四年级奥数第29讲-容斥问题(学)

学科教师辅导讲义

学员编号： 学员姓名： 授课主题 授课类型 教学目标 授课日期及时段 T同步课堂 年 级：四年级 辅导科目：奥数 课 时 数：3 学科教师： 第29讲-容斥问题 P实战演练 S归纳总结 ① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 T（Textbook-Based）——同步课堂 知识梳理 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：ABABAB，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B，即阴影面积． B，即阴影面积． 1．先包含——AB 重叠部分A B计算了2次，多加了1次； 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABCABCABBCACABC．图示如下： 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，1．先包含：ABC 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，典例分析 考点一：两量重叠问题 例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ ACB 例2、对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？ 会游泳的A两项都会的B会打篮球的两项都不会的 例3、在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？ A既采樱桃又采杏的B既没采樱桃又没采杏的 例4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？ 乙A丙B甲 考点二：三量重叠问题 例1、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么， （1） 数学成绩优秀的有几个学生？ （2）有几个人既会游泳，又会滑冰？ 考点三：图形中的重叠问题 例1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？ 例2、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？ 4厘米2厘米图3 例3、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？ A10BC 考点四：容斥原理在数论问题中的应用 例1、在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ AB 考点五：容斥原理中的最值问题 例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练 ➢ 课堂狙击 1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？ 3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 4、在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？ 5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的， 有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？ ➢ 课后反击 1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？ ACB 2、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？ ACB 3、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人． 4、如下图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积． 8646图3 5、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆? 直击赛场 1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？ (Summary-Embedded)——归纳总结 名师点拨 容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 学霸经验 ➢ 本节课我学到了 ➢ 我需要努力的地方是