会这样考 1.考查古典概型概率公式的应用；2.考查古典概型与事件关系及运算的综合题；3.与统计知识相结合，考查解决综合问题的能力．
复习备考要这样做 1.掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数；2.复习时要加强与统计相关的综合题的训练，注重理解、分析、逻辑推理能力的提升．
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果． (2)每一个试验结果出现的可能性相等．
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的
1m
概率都是 ；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝ .
nn4．古典概型的概率公式 P(A)＝
事件A的基本事件个数.
基本事件总数 5、有序与无序、有放回与无放回 [难点正本 疑点清源]
1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．
2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．
cardAm
故P(A)＝＝.
cardIn
1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是________．
答案
11解析 甲共有3种站法，故站在中间的概率为. 33
2
解析 从6个数中任取2个数的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，5
2．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．
答案
(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求
2
的概率是. 5
3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．
31
答案 基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b>a的有3种，所以b>a的概率为＝.
1554．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．
答案 D解析 个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类． (1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．
51
因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝＝.
459
题型一 基本事件
例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：
用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出： (1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于3”； (3)事件“出现点数相等”．
思维启迪：由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是古典概型．由于试验次数少，故可将结果一一列出． 解 (1)这个试验的基本事件为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． (2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：
(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． (3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件： (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
探究提高 基本事件的确定可以使用列举法和树形图法．
（1）同时抛掷两枚骰子，写出试验的基本事件。 答案：略 基本事件总数为36种，
（2）一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，两个黑球，
（1）从中一次摸出两个球，写出基本事件；（无序不放回）
（2）从中摸出1个球，记下颜色后不放回；再摸出1个球，记下颜色，写出基本事件；（有序不放回） （3）从中摸出1个球，记下颜色后放回；再摸出1个球，记下颜色，写出基本事件；（有序有放回） （4）从中有放回的抽取2个球，不计先后顺序，写出基本事件；（无序有放回）
解答：记3个白球分别为：1、2、3号、2个黑球分别为：4、5号。
（1）：{1,2}，{1,3}，（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10种，
（2）（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）； （2,1），（2,3），（2,4），（2,5）；
（3,1），（3,2），（3,4），（3,5）； （4,1），（4,2），（4,3），（4,5）；（5,1），（5,2），（5,3），（5,4）；共20种，
（3）（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）； （2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5）；
（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5）； （4,1），（4,2），（4,3），（4,4）；（4,5）， （5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5）；共25种，
（3）用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率； (2)3个矩形颜色都不同的概率．
解 所有可能的基本事件共有27个，如图所示．
31
＝. 27962
(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图，可知事件B的基本事件有2×3＝6(个)，故P(B)＝＝.
279(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图，知事件A的基本事件有1×3＝3(个)，故P(A)＝
题型二 古典概型问题
例2 有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据： 编号 直径 A1 1.51 A2 1.49 A3 1.49 A4 1.51 A5 1.49 A6 1.51 A7 1.47 A8 1.46 A9 1.53 A10 1.47 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从一等品零件中，随机抽取2个． ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2个零件直径相等的概率．
解 (1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，记“从10个零件中，随机抽取一个，这个零件为一等品”
63
为事件A，则P(A)＝＝.
105(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②“从一等品零件中，随机抽取2个，这2个零件直径相等”记为事件B，则其所有可能结果有{A1，A4}，
{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共6种，
2
所以P(B)＝.
5
题型三 古典概型的综合应用
例3 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情
况的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～ 190 cm之间的概率．
解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生
35
身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率p＝0.5.
70(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的
93
可能结果数为9，因此，所求概率p2＝＝.
155
一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量
如下表(单位：辆)：
舒适型 标准型 轿车A 100 300 轿车B 150 450 轿车C z 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆． (1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：
9.4；8.6； 9.2；9.6；8.7；9.3； 9.0；8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得
400a
＝，则a＝2. 1 0005
5010＝，所以n＝2 000， n100＋300
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个． 事件E包含的基本事件有
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
77
故P(E)＝，即所求概率为.
1010
1
(3)样本平均数x＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
8
设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事
633
件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为. 844
例4：一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n 解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个． 21 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P＝＝.[6分] 63(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[8分] 又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个， 3 所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.[10分] 16 313 故满足条件n 温馨提醒 (1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序． (2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将事件n 变式训练4 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为（1）求“抽取的卡片上的数字满足（2）求“抽取的卡片上的数字 ”的概率； . 不完全相同”的概率. 次，基本事情 ， 试题解析：（1）由题意，随机有放回的抽取 共有 个 又（2）““ 包含三个基本事件： 不完全相同”的对立事件是“ ” 对应的概率完全相同”， “ . 完全相同”包含三个基本事件： 所以 . 方法与技巧 1．古典概型计算三步曲 第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个． 2．确定基本事件的方法 列举法、列表法、树形图法． 失误与防范 1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的． 2．概率的一般加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)． 公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A＋B的概率，当AB＝∅时，A、B互斥，此时P(AB)＝0，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A＋B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件AB，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一． A组 专项基础训练 一、选择题 1．某校2018年高二上学期给学生分发的教材有：语文3本、数学3本、英语8本、物理2本、生物3本和化学2本，从中任取1本，取出除语文和英语以外的课本的概率为（ ） A． 1 3答案：D A．0.6 B． 8 21C． 3 7D． 10 212、从1名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 B．0.5 C．0.4 D．0.3 答案：B 3、一个袋中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 1 A. 5 ( ) 1 D. 2 3 B. 10 2C. 5 答案 C解析 从袋中任取两个球，其一切可能结果有 (黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，黑3)，(黑2，红1)，(黑 2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(红1，红2)共10个，同色球为(黑1，黑2)，(黑 2 1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)共4个结果，∴P＝. 5 4、甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（ ） A 1213 B C D 2334答案：A 甲，乙（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白）， （蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为 31 ，∴选A． 93 5、甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气王”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是（ ） A． 3123 B． C． D． 35410故选：C．【解答】解：设乙、丙、丁分别领到x元、y元、z元，记为（x，y，z）， 则基本事件有：（1，1，4），（1，4，1），（4，1，1），（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3）， （2，3，1），（3，1，2），（3，2，1），（2，2，2），共10个， 其中符合丙获得“手气王”的有4个， ∴丙获得“手气王”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的概率：P=二、填空题 ． 1．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________． 答案 36311解析 从5个球中任取2个球有C2＝. 5＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C3C2＝6(种)，故所求概率为5105 2．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________． 3 解析 从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：4 3 (2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为. 4 答案 三、解答题 1．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目． (2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率． 解 (1)由分层抽样定义知， 21 ＝3； 21＋14＋7 14 从中学中抽取的学校数目为6×＝2； 21＋14＋7 7 从大学中抽取的学校数目为6×＝1. 21＋14＋7从小学中抽取的学校数目为6× 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1. (2)①在抽取到6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种． ②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种， 31 所以P(B)＝＝. 155 2．一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球. （1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率. （2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球不放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求的概率. 解：（1）从盒中任取两球的基本事件有编号之和大于5的事件有 两种情况， 六种情况. 故编号之和大于5的概率为. （2）不放回的连续取球有（1,2）；（1,3）；（1,4）；（2,1）；（2,3）；（2,4）；（3,1）；（3,2）；（3,4）；（4,1）；（4,2）；（4， 3）；,共12个基本事件，而得概率为 包含 ，共6个基本事件，所以 61 1223．某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份).现从回收的年龄在20〜60岁的问卷中随机抽取了100份， 统计结果如下面的图表所示. 年龄 分组 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 抽取 份数 40 n 10 20 答对全卷 答对全卷的人数 的人数 占本组的概率 28 27 4 a 0.7 0.9 b 0.1 （1）分别求出n， a， b， c的值； （2）从年龄在[40,60]答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[50,60] 的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率. 试题解析： （1）因为抽取总问卷为100份，所以n=100-(40+10+20)=30. 年龄在40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以b= 4=0.4. 10a=0.1，得a2. 20年龄在50,60中，抽取份数为20份，答对全卷人数占本组的概率为0.1，所以根据频率直方分布图，得(0.04+0.03+c+0.01)×10=1，解得c0.02. （2）因为年龄在40,50与 中答对全卷的人数分别为4人与2人． 中答对全卷的2人记为b1， b2， 年龄在40,50中答对全卷的4人记为a1， a2， a3， a4，年龄在则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是： a1,a2， a1,a3， a1,a4， a1,b2， a2,a3， a2,a4， a2,b1， a2,b2， a3,a4， a3,b1， a3,b2， a4,b1， a1,b1， a4,b2， b1,b2,共15种(8分)． 其中所抽取年龄在 的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是： a1,b1， a1,b2， a2,b1， a2,b2， a3,b1， a3,b2， a4,b1， a4,b2， b1,b2共9种． 故所求的概率为 . B组 专项能力提升 一、选择题 (一、三中)1．宋庆龄基金会计划给西南某干旱地区援助，6家矿泉水企业参与了竞标．其中A企业来 自浙江省，B，C两家企业来自福建省，D，E，F三家企业来自河南省．此项援助计划从两家企业购水，假设每家企业中标的概率相同．则在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是 ( ) 1 D. 5 4A. 5 3B. 5 1 C. 2 答案 A解析 在六家矿泉水企业中，选取两家有15种情况，其中至少有一家企业来自河南的有12种情况，故所求概4率为. 5 (一、三中)2．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( 5A. 12 7 B. 12 1 C. 3 1 D. 2 ) 答案 A解析 ∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n. 基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)， 155 共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P＝＝，故选A. 3612 3、四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 （A） 1719 （B） （C） （D） 416216答案：.B 二、解答题 1．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)： “厨余垃圾”“可回收物”“其他垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 箱 100 240 20 箱 100 30 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率． (2)试估计生活垃圾投放错误的概率． (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值． 1 (注：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x为数据x1，x2，…，xn的平均数) n 解 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量4002 ＝＝. 厨余垃圾总量400＋100＋1003 (2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确． 事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)≈所以P(A)约为1－0.7＝0.3. (3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值． 11 因为x＝(a＋b＋c)＝200，所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000. 33即s2的最大值为80 000. 400＋240＋60 ＝0.7， 1 000 2．在某中央商务区的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、2只白色的乒乓球(其体积,质地完全相同)，旁边立着一 块小黑板写道： 摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得统一颜色的3个球，摊主送个摸球者10元钱；若摸得非同一颜色的3个球。摸球者付给摊主2元钱。 (1)摸出的3个球中至少有1个白球的概率是多少? (2)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱? 【解析】试题分析： (1)由题意列出所有可能的基本事件，然后结合古典概型公式可得摸出的3个球中至少有1个白球的概率是多少是 9； 10(2)由概率知识计算可得这个摊主一个月(按30天计)能赚2400元钱. 试题解析： (1)设黄球为A1，A2，A3 ；白球为B1，B2。 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共10个： （A1，A2，A3），（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A3，B1），（A1，A3，B2） （A2，A3，B1），（A2，A3，B2），（A1，B1，B2），（A2，B1，B2），（A3，B1，B2） 摸出的3个球中至少有1个白球的事件中包含9个基本事件， ∴事件发生的概率为P= (2)设事件A={摸出的3个球为同一颜色}， 则P(A)==0.1，假定一天中有100人次摸奖， 由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件A发生有10次，不发生90次。 则一天可赚90×2-10×10=80， 故这个摊主一个月(按30天计)可赚2400元。 3．一个盒子中装有2个红球，4个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同 （1）采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，求恰好取到1个红球，七个白球的概率； （2）采用放回抽样，每次随机抽取一球，连续取3次，求至少有1次取到红球的概率. 【答案】（1） 819（2） 1527【解析】试题分析：（1）不放回的先后取两次，第一次有6种不同的取法，第二次有5种不同的取法，所 以一共有6×5=30种不同的取法种数，若恰第一次取红球，第二次取白球共有2×4=8种，若第一次取白球，第二次取红球，共有4×2=8种，所以恰好取到一个红球的种数为16种，所以概率为 168（2）若放 ； 3015回抽取，每次取一球，连续3次，则不同的取法种数为6×6×6=216种，若3次都取到白球，共有 4×4×4=64种，所以根据对立事件概率加法公式可知，至少有1次取得红球的概率为1试题解析：（1）恰好取到1个红球，1个白球的概率为 6419. 216278 15221219（2）采用放回抽样，每次取到红球的概率P，∴至少有1次取到红球的概率为P1. 632734．春节期间某超市搞促销活动，当顾客购买商品的金额达到一定数量后可以参加抽奖活动，活动 规则为：从装有3个黑球， 2个红球， 1个白球的箱子中（除颜色外，球完全相同）摸球. （Ⅰ）当顾客购买金额超过100元而不超过500元时，可从箱子中一次性摸出2个小球，每摸出一个黑球奖励1元的现金，每摸出一个红球奖励2元的现金，每摸出一个白球奖励3元的现金，求奖金数不少于4元的概率； （Ⅱ）当购买金额超过500元时，可从箱子中摸两次，每次摸出1个小球后，放回再摸一次，每摸出一个黑球和白球一样奖励5元的现金，每摸出一个红球奖励10元的现金，求奖金数小于20元的概率. 试题解析：(Ⅰ) 3个黑球依次为黑1,黑2,黑3,2个红球依次为红1,红2,白球为白,从箱子中一次性摸出 ，2个小球的基本事件为(黑1黑2),(黑1黑3),(黑2黑3),(黑1红1),(黑1红2),(黑2红1),（黑2红2） （黑3红1），（黑3红2），（红1红2），（黑1白），（黑2白），（黑3白），（红1白），(红2白)基本事件总数 为15， 奖金数恰好为4元基本事件为（红1红2），（黑1白），（黑2白），（黑3白），其基本事件数为4，记为事件A， 4. 15奖金数恰好为5元基本事件为（红1白），（红2白），其基本事件数为2，记为事件B，奖金数恰好为5元的 奖金数恰好为4元的概率PA概率PB2. 154262. 1515155（Ⅱ） 3个黑球依次为黑1，黑2，黑3， 2个红球依次为红1，红2，从箱子中摸两次，每次摸出1个小 奖金数恰好不少于4元的概率P1PAPB球后，放回再摸一次的基本事件为 （黑1黑1）（黑1黑2），（黑1黑3），（黑1红1），（黑1红2），（黑1白）， （黑2黑1）（黑2黑2），（黑2黑3），（黑2红1），（黑2红2），（黑2白）， （黑3黑1）（黑3黑2），（黑3黑3），（黑3红1），（黑3红2），（黑3白）， （红1黑1）（红1黑2），（红1黑3）， （红1红1），（红1红2），（红1白）， （红2黑1）（红2黑2），（红2黑3），（红2红1），（红2红2），（红2白）， （白黑1）（白黑2），（白黑3），（白红1），（白红2），（白白）， 基本事件总数为36，奖金数最高为20元，奖金数恰好为20元的基本事件为（红1红1），（红1红2），（红2红1），（红2红2），基本事件总数为4, 41, 36918奖金数小于20元的概率P1PC1. 399设奖金数20元的事件为C,则PC 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容