数学建模

解： 设贷出的年利率为x，于是贷出的款额为K/ x2，K 〉0为常数，商行可以获得利润

kk0.05k22xxxk0.10k由 L'(x)0 得 -203xx所以 x0.10 L(x0.05)

故 x=0.1是个极大值点，且P（x）仅有一个极值点。所以x=0.1时获利最大。 实际上，

当 x=0.08时， L=4.6875K x=0.10时， L=5K x=0.15时， L=4.44K

7 一个银行的统计资料表明，存放在银行中的总存款量正比于银行付给存户利率的平方. 现在假设银行可以用12%的利率再投资这笔钱. 问为得到最大利润, 银行所支付给存户的利率应定为多少?

解 假设银行支付给存户的年利率是r,(00, 为比例系数)

把这笔钱以12%的年利率贷出一年后可得款额为 (1+0.12)A, 而银行支付给存户的款额为(1+r)A, 银行获利为

L(r) = (1 + 0.12)A - (1+ r)A

= (0.12 - r)A = (0.12 - r)k r2

又 L''(0.1)k(2000-3000)0

所以 r=0.08, r=0 (舍去)

当 r<0.08时，L’ ( r ) >0, 当 r>0.08时，L’ ( r)<0,

且 r = 0.08 是 (0,1) 中唯一的极值点

故取8% 的年利率付给存户银行可获得者大利润.

dpk(0.24r3r2)0dr

9飞机的降落曲线

在研究飞机的自动着陆系统时,技术人员需要分析飞机的降落曲线.根据经验,一架水平飞行的飞机,其降落曲线是一条三次抛物线,已知飞机的飞行高度为h，飞机的着陆点为原点O，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过度。

（1）若飞机从xx0处开始下降，试确定出飞机的降落曲线。 （2）求开始下降点x0所能允许的最小值。

参数：u=540千米/小时 h=1100m x0=15000m

y u g，此处g是重力加速10h 解：设飞机开始降落时，距离落点的水平距离为l（km），机高

为h(m)（机场的地面高度取作0）。飞机开始降落和着陆时，都保持水平飞行姿态。

1.可以用不同的函数来模拟飞机的降落曲线。由于有

的初始假定，可以得到4个蕴涵的初始条件，如下： ①：在整个降落过程中，飞机的水平速度保持不变； ②：f（0）=0，f＇（0）=0； ③：f（l）=h，f＇（l）=0；

4个隐藏的假定条

件，因此我采用三次抛物线（方程假设如下）来模拟飞机的降落曲线，则由上面

④：在竖直方向的加速度的绝对值不能超过一个常数K=g/10（K远小于重力加速度）。

2、假设飞机降落曲线的三次抛物线方程为：

根据②③上述所得到的已知条件求出方程中的四个待定系数a，b，c，d，即在Mathmatica运行环境下输入如下公式： 输入：f = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d

D[f, x]

输出：

即为f(x) 即为f’(x)

输入：

运行后得到如下解：

把上述解代入f（x），则运算后即可得到f（x）的表达式如下：

2h33h2 f（x）=-l3x+l2x

3、代入具体数据进行验证并画出飞机的降落曲线

2

假定h=1100m，l= 15km，在Mathmatica运行环境下输入：

运行后即可得到f（x）的图形如下：

4.讨论飞机降落时的铅直加速度

先讨论飞机铅直加速度应满足的条件：

由题意可知水平方向的速度u为一个常数，则令u=dx/dt（常数），这时由复合函数求导法，可求出飞机在点（x，y）处的铅直速度为：

dydydx*uf'(x) dxdxdt我们以vy[x]表示点（x，y）处的铅直速度，即在Mathmatica运行环境下输入：

vy[x]uD[f,x]

6hx6hx2输出： vy[x]u(23)

ll再次利用复合函数求导法，可求得飞机在点（x，y）处的铅直加速度如下：

d2yddyddxuf'x*uuf'x' dtdtdxdt2dt在上述运行环境下，输入如下公式用来表示点（x，y）处的铅直加速度：

6hx6hx2ay[x]u*D[u(23),x]

ll输出： ay[x]u2(6h12hx3) 2ll经过运行后则可得到铅直加速度为：

3

26h12hx6huu233l2x

lll2其中x∈[-l，0]，容易看出铅直加速度的绝对值在开始降落（x=-l）和飞机着陆时（x=0）达到最大，我们在上述运行环境下输入：

即可得到飞机降落竖直方向上铅直加速度的最大值为：

必须不超过0.98m/s2

现在来判断上述所给的已知条件能否满足条件而安全着陆，则由高度h=1100m，水平距离l=15m，水平速度u=540km/h，在Mathmatica运行环境下输入如下：

Solve[6*1100*540^2/15^2,x]

运行后显示结果为：0.1296m/s2

由此可见该最大铅直加速度小于允许值，所以飞机可以安全着陆。

我们可得到飞机降落是的水平位移函数为： x=ut

由此可知，只要求出飞机降落是所用的最小时间即可求出最小水平位移，则要求时间最少，即在竖直方向上飞机一直保持着最大铅直加速度，则可以得到解。 由上述解释可知，飞机在降落的过程中一直保持最大铅直加速度，此时时间最短， 已知h=1100 u=540m，且铅直加速度不超过g/10，则输入：

则经过运行后结果为：

6hu2l2则由此可知，飞机能够安全着陆是水平距离所能允许的最小值为：44315.2m

12 银行复利的计算

一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金（按月计算）？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？ 解：（1）设月利率为r，按月按复利进行计算， 第一个月存款所得的复利终值为F1=100(1r); 第二个月存款所得的复利终值为F2=100(1r)；

4

5960第三个月存款所得的复利终值为F3=100(1r)； ······

第五年的最后一个月存款所得的复利终值为F60=100(1r)。 五年后，养老金为 F=F1+F2+···+F60

6059100[(1r)(1r)``````(1r)] =

58100[(1r)601](1r)60=

r

（2）设五年总共有d天，设每日存入本金p，日利率为R,按日按复利进行计算 第一天存款所得的复利终值为F1=p(1R); 第二天存款所得的复利终值为F2=p(1R)第三天存款所得的复利终值为F3=p(1R)······

第五年的最后一天存款所得的复利终值为Fd=p(1R); 五年后，养老金为 F=F1+F2+···+Fd

d=p(1R)+p(1R)d1d1d; ;

d2+······+p(1R)

p[(1R)d1](1R)d=

R8货币均匀流价值的计算

设某航空公司发展新的航线，需要增加5架波音747客机。如果一次性购入，每架飞机的价格为5000万美金，飞机使用寿命为15年；如果采用租用飞机的方式，每年每架飞机需交纳600万美金的租金，租金以货币均匀流的方式支付。设银行的年利率为12%，试问该公司应该采用购买飞机还是租借飞机的方案。如果银行年利率为6%呢？（按照连续复利计算） 解：购买一架飞机可以使用15年，但需要马上支付5000万美元．而同样租一架飞机使用15年，则需要以均匀货币流方式支付15年租金，年流量为600万美元．两种方案所支付的价值无法直接比较，必须将它们都化为同一时刻的价值才能比较-我们以当前价值为准。购买一架飞机的当前价为5000万美元。

下面计算均匀货币流的当前价值：设t=0时向银行存入

美元，按连续复利计算，t

5

年后的A美元在t=0时的价值为美元，那么，对流量为a的均匀货币流，在[t , t+Δt]

n时所存入的美元，在t=0时的价格是ateaent

由微元法可知，当t从0变到T时，[0,T]周期内均匀流在 t=0时的总价值可表示为

因此，15年的租金在当前的价值为

（万美元）

当r=12%时

（万美元）

比较可知，此时租用客机比购买客机合算。 当r=6%时

（万美元）

此时购买客机比租用客机合算

思考题1．若将两种支付方式都化为15年之后的价值进行比较，应该如何进行计算？ 提示：购买飞机所支付的5000万美元，15年后的价值为P1=5000×

；租飞机所付租

金15年后的价值为P2=当r：12％时：P1=30 248万美元，

P2=25 248万美元．

比较可知，此时租飞机比买飞机好．当r=6％时：P1=12 298万美元，P2=14 596万美元． 比较可知，此时买飞机比租飞机好． 4

6