第13讲 函数的零点个数问题的求解方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】

一、方程的根与函数的零点

（1）定义：对于函数yf(x)（xD，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数yf(x)）（xD的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. ） （2）函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点.

（3）零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c(a,b）使得f(c)0，这个c也就是方程的根.

函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0是函数yf(x)在区间(a,b)内至少有一个零点的一个充分不必要条件.

零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法

（1）二分法及步骤

对于在区间[a,b]上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法.

（2）给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0，给定精确度. 第二步：求区间(a,b)的中点x1.

第三步：计算f(x1)：①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)f(x1)0，则

令bx1 （此时零点x0(a,x1)）③若f(x1)f(b)0，则令ax1（此时零点x0(x1,b)）

第四步：判断是否达到精确度即若ab，则得到零点值a或b，否则重复第二至第四步.

三、一元二次方程f(x)axbxc0(a0)的根的分布

讨论一元二次方程f(x)axbxc0(a0)的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组：

（1）a的符号； （2）对称轴x区间端点的函数值的符号.

四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结

函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】

方法一 使用情景 解题步骤

【例1 】已知函数f(x)=3x+2(1-a)x-a(a+2)区间(1,1)内有零点，求实数a的取值范围.

222b的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的2a方程法 方程可以直接解出来. 先解方程，再求解.

【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.

【反馈检测1】函数f(x)(x1)cosx2在区间[0,4]上的零点个数是（ ）

A．4 B．5 C．6 D． 7

方法二 使用情景 解题步骤 【例2】（2017全国高考新课标I理科数学）已知函数f(x)ae（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

2x图像法 一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像. 先求函数的单调性，再画图分析. 学科@网 (a2)exx.

(2) ①若a0,由（1）知f(x)至多有一个零点.

②若a0，由（1）知当xlna时，f(x)取得最小值，f(lna)1（i）当a1时，f(lna)=0，故f(x)只有一个零点. （ii）当a(1,)时，由于1（iii）当a时，1（0,1）1lna. a1lna>0，即f(lna)0，故f(x)没有零点. a1lna0，即f(lna)0. af(2)ae4(a2)e222e220,故f(x)在(,lna)只有一个零点.

3设正整数n0满足n0ln(1),则f(n0)en0(aen0a2)n0en0n02n0n00a3由于ln(1)lna,因此f(x)在（-lna,+)有一个零点.

a综上所述，a的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1

问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当时，要先判断(,lna)的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，f(lna)0，a（0,1）还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是

f(2)ae4(a2)e222e220,要说明f(2)0，这里利用了放缩法，丢掉

了ae4ae2.(3) 当a时，要判断(lna,)上的零点个数，也是在考查函数的零点（0,1）定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是n0ln(1)，再放缩证明f(n0)>0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.

【例3】已知x3是函数fxaln1xx210x的一个极值点. （Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数fx的单调区间；

（Ⅲ）若直线yb与函数yfx的图象有3个交点，求b的取值范围.

3a

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，fx在1,1内单调增加，在1,3内单调减少，在3,上单调增加，且当x1或x3时，f'x0

所以fx的极大值为f116ln29，极小值为f332ln221 因此f16162101616ln29f1

fe21321121f3

所以在fx的三个单调区间1,1,1,3,3,直线yb有yfx的图象各有一

个交点，当且仅当f3bf1，因此，b的取值范围为32ln221,16ln29

【点评】本题第(3)问，由于函数f(x)中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.

ex【反馈检测2】已知函数f(x)，其中a为实数，常数e2.71821ax(1) 若x.

1是函数f(x)的一个极值点，求a的值； 3(2) 当a4时，求函数f(x)的单调区间；

(3) 当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程f(x)m有三个实数根，求a的取值范围. 方法三 使用情景 方程图像法 函数比较复杂，不容易求函数的单调性. 先令f(x)0,重新构造方程g(x)h(x),再画函数yg(x),yh(x)的图像分析解题步骤 解答. 【例4】函数fxlgxcosx的零点有 （ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个

4y y=lgxoy=cosx510152x 20252【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程f(x)lgxcosx0也不好解，直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令fxlgxcosx0,可化为lgxcosx,再在同一直角坐标系下画出

4ylgx和ycosx的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理

解掌握和灵活应用.

【反馈检测3】设函数fx12xmlnx,gxx2m1x,m0． 2（1）求函数fx的单调区间；

（2）当m1时，讨论函数fx与gx图象的交点个数．

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：

函数零点个数问题的求解方法参考答案

【反馈检测1答案】C

【反馈检测2答案】（1）a95115；（2）f(x)的单调增区间是(1,)，(,1)； 522221155（3）a的取值范围是(1,). f(x)的单调减区间是(,)，(,1)，(1,)；

2222(ax22ax1)ex【反馈检测2详细解析】(1)f(x)

(1ax2)211是函数f(x)的一个极值点，所以f()0，

33129即aa10,a. 935959159而当a时，ax22ax1(x22x)(x)(x)，

55953319可验证：x是函数f(x)的一个极值点.因此a.

35因为x(4x28x1)ex(2) 当a4时，f(x) 22(14x)令f(x)0得4x28x10，解得x1所以当x变化时，f(x)、f(x)的变化是

15，而x.

22

x f(x) 1(,) 2 15 (,1)2215 2(151 ,)2215 (,1)2215 2(15,) 2 0 极小值   0 极大值  f(x) 因此f(x)的单调增区间是(115115,)，(,1)；f(x)的单调减区间是(,)，

22222155(,1)，(1,)； 222【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是科@网

m,, 单调递减区间是0,m；（2）1．学

xmxm【反馈检测3详细解析】（1）函数fx的定义域为0,,f'x．

x当0x当xm时，f'x0,函数fx单调递减，

m时，f'x0函数fx单调递增，

综上，函数fx的单调递增区间是

m,, 单调递减区间是0,m．



（2）令Fxfxgx零点个数，F'xx12xmx1mxlnx,0,问题等价于求函数Fx的2x1xm,当

m1时，F'x0，函数Fx为减函数，

综上，函数Fx有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．