江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学(理)(含答案)

理科数学

本试卷共4页，23小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：

1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M{x|x30},N{x|y2x}，则(ðRM)IN等于 x1A.(1，2] B.[1，2] C. (2，3] D.[2，3] 2.复数z满足

1i1i，则|z| zA.2i B.2 C.i D.1

3.已知平面α内一条直线l及平面β，则“l⊥β”是“α⊥β”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.等比数列{an}中，若a1a5＝aman，则mn不可能为 ．．．A.5 B.6 C.8 D.9

5.已知一组样本数据点x1,y1,x2,y2,x3,y3,,x6,y6，用最小二乘法得到其线性回归方程为

$y2x4，若数据x1,x2,x3,,x6的平均数为1，则y1y2y3y6等于

A.10 B.12 C.13 D.14

uuuuruuuruuur6.在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1，2)，N(1，0)，动点P满足|PMON||PN|，则动点P

的轨迹方程是

A.y2＝4x B.x2＝4y C.y2＝－4x D.x2＝－4y

xy20,7.已知二元一次不等式组xy20表示的平面区域为D，命题p：点(0，1)在区域D内；命题

x2y20q：点(1，1)在区域D内，则下列命题中，真命题是

A.pq B.p(q) C.(p)q D.(p)(q)

uuuuruuur8.已知△ABC的垂心为H，且AB＝3，AC＝5，M是BC的中点，则HMBC

A.5 B.6 C.7 D.8

22xy9.圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两点到双曲线221(a0,b0)的一条渐近线的距离

ab为1，则该双曲线离心率的取值范围是

A.(2,5) B.(,) C.(,) D.(5,21) 10.已知正实数a，b，c满足：()log2a, ()log2b, clog1c，则

25532554212a13bA.a11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机。二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)10＝1×29＋0×28＋0×27＋0×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝(10000001001)2。我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：7×7＝61，7×6＝52，7×5＝43，˙˙˙，请类比二进制与十进制转化的运算，数(1010011100)2对应八进制数为

A.(446)8 B.(1134)8 C.(1234)8 D.(4321)8

12.函数f(x)(xax)eaxa(e为自然对数的底数，aR，a为常数)有三个不同零点，则a的取值范围是

2x2A.(,0) B.(,0) C.(,) D.(0,) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.(2x)展开式中的常数项为 。

14.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2x)f(x)0，f(0)3，则f(10)等于

15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a2＝1，SnSn22Sn12(n3)，则a3的值为 16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，A1B，C1B，垂直于棱AA1的截面分别与面对角线A1D，C1D相交于点E，F，G，H，则四棱锥A1－EFGH体积的最大值为 。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分.

17.(12分)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c23，2sin(2C)3。 (Ⅰ)若边a22，求角A； (Ⅱ)求△ABC面积的最大值。

18.(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝120°，AB＝AC＝2，AA1＝3， E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1F＝3FE。

1e1e1x6π3

(Ⅰ)证明：AF⊥平面A1BC；

(Ⅱ)求二面角B－A1E－B1余弦值的大小。

19.(12分)某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金(奖金额3000元)、专业二等奖学金(奖金额1500元)及专业三等奖学金(奖金额600元)，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次。图(1)是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频

率分布直方图，图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图。

(Ⅰ)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；

(Ⅱ)若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列2×2联表并判断是否有99.9％的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？ (Ⅲ)若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望。

n(adbc)2K(ab)(cb)(dc)(ad)2

P(kk0) k0 0.01 2.71 0.05 0.010 3.84 6.64 0.005 7.88 0.001 10.83 x2y220.(12分)已知椭圆E：221(ab0)四个顶点中的三个是边长为23的等边三角形的顶点。

ab(Ⅰ)求椭圆E的方程；

2b2(Ⅱ)设直线y＝kx＋m与圆O：xyN， 相切且交椭圆E于两点M，求线段|MN|的最大值。

322eaxx2ln(x1)(e为自然对数的底数，a为常数，且a0) 21.(12分)已知函数f(x)a(Ⅰ)若函数在x＝1处的切线与直线ex－y＝0平行，求a的值； (Ⅱ)若f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，求a的取值范围。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x2cos，([0,2)，α为参数)，在同一平面直

y2sin角坐标系中，经过伸缩变换x'2x，得到曲线C1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建

y'y立极坐标系(为极径，θ为极角)。

(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程和曲线C1的极坐标方程；

(Ⅱ)若射线OA：0与曲线C1交于点A，射线OB：B，求

20与曲线C1交于点

1OA21OB2的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

a21||x1|(a0)，g(x)4|x1|。 已知函数f(x)|xa(Ⅰ)当a＝1时，求不等式fx3的解集；

(Ⅱ)若关于x的不等式fxgx的解集包含[1，2]，求a的取值集合。