专题4.导数与函数中的双变量问题【原卷版】

近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下处理含有两个变量的等式与不等式问题,这类问题由于变量多,不少同学不知如何下手,其实如能以函数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再利用导数就可有效地加以解决.

1.【2018全国卷Ⅰ】已知函数f(x)(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明：

1xalnx． xf(x1)f(x2)a2．

x1x2 一、与函数单调性有关的双变量问题

此类问题一般是给出含有x1,x2,fx1,fx2的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.

【例1】【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟】 已知函数

,

,当

时,不等式

恒成立,则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【对点训练】【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟】已知函数f(x)lnxax1,其中a为实常数. （1）若当a0时,f(x)在区间[1,e]上的最大值为1,求a的值；

（2）对任意不同两点Ax1,fx1,Bx2,fx2,设直线AB的斜率为k,若x1x2k0恒成立,求a的取值范围.

二、与极值点有关的双变量问题

与极值点x1,x2有关的双变量问题,一般是根据x1,x2是方程fx0的两个根,确定x1,x2的关系,再通过消

元转化为只含有x1或x2的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为x1,x2的齐次式,然后转化为关于

x2的函数. x12【例2】【山东省潍坊市2019届高三5月三模】已知函数f(x)xalnx2x(aR). （1）求f(x)的单调递增区间；

（2）若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2)且f(x1)mx20恒成立,求实数m的取值范围.

【对点训练】【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】已知函数f(x)x2ax2lnx(aR)两个极值x1,x2x1x2点.

（1）当a5时,求fx2fx1； （2）当a2e2时,求fx2fx1的最大值. e三、与零点有关的双变量问题

与函数零点x1,x2有关的双变量问题,一般是根据x1,x2是方程fx0的两个根,确定x1,x2的关系,再通过消元转化为只含有x1或x2的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为x1,x2的齐次式,然后转化为关于

x2的函数,有时也可转化为关于x1x2的函数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以x1参数为自变量的函数.

【例3】【黑龙江省哈尔滨市2019届高三二模】已知函数f(x)eln(xm),其中m1. （1）设x0是函数f(x)的极值点,讨论函数f(x)的单调性； （2）若yf(x)有两个不同的零点x1和x2,且x10x2, （i）求参数m的取值范围； （ii）求证：ex2x1xln(x2x11)e1.

【对点训练】【云南省玉溪市第一中学2019届高三上学期第二次调研】设aR,函数f(x)lnxax, （1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个相异零点x1,x2,求证lnx1lnx22.

四、独立双变量,各自构造一元函数

此类问题一般是给出两个独立变量,通过变形,构造两个函数,再利用导数知识求解. 【例4】【江西省上饶市2019届高三第二次模拟】已知实数x,y满足ln4x3y6e则xy的值为（ ） A．2

B．1

C．0

D．1

xy23x2y6,

【对点训练】【四川省绵阳市2018届高三第三次诊断】对于任意的实数x1,e,总存在三个不同的实数

y1,4,使得y2xe1yaxlnx0成立,则实数a的取值范围是（ ）

A．1631616231621 B． C． D．,0,,e,e 3333eeeeeee五、独立双变量,换元构造一元函数

【例5】【河南省名校鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】若存在正实数,使得关于的方程

有两个不等的实根（其中是自然对数的底数）,则实数的

取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

1.【2019年山西省太原市高三模拟】已知a2,函数fx（1）证明：fx有两个极值点；

1xelnxax. e（2）若x1,x2x1x2是函数fx的两个极值点,证明：fx2fx12lna. 2．【天津市实验中学2019届高三第六次阶段考】已知函数f(x)（1）当a2时,求曲线yfx在点1,f1处切线的方程； （2）当a1时,求函数fx的单调区间；

121xaxlnx,其中a0. 2afx1fx2111a0,（3）若恒成立. ,证明对任意x1,x2,1x1x2,2222x1x22

3．【内蒙古2019届高三高考一模】已知函数f(x)2axbx12lnx(aR)． (1)当b0时,讨论函数f(x)的单调区间；

(2)当xye1时,求证：exln(y1)eyln(x1)． 4．设函数f(x)lnxa(x1)ex,其中aR. （1）若a0,讨论fx的单调性； （2）若0a1, e（i）证明fx恰有两个零点

（ii）设x0为fx的极值点,x1为fx的零点,且x1x0,证明3x0x12. 5．【安徽省1号卷A10联盟2019届高考最后一卷】已知函数,fxmlnx1（1）若函数fx有2个零点,求m的取值范围；

1,mR xgx2112x,xxxln2 （2）若gxfxx有两个极值点12,且12,求证：

x12x6．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数f(x)eln(xm),其中m1. （1）设x0是函数f(x)的极值点,讨论函数f(x)的单调性； （2）若yf(x)有两个不同的零点x1和x2,且x10x2, （i）求参数m的取值范围； （ii）求证：ex2x1xln(x2x11)e1.

12xaxlnxax2aR有两个27．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断】已知函数fx不同的极值点x1,x2,且x1＜x2． （1）求实数a的取值范围； （2）求证：x1x2＜a2．

8．【云南省师范大学附属中学2019届高三第八次月考】已知函数f(x)（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个极值点x1,x2,证明：3f(x1)f(x2)2.

12x2xalnx,其中a0. 2