初一数学第三讲 平面图形及其位置关系(第1 2课时)

第三讲 平面图形及其位置关系

第1——2课时 直线、线段、射线、角

1.掌握平面图形中线段、射线、直线的相同点与不同点，了解“两点确定一条直线、教学目标 两点之间的所有连线中，线段最短”等几何性质。 2.理解角的有关定义、表示方法、会计算角度数和进行简单的换算。 教学重点 1.线段、射线、直线及表示方法。线段的比较及和、差的计算。 2. 角的比较及度数和、差计算。线段中点定义和角平分线定义及其应用。 教学难点 1.会画线段、角。2、用符号表示角。 3、角的单位的简单换算及角的比较。 2.两点确定一条直线、两点之间的所有连线中，线段最短性质应用 3.线段中点定义和角平分线定义及其应用。 教学方法 建议 选材程度及数量 A类 B类 C类 课堂精讲例题 （2）道 （3）道 （2）道 搭配课堂训练题 （5）道 （4）道 （3）道 课后作业 （5）道 （4）道 （3）道 启发式教学，精讲多练，在应用中渗透数学思想方法，讲练结合提高能力。 一、知识梳理

1.线段的定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点. 2.两点之间线段的长度，叫两点之间的距离。 两点之间所有连线中，线段最短。 3.射线的特点：射线只有一个端点,另一边可以无限延伸的。不可测量长度和比较大小。

4.直线性质：经过两点有且只有一条直线。（直线特点是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度，无端点）

5.线段、射线、直线的表示方法

①一条线段可用表示两个端点的大写字母来表示，如线段AB或BA．或一个小写字母表示。 ②一条射线可用端点和射钱上的另一点表示，规定把表示端点的字母写在前面．

③一条直线可用两个大写字母表示，这两个大写字母代表直线上的两个点，如直线AB或BA;另外直线还可用一个小写字母表示

6.线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点

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点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。这时AM＝BM＝

1AB 2

7.角的定义（一）：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。角通常有四种表示方法：

（1）角可以用三个字母及符号“∠”表示，其中表示顶点的字母写在中间。 （2）角可以用一个数字和符号“∠”表示。

（3）角可以用希腊字母（α、β、γ）和符号“∠”表示。

（4）如果一个角的顶点上只有一个角，那么也可以用这个顶点字母和符号“∠”表示。 角的定义（二）：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。

8.角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

9.角的度数的换算：1°＝60′，1′＝60″。 10.基本性质

(1)经过两点有且只有一条直线．（两点确定一条直线） (2)两点之间，线段最短．

二、课堂精讲例题

例1定义的理解及其辨析 1.下列说法不正确的是( ) . A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.射线AB与射线BA是同一条射线 C.线段AB与线段BA是同一条线段

D.线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点 【难度分级】A 【试题来源】经典试题

【解析】掌握线段、射线、直线的区别和联系，及其各自特点、表示方法。一条射线可用端点和射钱上的另一点表示，规定把表示端点的字母写在前面．所以不正确的是( B ) .

2.如图所示，A、B、C、D四个图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是（ ）

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【难度分级】B 【试题来源】经典试题

【解析】由线段、射线、直线的特点可以分析出直线特点是两端都没有端点、可以向两端无限延伸；射线是有一个端点,另一边可以无限延伸的；线段是有限长度, 不能无限延伸，可以测量。所以得出结论为（C） 例2线段中点的理解及其应用

例1.已知线段AD＝6cm，BD＝2cm，C是线段AD的中点，AD、BD在一条直线上，求BC的长度。

【难度分级】B 【试题来源】经典试题

1

【解析】从图（1）知：因为AD＝6cm，C是线段AD的中点，所以CD＝ AD＝3

2

又BD＝2cm，所以BC＝CD－BD＝3－2＝1（cm）

1

从图（2）知：因为AD＝6cm，C是线段AD的中点，所以CD＝ AD＝3（cm）

2又BD＝2cm，所以BC＝CD＋BD＝3＋2＝5（cm）所以BC=1（cm）或5（cm） 易错点：学生易错点是分析两条线段关系时没有考虑两种情况，只想到一种情况。

【方法归纳】：两条线段有公共点，在没有明确它们的位置关系时，可能一条线段在另一条线段上，还可能两条线段合成一条新线段。所有要根据题意分类讨论两种情况下BC的长度。 例3角的表示、计算

1. 如图,AOB为一直线，OC、OD、OE是射线，则图中大于0° 小于180°的角有__________个. 【难度分级】A 【试题来源】经典试题

【解析】按照找线段的方法，以一条射线为边，找出所有的角，再依次

以下一条射线为边，直至找全所有的角。以AO为边的有∠AOE, ∠AOD, ∠AOC, 以OE为边的有∠OED, ∠EOC, ∠EOB;以OD为边的有∠DOC, ∠DOB; 以OC为边的有∠OCB.所以一共有9个角。 2.两角差是36°，且它们的度数比是3∶2，则这两角的和是多少？ 【难度分级】B

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【试题来源】经典试题

【解析】解法一：设这两角度数分别为(3x)°和(2x)°，则根据题意列方程为： (3x)°－ (2x)°=36° 解方程得x=36° ∴3x+2x=180°

32解法二：设这两个角的度数和为x°，则这两个角分别 （ x)°和（ x）°，

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根据题意列方程为：（ x)°－（ x）°=36° 解方程x=180°∴这两角的和是180° 55 【针对性训练A级】 1.读句画图:

如图所示，已知平面上四个点

（1）画直线AB；（2）画线段AC；（3）画射线AD、DC、CB； （4）如图，指出图中有_____条线段，有___ 条射线，

并写出其中能用图中字母表示的线段和射线 . 2.在直线AB上，有AB=5 cm，BC=3 cm，求AC的长. 3.如图，点C分AB为2∶3,点D分AB为1∶4，若AB为10 cm,则AC=_______cm,BD=_______cm,CD=_______cm.

4.如图6，∠AOB为平角，且∠AOC=A.100° B.135°

1∠BOC，则∠BOC的度数是（ ） 2C.120° D.60°

5.计算(1)57.32°=___度_____分____秒. (2)27°14′24″= _ _度. 例4角的平分线定义及其应用

如图二－10.∠AOB=35°40＇，∠BOC=50°30＇，∠COD=21°18＇，OE平分∠AOD， 则∠BOE= ° ＇ 【难度分级】C 【试题来源】经典试题

【解析】因为∠AOB=35°40＇，∠BOC=50°30＇，∠COD=21°18＇，所以它们的和∠AOD为106°88＇，OE平分∠AOD，所以∠AOE=53°44＇，

∠BOE=∠AOE－∠BOA=53°44＇－35°40＇=18°4＇.答案18°4＇

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方法点拨：利用图形中的角的位置关系，求出已知角的和差，再利用角的平分线定义求出角的大小。 【针对性训练B级】

1.如图二－4，AB的长为m，BC的长为n，M、N分别是AB，BC的中点，则MN=_____

2.如图二－2，用“＞”、“＜”或“＝”连接下列各式，并说明理由．AB＋BC_____AC， AC＋BC_____AB， BC_____AB＋AC，理由是__________

3.如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东60°的是( )

4.如图4，直线AB、CD相交于O，∠COE是直角，∠1=57°，则∠2=____.

例5角的平分线定义及规律探究

如上图1―4－5所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120° ，OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC，．（1）求∠EOF的大小；

（2）当OB绕O旋转任意角度时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线，问：∠EOF的大小发生变化吗？你能否用一句话概括出这个命题． 【难度分级】C 【试题来源】经典试题

【解析】(1)由于AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120°，所以∠COB＝60°又因为OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC，所以，∠FOB=∠FOC=∠AOE=∠BOE=

1∠BOC=30°; 21∠AOB=60°,所以∠EOF=∠EOB+∠BOF=60°+30°=90° 2- 51 -

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(2)当OB绕O旋转任意角度时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线，则∠FOB=

1∠BOC， 21∠AOB，而∠AOB+∠BOC=180°， 211所以∠EOF=∠EOB+∠BOF=（∠BOC+∠AOB）=×180°=90°

22∠BOE=

AC为一条直线，O是AC上一点，无论∠AOB和∠BOC的角度怎样变化，它们的角平分线所夹的角度始终为90°。 【针对性训练C级】

1.5点20分时，时钟的时针和分针的夹角为（ ） A．30°B．40°C．45°D．50°

2.如下左图，已知∠AOC=∠BOD=75°，∠BOC=30°，求∠AOD.

3.如上右图，已知O是直线AB上的点，

OD是∠AOC的平分线， OE是∠COB的平分线，求∠DOE的度数.

专题检测

【专题针对性训练A级】

1.用一个钉子把一根细木条钉在墙上，木条就可能绕着钉子______原因是____ _；当用两个钉子把木条钉在墙上时，木条就被固定住，其依据是___________________

2.在同一个班上学的小明、小伟、小红三位同学住在A、B、C三个住宅区，如图所示，A、B、C三点共线，

且AB=60米，BC=100米，他们打算合租一辆接送车去上学，由于车位紧张，准备在此之间只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点的位置应该设在_________。

3.时间为三点半时，钟表时针和分针所成的角为______，

由2点到7点半，时针转过的角度为______.

4.计算：48°39′+67°41′=_________；90°－78°19′40″=________

5.一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么 ∠ABC的度数是( )

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A.75° B.105° C.45° D.135° 【专题针对性训练B级】

1.同一平面内互不重合的三条直线的公共点的个数是( )

A.可能是0个，1个，2个 B.可能是0个，2个，3个 C.可能是0个，1个，2个或3个 D.可能是1个可3个

2.给你一张长方形纸片，不准使用其它工具，你能折出22.5°的角吗?亲手做一做,再和你的同学比一比. 3．如图，点O在直线AC上，画出∠COB的平分线OD。若∠AOB＝55°，求∠AOD的度数。

4.在直线l上任取一点A，截取AB=16 cm，再截取AC=40 cm，求AB的中点D与AC的中点E之间的距离. 【专题针对性训练C级】

1.如下左图，BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，如果∠DBC=∠ECB，那么∠ABC=∠ACB吗？说明理由。 .

2.如上右图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=70°，∠COE=40°,求∠BOD的度数。

3.如图，数一数以O为顶点且小于180º的角一共有多少个？你能得到解这类问题的一般方法吗？

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针对性训练及专题检测答案

【针对性训练A级】

1.略 2. (1)2cm 或8cm 3.4cm， 8 cm， 2cm 4.C 5.57°19′12″，27.24° 【针对性训练B级】 1.

1(mn) 2.＞、＞、＜、两点之间线段最短 3.B. 4. 33° 2【针对性训练C级】1.B 2. 120°3. 90° 【专题针对性训练A级】

1.旋转 过一点可以作无数条直线 两点确定一条直线 2. B 3、75° 165° 4.116°20′ ⑵11°40′20″ 5.C

【专题针对性训练B级】

1.C 2.可以折出，做法略 3.117.5° 4.12cm或28cm 【专题针对性训练C级】

1. ∠ABC=∠ACB，理由由角平分线定义可以得出。 2.55° 3.7+6+5+4+3+2+1=

7(17)=28条 。 2(n1)n个 2一般地如果∠MOG小于180，且图中一共有n条射线时，则小于180º的角一共有： （n－1）＋（n－2）＋……＋2＋1＝

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