中考数学模拟试题

1. 关于x的二次函数y＝-x＋(k-4)x＋2k-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方．

(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；

(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；

(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由． 答案：(1)根据题意得：k-4＝0，

∴k＝±2 .

当k＝2时，2k-2＝2＞0, 当k＝－2时，2k-2＝-6＜0.

D1 A1 B2 C1 2

2

2

2

y 又抛物线与y轴的交点在x轴上方, ∴k＝2 .

∴抛物线的解析式为：y＝-x＋2.

C2 B1 x D2 A2 函数的草图如图所示：

(2)令-x＋2＝0，得x＝±2.

第2题图

当0＜x＜2时，A1D1＝2x，A1B1＝-x＋2 ∴l＝2(A1B1＋A1D1)＝-2x＋4x＋4.

当x＞2时，A2D2＝2x,A2B2＝-(-x＋2)＝x-2, ∴l＝2(A2B2＋A2D2)＝2x＋4x-4. ∴l关于x的函数关系式是：

22x＋4x＋4(0＜x＜2) l22x＋4x－4(x＞2)

2

2

2

2

2

2

(3)解法①：当0＜x＜2时，令A1B1＝A1D1,得x＋2x－2＝0. 解得x=-1-3(舍)，或x=-1＋3.

将x=-1＋3代入l=-2x＋4x＋4,得l=83-8, 当x＞2时，A2B2=A2D2

2

2

得x-2x-2=0,

解得x=1-3(舍)，或x=1＋3, 将x=1＋3代入l=2x＋4x-4, 得l=83＋8.

综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋3时，正方形的周长为83-8；当x=1＋3时，正方形的周长为83＋8．

解法②：当0＜x＜2时，同“解法①”可得x=-1＋3, ∴正方形的周长l=4A1D1=8x=83-8 . 当x＞2时，同“解法①”可得x=1＋3, ∴正方形的周长l=4A2D2=8x=83＋8 .

综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋3时，正方形的周长为83－8；当x=1＋3时，正方形的周长为83＋8．

解法③：∵点A在y轴右侧的抛物线上, ∴当x＞0时，且点A的坐标为(x，-x＋2). 令AB＝AD，则x22=2x,

∴-x＋2=2x, ① 或-x＋2=-2x, ② 由①解得x=-1-3(舍)，或x=-1＋3, 由②解得x=1-3(舍)，或x=1＋3. 又l=8x,∴当x=-1＋3时，l=83-8； 当x=1＋3时，l=83＋8.

综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋3时，正方形的周长为83-8；当x=1＋3时，正方形的周长为83＋8．

2．如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。

（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；

（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的

22

2

2

2

函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。

答案：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900

， ∴四边形OBNM为矩形。 ∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900

∵

AMPMAOBO，AO=BO=1， ∴AM=PM。

∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM， ∴OM=PN， ∵∠OPC=900

， ∴∠OPM+CPN=900，

又∵∠OPM+∠POM=900

∴∠CPN=∠POM，

∴△OPM≌△PCN. （2）∵AM=PM=APsin450=

22m， ∴NC=PM=

22m，∴BN=OM=PN=1-22m；

∴BC=BN-NC=1-

22m-22m=12m

（3）△PBC可能为等腰三角形。 ①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1） ②当点C在第四象限，且PB=CB时， 有BN=PN=1-

22m， y x=1 A M P N C O x B 第1题图

∴BC=PB=2PN=2-m，

∴NC=BN+BC=1-2m+2-m， 22m， 2 由⑵知：NC=PM=

∴1-

22m+2-m=m， ∴m=1. 222222m=m=1-，BN=1-， 222222,1-）.

2222,1-）

22 ∴PM=

∴P（

∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（

3.（2010年河南省南阳市中考模拟数学试题）如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax+bx+c经过点A、B, 且18a + c = 0. (1)求抛物线的解析式.

(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.

①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.

②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.

答：（1）设抛物线的解析式为yaxbxc，

由题意知点A（0，-12），所以c12， 又18a+c=0，a22

第3题图

2, 3∵AB∥CD,且AB=6,

∴抛物线的对称轴是x∴b4.

所以抛物线的解析式为y（2）①Sb3. 2a22x4x12. 312t(6t)t26t(t3)29，0t6. 2②当t3时，S取最大值为9。这时点P的坐标（3，-12），点Q坐标（6，-6）. 若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况： （Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，-18）， 将（3，-18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在， 点R的坐标就是（3，－18）；

（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，-6）， 将（3，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件. （Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，-6）， 将（9，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件. 综上所述，点R坐标为（3，-18）.

4．(2010年江西省统一考试样卷)已知二次函数y=x＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.

（1）求这个二次函数的关系式；

（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.

（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？

答案：解：（1）由题意，得1bc0,b0, 解得

c1.1bc0.2

2

∴二次函数的关系式是y=x－1．

（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x． 由y=x，得x－1=x，即x－x－1=0，解得x=2

2

2

2

15． 215． 2 由y=－x，得x－1=－x，即x＋x－1=0，解得x= ∴⊙P的半径为r=|x|=51． 2 （3）设点P坐标为（x，y），∵⊙P的半径为1，

∴当y＝0时，x－1=0，即x＝±1，即⊙P与y轴相切，

又当x＝0时，y＝－1，

∴当y＞0时， ⊙P与y相离；

当－1≤y＜0时， ⊙P与y相交. 5．如图示已知点M的坐标为（4，0），

以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线

2

y12xbxc过A、B两点且与y轴交于点C． 6（1）求点C的坐标并画出抛物线的大致图象 （2）已知点Q（8，m），P为抛物线对称轴上一动点， 求出P点坐标使得PQ+PB值最小，并求出最小值． （3）过C点作⊙M的切线CE，求直线OE的解析式． 答案：（1）将A（2，0）B（6，0）代入y第5题图

12xbxc中 62402bc b

33066bcc214∴yx2x2

63将x=0代入，y=2 ∴C（0，2）

（2）将x=8代入式中，y=2

∴ Q（8，2） 过Q作QK⊥x轴

过对称轴直线x=4作B的对称点A

PB+PQ=QA

在Rt△AQK中，AQ=210

即，PB+PQ=210

PM∥KQ 即△APM∽△AQK ∴PA=2 3P（4，2）

36.如图，在ABC中，∠A90°，BC10, ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点(D不与A、B重合)，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DEx以DE为折线将△ADE翻折，所得的A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.

（1）．用x表示∆ADE的面积;

（2）．求出0﹤x≤5时y与x的函数关系式； （3）．求出5﹤x﹤10时y与x的函数关系式； （4）．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

答案：解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C

∴△ADE∽△ABC ∴

ASADEDE2()

SABCBCC即SADEB(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤x5 时 ySADE12x 412x 4（3）5x﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ∵S△A'DE=S△ADE=

12x 41x 2 ∴DE边上的高AH=AH'=由已知求得AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN∽△A'DE知

SA'MNA'F2()

SA'DEA'HSA'MN(x5)2

123x(x5)2x210x25 4412（4）在函数yx中

4∴y∵0﹤x≤5

∴当x=5时y最大为： 在函数

25 43yx210x25中

4b20当x时y最大为： 2a3∵

2525﹤ 432025∴当x时，y最大为：

337.如图，直线y3x3和x轴y轴分别交与点B、A，点C是OA的中点，过点C向左方作4射线CM⊥y轴，点D是线段OB上一动点，不和B重合，DP⊥CM于点P，DE⊥AB于点E，连接PE。

（1） 求A、B、C三点的坐标。

（2） 设点D的横坐标为x，△BED的面积为S，求S关于x的函数关系式。

（3） 是否存在点D，使△DPE为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的x的值。

答案：解：(1)将x=0代入y=x+3，得y=3，故点A的坐标为（0,3），

43

因C为OA的中点，故点C的坐标为（0，1.5）

将y=0代入y=x+3，得x=－4，故点B的坐标为（－4，0）

43所以A、B、C三点坐标为（0,3），（－4，0），（0，1.5） （2）由（1）得OB=4，OA=3则由勾股定理得AB=5 因P点的横坐标为x，故OD=－x，则BD=4+x 又由已知得∠DEB=∠AOD=90 ， ∴sin∠DBE=sin∠ABO=cos∠DBE=cos∠ABO=

143DEBD0

=

OAAB=，

5453DE4x4535，DE=（4+x），

545(4x)，

3BEBDOBAB6，

BE4x2

，BES=×(4x)×（4+x）=

255(4+x) （－4391625（3）符合要求的点有三个，x=0，－1.5，－①当PE=PD时，过P作PQ⊥DE于Q cos∠PDQ=cos∠ABO=

DQPD45

，

DE=2DQ=PD×2=2.4，即2.4=(4x)

5543②当ED=EP时，过E作EH⊥PD于H cos∠EDH=cos∠ABO=

48DHED45，

3916PD=2DH=2×ED=×(4x)=1.5，即x=－

55533，

③当DP=DE时，即DE=1.5 ,DE=(4x)=1.5 ,x=－1.5，

58.在△ABC中，∠Ａ＝90°，AB＝４，AC=3，M是AB上的动点（不与A、B重合），过点M作MN∥BC交AC于点N. 以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN，令AM=x.

(1) 当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ （2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y与x间函数关系式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

答案：解：（1）如图，设直线BC与⊙O相切于点D，连接OA、OD，则OA=OD=MN

21在Rt⊿ABC中，BC=22ABAC=5 ∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C ⊿AMN∽⊿ABC，∴

55AMABMNBC，

x4MN5，

∴MN=x, ∴OD=x

485过点M作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，

8在Rt⊿BMQ和Rt⊿BCA中，∠B是公共角 ∴Rt⊿BMQ∽Rt⊿BCA，

BMBCQMAC558x∴

，∴BM==

2524x，AB=BM+MA=

2524x +x=4,∴x=

9649

3∴当x=

9649时，⊙O与直线BC相切，

（3）随着点M的运动，当点P 落在BC上时，连接AP，则点O为AP的中点。 ∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC

∴⊿AMO∽⊿ABP，∴

AMABAOAP=，AM=BM=2

21故以下分两种情况讨论： ① 当0＜x≤2时，y=S⊿PMN=x.

832

∴当x=2时,y最大=×2=

8232

3② 当2＜x＜4时，设PM、PN分别交BC于E、F ∵四边形AMPN是矩形， ∴PN∥AM，PN=AM=x

又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形 ∴FN=BM=4－x，∴PF=x－（4－x）=2x－4， 又⊿PEF∽⊿ACB，∴（

329882

2

PFAB）=

2

SSPEFABC

33282

2

∴S⊿PEF=（x－2）,y= S⊿PMN－ S⊿PEF=x－（x－2）=－x+6x－6

898892

当2＜x＜4时，y=－x+6x－6=－（x－）+2

3∴当x=时，满足2＜x＜4，y最大=2。

3综合上述，当x=时，y值最大，y最大=2。

389.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线

AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩

形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）． （1）点A的坐标是__________，点C的坐标是__________； （2）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）探求（2）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

答案：解：（1）、（4，0）、（0，3） （2）当0＜t≤4时，OM=t． 由△OMN∽△OAC，得

OMON， OAOC∴ ON=

133t，S=×OM×ON=t2． 482当4＜t＜8时，

如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4． 由△DAM∽△AOC，可得AM=而△OND的高是3．

S=△OND的面积-△OMD的面积

3(t4)． 4113×t×3-×t×(t4)

422

3=t23t．

8=

(3) 有最大值． 方法一：当0＜t≤4时，

32t的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大， 83∴ 当t=4时，S可取到最大值42=6；

8∵ 抛物线S=当4＜t＜8时， ∵ 抛物线S=∴ S＜6．

综上，当t=4时，S有最大值6．

32， t3t的开口向下，它的顶点是（4，6）

832t，0t≤48方法二：∵ S=

3t23t，4t88∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示． 显然，当t=4时，S有最大值6．

10.（2010年河南中考模拟题5）二次函数yax2bxc的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)． (1)试求a，b所满足的关系式；

(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积 的5倍时，求a的值；

4 (3)是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．

若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

2答案：解：(1)将A（1，0），B（0，l）代入yaxbxc得：

abc0 ，可得：ab1

c1222a1，4aa1（2）由(1)可知：yaxa1x1 ，顶点M的纵坐标为

4a4a 因为SAMC25a15SABC，由同底可知：1，

4a44 整理得：a3a10，得：a235 2由图象可知：因为抛物线过点（0,1），顶点M在第二象限，其对称轴x=a0，

a10, 2a∴1a0, ∴a3535舍去,从而a 22（3）① 由图可知，A为直角顶点不可能； ② 若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意；

③ 若设B为直角顶点，则可知ACABBC，得： 令y0，可得：axa1x10，x11,x222221 a得：AC111,BC122,AB2 aa11(1)22(12)．

aa 解得：a1，由－1＜a＜0，不合题意．所以不存在．

综上所述：不存在

11.（2010年河南中考模拟题6）如图，在平面直角坐标系x0y中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点。抛物线yax2bxc与y轴交

于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切与点A和点C。 （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长； （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由。

答案：解：（1）yx2x1，

（2）

35， 10 （3）点P在抛物线上，

设yDC=kx+b,将（0，1），（1，0），带入得k=-1,b=1，

∴直线CD为y=-x+1，

∵过点B作⊙O的切线BP与x轴平行， ∴P点的纵坐标为-1， 把y=-1带入y=-x+1得x=2， ∴P（2，-1）， 将x=2带入yx2x1，得 y=-1，

∴点P在抛物线yx2x1上。

12.（2010年吉林中考模拟题）甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港．乙船从B港出发逆流匀速驶向A港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A港的距离y1、y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．

（1）写出乙船在逆流中行驶的速度．（2分） （2）求甲船在逆流中行驶的路程．（2分）

（3）求甲船到A港的距离y1与行驶时间x之间的函数关系式．（4分） （4）求救生圈落入水中时，甲船到A港的距离．（2分）

【参考公式：船顺流航行的速度船在静水中航行的速度＋水流速度，船逆流航行的速度船在静水中航行的速度水流速度．】

答案：解：（1）乙船在逆流中行驶的速度为6km/h． （2）甲船在逆流中行驶的路程为6(2.52)3(km)． （3）方法一：

设甲船顺流的速度为akm/h， 由图象得2a3(3.52.5)a24． 解得a9．

当0≤x≤2时，y19x． 当2≤x≤2.5时，设y16xb1． 把x2，y118代入，得b130． ∴y16x30．

当2.5≤x≤3.5时，设y19xb2． 把x3.5，y124代入，得b27.5． ∴y19x7.5． 方法二：

设甲船顺流的速度为akm/h， 由图象得2a3(3.52.5)a24． 解得a9．

当0≤x≤2时，y19x． 令x2，则y118．

当2≤x≤2.5时，y1186(x2)． 即y16x30．

令x2.5，则y115． 当2.5≤x≤3.5时，y1159(x2.5)．

y19x7.5．

（4）水流速度为(96)21.5(km/h)．

设甲船从A港航行x小时救生圈掉落水中．

根据题意，得9x1.5(2.5x)92.57.5． 解得x1.5．

1.5913.5．

即救生圈落水时甲船到A港的距离为13.5 km．

13.(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)如图1，把一个边长为22的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线c1交x轴于点M、N(M在N的左边). (1)求抛物线c1的解析式及点M、N的坐标；

////// (2)如图2，另一个边长为22的正方形ABCD的中心G在点M上，B、D在x轴

的负半轴上(D/在B/的左边)，点A/在第三象限，当点G沿着抛物线c1从点M移到点N，正方形随之移动，移动中B/D/始终与x轴平行.

①直接写出点A/、B/移动路线形成的抛物线c(A/)、c(B/)的函数关系式；

②如图3，当正方形ABCD第一次移动到与正方形ABCD有一边在同一直线上时， 求点G的坐标．

yyCCC'DIC'GMA'B'yCBD'NxDIO(A)Nx//// DBBMO(A)NxD'G(M)A'B'O(A)1222,0) x+4, M(22,0),N(图3 图2 21212

①yA'=－x+2 (2分), yB'=－(x－2)+4 ②G(1－13，－3＋13)

22答案：解：－图 (1)y=1 14.（2010年铁岭市加速度辅导学校）如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，

OAB90，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AD相交于点

M．OA2，AB23，BM:MO1:2．

（1）求OB和OM的值；

（2）求直线OD所对应的函数关系式；

（3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形OABD的边于点E（E异于点A），设OPt，梯形OABD被夹在OAE内的部分的面积为S，y 求S关于t的函数关系式． D B 解：（1）

OB4 OAB90，OA2，AB23，M BM14OM18，，OM OM2OM2384（2）由（1）得：OM，BM．

33DBBM1 DB∥OA，易证

OAOM223)． DB1，D(1，过OD的直线所对应的函数关系式是y23x．

（3）依题意：当0t≤O A x 8时，E在OD边上， 3y D M E O F N A x B 分别过E，P作EFOA，PNOA，垂足分别为F和N，

23tanPON3，PON60，

213OPt，ONt，PNt．

22直线OD所对应的函数关系式是y23x，

23n) 设E(n，易证得△APN∽△AEF，PNAN， EFAF31t2t2 223n2n整理得：

t4t 2n2n8nnt2t，n(8t)2t，n由此，S△AOE2t分 8t112t， OAEF223228ty D E B M P S当

43t8(0t≤)8t3

O 8t4时，点E在BD边上， 3A x

此时，SS梯形OABDS△ABE，易证：△EPB∽△APO

DB∥OA，

BEBPBE4t， OAOP2t2(4t) BEt112(4t)4tS△ABEBEAB2323 22tt1(4t)4t83(12)2323332353． 2tttS43t8t综上所述：S8353t（1）解法2：

0t≤83

8t43OAB90，OA2，AB23．

OB4 易求得：OBA30，（3）解法2：分别过E，P作EFOA，PNOA，垂足分别为F和N，

ON由（1）得，OBA30，OPt，13t，PNt， 22即：P13t，0)， 22t，又(2，设经过A，P的直线所对应的函数关系式是ykxb

133t23tttkbk，b则2 解得： 24t4t2kb0经过A，P的直线所对应的函数关系式是y依题意：当0t≤3t23tx． 4t4t823n)在直线AP上， 时，E在OD边上，E(n，33t23tn23n 4t4ttn2t2n t4t42t n8t整理得：

S当

43t8 （0t≤） 8t3823)，因为E在直线AP上， t4时，点E在BD上，此时，点E坐标是(n，33t23tn23 4t4ttn2t2．8nnt2t． t4t44t8 nt4t82(4t) BE2n2tt整理得：

S1(4t)4t83(12)2323332353 2ttt43t8t综上所述：S8353t

0t≤83

8t4315.（2010天水模拟）如图，在平面直解坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0）（4，3），动点M，N分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NPBC，交AC于点P，连结MP，当两动点运动了t秒时。 （1）P点的坐标为（4-t,

3t）(用含t的代数式表示)。 4（2）记△MPA的面积为S，求S与t的函数关系式（0（3）当t= 秒时，S有最大值，最大值是

（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式。 （1）4-t, (2)S=

3t 411333MA·PD=（4-t）t S=t2t(022a238(4)设Q(0,m)①AN=AQ AN=AQ 2+3=16+M

M=-3 ∴此方程无解,故此情况舍去. ②AN=NQ AN=NQ

22

13=2+(3-m) 3-m=±9 m=0,m2=6

2

2

22

2

2

2

2

∴Q=(0,0) ∴AQ:y=0 ③NQ=AQ 4+(3-M)=16+M M=-2

2

11 ∴(0, ) AQ:y=2x 222

16.(2010年厦门湖里模拟)已知关于x的一元二次方程2x+4x+k-1=0有实数根，k为正整数. （1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答：当直线y=与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

答案：解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．

∵k为正整数，∴k＝1，2，3． (2)当k＝1时，方程2x＋4x＋k－1＝0有一个根为零； 当k＝2时，方程2x＋4x＋k－1＝0无整数根； 当k＝3时，方程2x＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根

22

2

2

1x+b (b当k＝3时，二次函数为y＝2x＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x＋4x－6．

(3)设二次函数y＝2x＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A(－3，0)，B(1，0)． 依题意翻折后的图象如图所示．

22

2

第16题图

13xb经过A点时，可得b； 2211当直线yxb经过B点时，可得b．

22当直线y由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为

17．（2010 河南模拟）如图，经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线

13b． 22yaxbxc(a0)交y轴的正半轴于点C，设抛物线的顶点为D。

（1）用含a的代数式表示出点C、D的坐标； （2）若BCD2900，请确定抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q，使△BDQ为直角三角形？如果能，请直接写出点Q的坐标，如不能，说明理由。

答案：（1）D（1，-4a），C（0，-3a），

第18题 （2）y （3）

x22x3，

39115,,Q1Q2,2424

18．（2010年杭州月考）如图，已知抛物线与x轴交于点A(2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，8)．

C （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标； （2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点

A O B x y P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果

不存在，请说明理由；

（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

答案：（1）设抛物线解析式为ya(x2)(x4)，把C(0，8)代入得a1．

yx22x8(x1)29，顶点D(19)，）

（2）假设满足条件的点P存在，依题意设P(2，t)， 由C(0，，8)D(1，9)求得直线CD的解析式为yx8，

它与x轴的夹角为45，设OB的中垂线交CD于H，则H(210)，．

则PH10t，点P到CD的距离为d又POt222t24．

22PH10t． 22t24210t． 22平方并整理得：t20t920

t1083．

1083)． 存在满足条件的点P，P的坐标为(2，（3）由上求得E(8，，0)F(412)，．

①若抛物线向上平移，可设解析式为yx2x8m(m0)． 当x8时，y72m． 当x4时，ym．

C y F D H 272m≤0或m≤12．

（2分） 0m≤72． ······

②若抛物线向下移，可设解析式为yx2x8m(m0)． 2P E A O B x yx22x8m由， yx8有xxm0．

21△14m≥0，0m≤．

4向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移

19．（2010 河南模拟）已知：如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )

1个单位长． 4D ( 4，6），且AB＝210. （1）求点B的坐标；

（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得

第19题 1

S△ABC = S梯形ABCD ?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.

2答案：

（1）在RtΔABC中， ， 又因为点B在x轴的负半轴上，所以B（－2，0）

（2）设过A，B，D三点的抛物线的解析式为 ， 将A（0，6），B（－2，0），D（4，6）三点的坐标代入得

c616a4bc6 解得 b24a2bc0c6（3）略

a12 所以 y12x2x6 220.（2010湖南模拟）已知二次函数的图象是经过点A(1,0),B(3,0),E(0,6)三点的一条抛物线. (1)求这条抛物线的解析式;

(2)如图,设抛物线的顶点为C,对称轴交x轴于点D,在y轴正半轴上有一点P,•且以A、O、P为顶点的三角形与△ACD相似,求P点的坐标.

解:(1)设抛物线解析式为:y=a(x-1)(x-3). ∵过E(0,6),∴6=a×3 ∴a=2, ∴ y=2x-8x+6

(2)y=2x-8x+6=2(x-4x+3)-2=2(x-2)-2, ∴C(2,-2).对称轴直线x=2,D(2,0). △ACD为直角三角形,AD=1,CD=2,OA=1. 当△AOP∽△ACD时,

2

2

2

2

第20题 OAOP1OP,,∴OP=2. ADCD12 ∵ P在y轴正半轴上,∴P(0,2).

OAOP1OP1,,OP= CDAD2221 P在y轴正半轴上,∴P(0, ).

2 当△PAO∽△ACD时,

21.（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数yaxbxc(a0)的图象的顶点为D点，

与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）， OB＝OC ，tan∠ACO＝

21． 3（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存

在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图11，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最_ y_ y大面积.

_ E_ OA_ _ B_ x

_ C_ OA_ _ B_ x

图10 _ D_ C_ D_ G图11 答案：（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）

abc0将A、B、C三点的坐标代入得9a3bc0

c3a1解得：b2

c3所以这个二次函数的表达式为：yx2x3 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） 设该表达式为：ya(x1)(x3) 将C点的坐标代入得：a1 所以这个二次函数的表达式为：yx2x3 （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分） （2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：yx3 ∴E点的坐标为（－3，0） 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF

22∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3） 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：yx3 ∴E点的坐标为（－3，0） ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3）

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得R117 2My1RNR②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，－r），

117代入抛物线的表达式，解得r

2∴圆的半径为

AMO1rrNBx117117或． 22D（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，－3），直线AG为yx1．

设P（x，x2x3），则Q（x，－x－1），PQxx2．

22SAPGSAPQSGPQ当x1(x2x2)3 21时，△APG的面积最大 2121527，SAPG的最大值为． 48此时P点的坐标为,

22.（2010年武汉市中考拟）抛物线

yax22axb与直线y=x+1交于A、C两点，与

y轴交于B，AB∥x轴，且S线的解析式。

（2）P为x轴负半轴上一点，以AP、AC为边作

ABC3，（1）求抛物

CAPQ，是否存在P，使得Q点恰好在此抛物线

上？若存在，请求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）AD⊥X轴于D，以OD为直径作⊙M，N为⊙M上一动点，（不与O、D重合），过N作AN的垂线交x轴于R点，DN交Y轴于点S，当N点运动时，线段OR、OS是否存在确定的数量关系？写出证明。

答案：（1）yx2x1

2yx22x1(2)联立得A（-2，-1）C（1，2）

yx1设P（a,0），则Q（4+a,2） ∴(4a)2(4a)12 ∴a17,a23 ∴Q(-3,2)或（1，2）

2ORON ADDNOSON∵△ONS～△DNO，∴ ODDNOR1 ∴

OS2（3）∵△AND～△RON，∴

23.（本小题满分10分）

如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线

CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理

由；

（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ 答案：

（1）设抛物线解析式为ya(x2)(x4)，把C(0，8)代入得a1．

yx22x8(x1)29，

顶点D(19)，

（2）假设满足条件的点P存在，依题意设P(2，t)， 由C(0，，8)D(1，9)求得直线CD的解析式为yx8，

它与x轴的夹角为45，设OB的中垂线交CD于H，则H(210)，．

则PH10t，点P到CD的距离为d又POt222t24． t4222PH10t． 22210t． 22平方并整理得：t20t920

t1083．

1083)． 存在满足条件的点P，P的坐标为(2，（3）由上求得E(8，，0)F(412)，．

①若抛物线向上平移，可设解析式为yx2x8m(m0)． 当x8时，y72m． 当x4时，ym．

C 2y F D H P E A O B x 72m≤0或m≤12．

（8分） 0m≤72． ······

②若抛物线向下移，可设解析式为yx2x8m(m0)． 2yx22x8m由， yx8有xxm0．

21△14m≥0，0m≤．

4向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移

24.如图，直线y1个单位长． （10分） 44x4与x轴、y轴分别交于点M,N 3（1）求M,N两点的坐标；

（2）如果点A在线段ON上,将NMA沿直线MA折叠,N点恰好落在x轴上的N点,求直线MA的解析式.

（3）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线y求点P的坐标。

解（1）M(3，0) N(0,4)； （2）

（3）第一种情况：当P1在y轴上且在点N下方时，P1坐标是（0，0）

第二种情况：当P2在x轴且在M点的左侧时，P2坐标是（0，0） 第三种情况：当P3在x轴且在M点右侧时，P3坐标是（6，0） 第四种情况：当P4在y轴且在点N上方时，P4的坐标是（0，8）

1254x4相切，3综上，P坐标是（0，0）（6，0）（0，8）

25. （本题满分13分）如图，抛物线y=ax + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。 （1）求抛物线y= ax + bx + c 的解析式； （2）求△AOC和△BOC的面积比；

（3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。 若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。

第25题图 A -1 C 2

2

y O 1 B x 解：（1）∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1， ∴点B的坐标为（3，0），∴可设抛物线的解析式为y= a（x+1）(x-3) 又∵抛物线经过点C(0,-3)，∴ -3=a（0+1）(0-3) ∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=（x+1）(x-3)， 即y=x-2x-3

（2）依题意，得OA=1,OB=3, ∴S△AOC∶S△BOC==1∶3

（4） 在抛物线y=x-2x-3上，存在符合条件的点P 。 解法1：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。 ∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。

∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）

∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。

设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B（3，0）代入得 3k-3=0 ∴k=1。 ∴y=x-3 ∴当x=1时，y=-2 .∴点P的坐标为（1，-2）

解法2：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D ∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。

∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。

22

2

2

y A -1 C O D 1 P B x 11OA·OC∶OB·OC=OA∶OB 22第25题图

∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC 。∴∴DP=2

∴点P的坐标为（1，-2）

DPBDDP2,即  OCBO33