 思考 你能用简洁的语言概括一下诱导公式一～四的作用吗？

题型一 给角求值

例1 求下列各三角函数值．

8192

(1)sin(－3π)； (2)cos 6π； (3)sin[(2n＋1)π－3π]． 882

解 (1)sin(－3π)＝－sin 3π＝－sin(2π＋3π) 2π

＝－sin 3π＝－sin(π－3) π3＝－sin 3＝－2. 197

(2)cos 6π＝cos(2π＋6π)

- 总结

- -

＝cos(π＋ππ36)＝－cos 6＝－2.

(3)sin[(2n＋1)π－22

3π]＝sin[2nπ＋(π－3π)]

＝sin π33＝2.

跟踪训练1 求下列三角函数值．

（1）sin－4329

6π； (2)cos 6π； (3)tan(－855°)． 解 (1)sin－436π437＝－sin 6π＝－sin(6π＋6π) ＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin π1

6＝2； (2)cos 29＋5

6π＝cos(4π6π) ＝cos 5

6π＝cosπ－π6 ＝－cos π36＝－2； (3)tan(－855°)＝－tan 855° ＝－tan(2×360°＋135°)

＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. 题型二 给值求值问题

例2 已知cos(α－75°)＝－1

3，且α为第四象限角， 求sin(105°＋α)的值．

解 ∵cos(α－75°)＝－1

3<0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角．

∴sin(α－75°)＝－1－cos2(α－75°) ＝－

1－1－32＝－223

. ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝223

.

跟踪训练2 已知cos(π＋α)＝－3

5，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值． 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－33

5，∴cos α＝5，

- 总结

- -

∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－4

5.

∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α) ＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α ＝－(sin α＋cos α)＝－43－5＋51＝5.

题型三 三角函数式的化简 例3 化简下列各式．

（1）tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)cos(α－π)sin(5π－α)；

（2）

1＋2sin 290°cos 430°

sin 250°＋cos 790°

.

sin(2π－α)

解 (1)原式＝cos(2π－α)

·sin(－α)cos(－α)

cos(π－α)sin(π－α) ＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)原式＝1＋2sin(360°－70°)cos(360°＋70°)

sin(180°＋70°)＋cos(720°＋70°)

＝

1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|

cos 70°－sin 70°

＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.

跟踪训练3 化简：(1)sin(540°＋α)·cos(－α)

tan(α－180°)

；

（2）cos(θ＋4π)·cos2(θ＋π)·sin2(θ＋3π)sin(θ－4π)sin(5π＋θ)cos2(－π＋θ)

. 解 (1)原式＝错误! ＝sin(180°＋α)cos αtan α ＝－sin αcos αsin α

＝－cos2α. cos α

- 总结

- -

原式＝cos θ·cos2θ·sin2(2)θ

sin θ·(－sin θ)·cos2θ

＝－cos θ.

分类讨论思想在三角函数中的应用

例4 证明：2sin(α＋nπ)cos(α－nπ)

sin(α＋nπ)＋sin(α－nπ)＝(－1)ncos α，n∈Z.

证明 当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z， 左边＝2sin(α＋2kπ)cos(α－2kπ)

sin(α＋2kπ)＋sin(α－2kπ)

＝2sin αcos αsin α＋sin α

＝2sin αcos α2sin α＝cos α.

右边＝(－1)2kcos α＝cos α， ∴左边＝右边．

当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z， 左边＝2sin(α＋2kπ－π)cos(α－2kπ＋π)

sin(α＋2kπ－π)＋sin(α－2kπ＋π)

＝2sin(α－π)cos(α＋π)sin(α－π)＋sin(α＋π) ＝

2(－sin α)(－cos α)

(－sin α)＋(－sin α)

＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α.

右边＝(－1)2k－

1cos α＝－cos α，

∴左边＝右边．

综上所述，2sin(α＋nπ)cos(α－nπ)

sin(α＋nπ)＋sin(α－nπ)＝(－1)ncos α，n∈Z成立．

1．sin 585°的值为( )

A．－22332 B.2 C．－2 D.2 2．cos(－16π)＋sin(－16π

33)的值为( )

- 总结

- -

A．－1＋32

B.1－32

C.

3－1

2

D.

3＋1

2

3．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( ) 1－k2A.k

B．－1－k2

k

C.

k

1－k2

D．－

k

1－k2

4．化简：cos(180°＋α)sin(α＋360°)

sin(－α－180°)cos(－180°－α).

一、选择题

1．cos 600°的值为( )

A.3 B.1 C．－3 D．－12 22 2 2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )

A．1 B．2sin2α C．0 D．2 3．已知cos(α－π)＝－5

13，且α是第四象限角，则sin α等于( ) A．－12 B.1251213 13 C.12 D．±13 4．若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于( ) A.

a1－a2 B.－a1－a2 C.a

1＋a2 D.－a1＋a2

5．tan(5π＋α)＝m，则sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(－α)－cos(π＋α)的值为( )

A.m＋1m－1 B.m－1m＋1

C．－1 D．1 - 总结

- -

π1

－，0，则cos(π＋α)的值为( ) 6．若sin(π－α)＝log8 4，且α∈2A.

555 B．－ C．± D．以上都不对 333二、填空题

π＝3，则cos5π－θ＝ . ＋θ7．已知cos63613

8．若cos(π＋α)＝－2，2π<α<2π，则sin(α－2π)＝ . cos(－585°)

9.的值等于 ． sin 585°＋sin(－570°)

10．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为 ． 三、解答题

11．化简下列各式．

197

(1)sin(－3π)cos 6π； （2）sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．

2

12．若cos(α－π)＝－，求

3sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π)

的值．

cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π)

当堂检测答案：

1．答案 A

解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°) 2＝－sin 45°＝－2. 2．答案 C

- 总结

- -

解析 原式＝cos

16π3－sin 16π4π4π

3＝cos 3－sin 3 ＝－cos ππ

＝3－13＋sin 32. 3．答案 B

解析 ∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k， ∴sin 80°＝1－k2. tan 80°＝1－k2∴k.

＝－tan 80°＝－1－k2

∴tan 100°k. 4．化简：cos(180°＋α)sin(α＋360°)

sin(－α－180°)cos(－180°－α). 解 原式＝(－cos α)·sin α

[－sin(α＋180°)]·cos(180°＋α)

＝

sin αcosα

sin(α＋180°)cos(180°＋α)

＝sin αcos α(－sin α)(－cos α)

＝1.

课时精炼答案

一、选择题 1．答案 D

解析 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－1

2.

2．答案 D

解析 原式＝(－sin α)2＋cos αcos(－α)＋1 ＝sin2α＋cos2α＋1＝2. 3．答案 A

解析 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－5

13， ∴cos α＝5

13，又α是第四象限角， ∴sin α<0，则sin α＝－1－cos2α＝－12

13. - 总结

- -

4．答案 B

解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°) ＝－sin 70°＝a，∴sin 70°＝－a， ∴cos 70°＝1－(－a)2＝1－a2， ∴tan 70°＝sin 70°

cos 70°＝－a1－a2. 5．答案 A

解析 原式＝sin α＋cos αtan α＋1m＋sin α－cos α＝tan α－1＝1

m－1.

6．答案 B

解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log232－

2＝－23，

∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin2 α ＝－

1－49＝－53

.

二、填空题 7．答案 －33

解析 cos5π6－θ＝cosπ－π6＋θ ＝－cosπ6＋θ＝－33. 8．答案 －32 解析 由cos(π＋α)＝－11

2，得cos α＝2，

故sin(α－2π)＝sin α＝－1－cos2α＝－1－(12)2

＝－32

(α为第四象限角)． 9.答案

2＋2

解析 原式＝cos(360°＋225°)

sin(360°＋225°)－sin(360°＋210°)

＝

cos 225°

sin 225°－sin 210°

- 总结

- -

2－2

－cos 45°

＝＝＝2＋2. sin(180°＋45°)－sin(180°＋30°)－2＋1

2210．答案 －3

解析 ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β) ＝asin α＋bcos β＝3，

∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β) ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin α－bcos β ＝－3. 三、解答题

11．解 (1)sin(－197

3π)cos 6π

＝－sin(6π＋ππππ3

3)cos(π＋6)＝sin 3cos 6＝4. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°) ＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.

12．解 原式＝－sin(2π－α)－sin(3π＋α)cos(3π－α)

－cos α－(－cos α)cos α

＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－2

3，

∴cos α＝2

3.∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝2

3，

sin α＝1－cos2α＝5，∴tan α＝sin α53cos α＝2， ∴原式＝－

52

. 当α为第四象限角时，cos α＝2

3， sin α＝－1－cos2α＝－53， ∴tan α＝sin α55cos α＝－2，∴原式＝2. - 总结

-

- 总结 - 5综上，原式＝±2.