2018北京市海淀区高三数学(文科)(上)期末

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1） 已知i是虚数单位,若i(ai)1i，则实数a的值为 (A) （B） （2） 已知a,bR，若ab，则

(A) a2b

（B） abb

2（C）

1212（D）

（C）ab （D）a3b3

开始a = 1 , k = 1 是（3） 执行如图所示的程序框图，输出的k值为

（A）4 （B） 5 (C) 6 （D）7

共8道题) :

甲班 x 5 5 2 3 4 乙班 a > 10 否a = 2a k = k +1 输出 k结束（4） 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5个同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位:分，每道题5分，

0 y 0 5 0 0 0 已知两组数据的平均数相等，则x,y的值分别为 （A） 0，0

（B） 0，5

22（C） 5，0 （D）5，5

（5）已知直线xym0与圆O:xy1相交于A,B两点，且OAB为正三角形，则实数m的值为

333666- （A）

2 （B）2 （C）2或2 （D）2或2（6） 设aR,则“a1”是 “直线axy10与直线xay10平行”的

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

1

（7） 在ABC中，ABAC1，D是AC边的中点，则BDCD的取值范围是

(A) (,)

3144 (B) (,) （C）(,+) （D）(，)

14341344（8）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M,N分别是棱BC、C1D1的中点，点P在平面A1B1C1D1内，点

Q在线段A1N上. 若PM5，则PQ长度的最小值为

(A) 21 （B）2 （C）351 （D）35

55第二部分（非选择题，共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知双曲线ax2y21的一条渐近线方程为yx，则实数a的值为 .

y0,（10）若变量x,y满足约束条件xy10,则zxy的最大值是 . x2y20,（11）在ABC中，a1，b7，且ABC的面积为3，则c . 2（12） 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的值是 .

2x,x0,（13）函数f(x)的最大值为 ；若函数f(x)的图象

x(2x),x0与直线

1222222主视图左视图yk(x1)有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是 .

（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在A，B，C三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 甲 乙 丙

2

俯视图1 C C B 2 C C C 3 A B C 4 B B B 5 B C B 得分 4 3 2 则甲同学答错的题目的题号是 ；此正确的选项是 . 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15） （本小题13分）

已知等差数列an的前n项和为Sn，且a25，S3a7． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若ban2n，求数列anbn的前n项和．

（16） （本小题13分）

已知函数f(x)cos2xtan(x4).

（Ⅰ）求函数f(x)的定义域； （Ⅱ）求函数f(x)的值域.

3

（17） （本小题13分）

据中国日报网报道，2017年11月13日，TOP500发布了最新一期全球超级计算机500强榜单，中国超算在前五名中占据两席. 其中，超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产处理器. 为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是MIPS） ．．．．．．．．

测试1 品牌A 品牌B 3 2 测试2 6 8 测试3 9 5 测试4 10 4 测试5 4 2 测试6 1 5 测试7 12 8 测试8 17 15 测试9 4 5 测试10 6 12 测试11 6 10 测试12 14 21 设ai、bi分别表示第i次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记Xiaibi（i1,2,...,12） （Ⅰ）求数据X1,X2,X3,...X12的众数；

（Ⅱ）从满足Xi4的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果的概率； （Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件.请你根据表中数，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.

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（18） （本小题14分）

如图，三棱柱ABCA1B1C1中， 侧面ABB1A1底面ABC，ACAB，

ACABAA12，AA1B1600，

E,F分别为棱A1B1,BC的中点.

（Ⅰ）求证：ACAE；

（Ⅱ）求三棱柱ABCA1B1C1的体积；

（Ⅲ）在直线AA1上是否存在一点P，使得CP//平面AEF. 若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由.

5

19. （本小题14分）

x2y21，直线l:xy20与椭圆C相交于P，Q 两点，与x轴交于点B，点P,Q已知椭圆C:3mm与点B不重合. （Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）当SOPQ2时，求椭圆C的方程；

（Ⅲ）过原点O作直线l的垂线，垂足为N.若PNBQ，求的值.

6

20. （本小题13分）

已知函数f(x)(x1)eax.

（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

（Ⅱ）求证：“a0”是“函数f(x)有且只有一个零点”的充分不必要条件.

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x2数学试题答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 选项 1 A 2 D 3 B 4 B 5 D 6 C 7 A 8 C 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)

9. 1 10. 2 11. 2或 23 （答对一个给3分） 12.

3 13. 1 [0,) 14. 5 A 2三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15．（本题共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列an的首项为a1，公差为d.

a1d5，解得3aa13，d2 13da16d 由ana1(n1)d，则an2n1 因此，通项公式为an2n1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：an2n1，则bn22n1 b1)1n1b22(n2n14 因为b1238， n2所以bn是首项为8，公比为q4的等比数列. 记anbn的前n项和为Tn，则

Tn(a1b1)(a2b2)(anbn)

(a1a2an)(b1b2bn)

n(a1an)2b1(1qn)1q n22n8(4n1)3 16（本题共13分） 解：（Ⅰ）x4k2，kZ 8

------------------------3分 ------------------------5分 ------------------------6分

------------------------7分 ------------------------11分 ---------------------13分

------------------------2分 解得：xk3，kZ 43所以，函数的定义域为x|xk,kZ ------------------------4分

4注：不写kZ扣1分，只扣一次；（Ⅰ）（Ⅱ）结果有一个写了集合符号，不扣分，都没写集合

符号，统一扣1分.

（Ⅱ）f(x)cos2xtan(x)

4tanx122 (co ------------------------8分 sxsinx)1tanxsinxcoxs (coxssin ------------------------9分 x)(coxssinx)coxssinxssinx)2 (cox 2sinxcoxs1 ------------------------10分

sin2x1 ------------------------11分

33因为xk,kZ，所以2xk,kZ，

42所以sin2x1，

所以，函数f(x)的值域为(2,0]. - -----------------------13分 注：结果写成[2,0]扣两分. 17. （本题共13分） 解：（Ⅰ） X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 1 2 4 6 2 4 4 2 1 6 4 7 所以Xi等于1有2次， Xi=2有3次，Xi=4有4次，Xi=6有2次，Xi=7有1次， 则数据X1,X2,X3...X12的众数为4 ------------------------5分 （Ⅱ）设事件D=“品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果”.--------------6分

满足Xi4的测试共有4次，其中品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M，N表示.品牌A的测试结果小于品牌B的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P，Q表示. 从中随机抽取两次，共有MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ六种情况，其中事件D发生，指的是MP,MQ,NP,NQ四种情况.

故P(D)42. ------------------------10分 63（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.

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给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.

标准1: 分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述

标准2：会用测试结果的平均数进行阐述

------------------------13分

标准1: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B

的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）

标准2: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的

测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）

标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测

试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）

标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结

果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）

标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述

（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）

标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品

牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）

标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次

测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）

标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐

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述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2. 故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）

参考数据 期望 品牌A 品牌B 品牌A与品牌B

方差 品牌A 品牌B 品牌A与品牌B

18. （本题共14分）

（Ⅰ）证明：三棱柱ABCA1B1C1中， 侧面ABB1A1底面ABC，ACAB， 又因为侧面ABB1A1I底面ABCAB，

AC底面ABC，

前6次 5.50 4.33 4.92 后6次 9.83 11.83 10.83 12次 7.67 8.08 前6次 12.30 5.07 8.27 后6次 27.37 31.77 27.97 12次 23.15 32.08 所以AC平面ABB1A1， -----------------------3分 又因为AE平面ABB1A1，

所以ACAE； ------------------------4分 （Ⅱ）解：连接AB1 ,因为三棱柱ABCA1B1C1中，所以A1B1AB. 因为ABAA12，所以A1B1AA12.又因为AA1B1600，

所以△AA1B1是边长为2的正三角形.因为E是棱A1B1的中点，所以AEA1B1，AE3. 又因为AEAC，A1C1//AC，所以AEA1C1. 因为AC11IA1B1A1，A1C1,A1B1底面A1B1C1，

所以AE底面A1B1C1. ------------------------6分

11

所以三棱柱ABCA1B1C1的体积为

VSA1B1C1AE11A1B1ACAE22323； …………………………8分 1122注：证明高得1分，计算高的数值为3得1分，面积值为2得1分，体积值为23得1分 （Ⅲ）在直线AA1上存在点P，使得CP//平面AEF. ------------------------9分 证明如下：连接BE并延长，与AA1的延长线相交，设交点为P.连接CP. 因为BB1//AA1，故

EA1A1PEP EB1BB1EB由于E为棱A1B1的中点，所以EA1EB1， 故有PEEB 又F为棱BC的中点，连接EF，

故EF为BCP的中位线，所以EF//CP. ------------------------11分 又EF平面AEF，CP平面AEF，

所以CP//平面AEF. ------------------------13分 故在直线AA1上存在点P，使得CP//平面AEF.

此时A1PBB12，AP2AA14. -------------------------14分

C1C

F

B1

B

E

A1AP

注：证明线线平行2分，证明线面平行2分，下结论说明点P的存在1分，AP的长度1分

19. （本题共14分）

解：（Ⅰ）a23m，b2m，c22m， ------------------------2分

c226e2，故e. ------------------------4分

3a32（Ⅱ）设Px1,y1，Qx2,y2

12

x23y23m，得到4x2-12x123m0， xy20依题意，由(12)244(123m)0得m1.

x1x23 且有123m， ------------------------6分

x1x24PQ1k2|x1x2|29123m6m1， ------------------------7分

原点到直线l的距离d2 ------------------------8分

11|PQ|d6m122 ------------------------9分

227解得 m>1，

3所以SOPQx23y21. ------------------------10分 故椭圆方程为77（Ⅲ）直线l的垂线为ON:yx， ------------------------11分

yx由解得交点N(1,1)， ------------------------12分

xy20因为PNBQ，又x1x23所以PNBQ

=

x11x222x2x221，故的值为1. ------------------------14分

20. （本题共13分）

解：（Ⅰ）依题意，fxxex2ax,xR -----------------------------1分 所以切线的斜率kf00

又因为f01， -----------------------------2分 所以切线方程为 . -----------------------------3分

（Ⅱ）先证不必要性. 当a0时，fxx1ex，

令fx0，解得x1. -----------------------------4分 此时，fx有且只有一个零点，故“fx有且只有一个零点则a0”不成立.

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-----------------------------5分 再证充分性. 方法一：

x当a0时，fxxe2a.

令fx0，解得x10,x2ln2a. -----------------------------6分

1x（i）当ln2a0，即a时，fxxe10，

2所以fx在R上单调增. 又

f010,f2e220，

所以fx有且只有一个零点. -----------------------------7分

1（ii）当ln2a0，即a0时，

2fx，fx随x的变化情况如下:

x ,ln2a  ln2a 0 ln2a,0  0 0 0,  fx fx 极大值 极小值 -----------------------------8分 当x0时，x1ex0，ax20，所以fx0 -----------------------------9分 又f2e24ae220

所以fx有且只有一个零点. -----------------------------10分 （说明：如果学生直接写出x时fx0，要扣1分）

1（iii）当ln2a0，即a时，fx，fx随x的变化情况如下:

2x 0 ,0 0,ln2a ln2a ln2a, fx fx  0 极大值  0 极小值  -----------------------------11分 因为f010，所以x(,ln(2a)]时，fx0 -----------------------------12分

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令x01a，则x01. 下面证明当x1时，exx2.

x2x(2x)设g(x)x(x1)，则g'(x). xee（1,2）当x(1,2)时，g'(x)0,g(x)在上单调递增； （2,）当x(2,+)时，g'(x)0,g(x)在上单调递减 所以当x=2时，g(x)取得极大值g(2)所以当x1时，g(x)1, 即x2ex. 所以f(x0)aex0ax02a(x02ex0)0.

由零点存在定理，fx有且只有一个零点.

综上，a0是函数fx有且只有一个零点的充分不必要条件. -----------------------------13分

（说明：如果学生写出下面过程，f010，x时fx0，fx有且只有一个零点.要扣1分）

方法二：

当a0时，注意到x0时，x1ex0，ax20，fx0，

因此只需要考察0,上的函数零点. -----------------------------7分

41. 2e1（i）当ln2a0，即a0时，x0,时，fx0，

2fx单调递增. -----------------------------8分 又f1a0,f(2)e24ae220

fx有且只有一个零点. -----------------------------10分 1（ii）当ln2a0，即a时，以下同方法一.

2方法三：

令f(x)0，显然0不是该方程的根，

(x1)ex(x1)exxex(x22x2)所以a.设h(x). (x0),则h'(x)224xxx当x0时，h'(x)0,h(x)在(,0)上单调减；当x0时，h'(x)0,h(x)在(0,)上单调递增.又

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x1,x0时，h(x)0,x1时，h(x)0.

令x01a，则x01. 下面证明当x1时，exx2.

x2x(2x)设g(x)x(x1)，则g'(x).

eex（1,2）当x(1,2)时，g'(x)0,g(x)在上单调递增； （2,）当x(2,+)时，g'(x)0,g(x)在上单调递减 所以当x=2时，g(x)取得极大值g(2)所以当x1时，g(x)1, 即x2ex.

aex0所以h(x0)a. 2x041. e2所以当a0时，直线ya与函数yh(x)的图象有且只有一个交点， 即当a0时，函数f(x)有且只有一个零点.

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