阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。 阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 。 阿基米德三角形的性质：
设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴 。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为 。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹 。
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定 点 。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为 。 性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的 ，且阿基米德三角形的面积的最小值为 。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
B重合）QB于S、T，性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、，过I作抛物线切线交QA、则△QST
的垂心在 上。
|BF|=|QF|2. 性质9 |AF|·
性质10 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB 。
性质11 在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的 倍。 高考题中的阿基米德三角形 例1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线C:y动点P在直线l:xx2的焦点为F，
y20上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.
22)和(x1,x1)((x1解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x0x0)，
A F O P B ∴切线AP的方程为：2x0x 切线BP的方程为：2x1x解得P点的坐标为：xPx0yy2x00; 0;
2x1,yP2所以△APB的重心G的坐标为 ，
x1x0x1
所以yp3yG24xG，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
（2）方法1：因为FA(x0,x021),FP4(x02x1,x0x11),FB4(x1,x121). 4由于P点在抛物线外，则|FP|0.
FPFA|FP||FA|x02x1x0(x0x11)(x02412(x02)4(x0x11)4x0x114,
|FP|14,
|FP|∴cosAFP|FP|x02x02x1x1同理有cosBFPFPFB|FP||FB||FP|x121)(x12412(x12)41)4x0x1∴∠AFP=∠PFB. 方法2：①当x1x00时,由于x1x0,不妨设x00,则y00,所以P点坐标为(2x1x12,0)，则P点到
直线AF的距离为：d2即(x1|x1|21;而直线BF的方程:y14x114x,
1)x4x1y1x140.
2|(x12(x1所以P点到直线BF的距离为：d21x1x1)|42412)(x1)242x02(x11|x1|)4212x14|x1|2
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB. ②当x1x00时，直线AF的方程：y2x114x014(x01)x420),即(x01)x40,
x0y1x400,
直线BF的方程：y14x114(x020),即(x1x1y1x14所以P点到直线AF的距离为： d12|(x01x0x1)()x02x142122(x0)x0241x|40|x02x1x20)(x02141)4|x02x1|，
同理可得到P点到直线BF的距离d2|x1x0|2例2 (2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且
，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB →→
AF＝λFB（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． →→
AB为定值； （Ⅰ）证明FM·
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值． 解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0． →→
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF＝λFB， 即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，
11
将①式两边平方并把y1＝4x12，y2＝4x22代入得 y1＝λ2y2 ③ 1
解②、③式得y1＝λ，y2＝λ，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4， 11
抛物线方程为y＝4x2，求导得y′＝2x． 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 11
y＝2x1(x－x1)＋y1，y＝2x2(x－x2)＋y2， 1111
即y＝2x1x－4x12，y＝2x2x－4x22．
x1＋x2x1x2x1＋x2
解出两条切线的交点M的坐标为(2，4)＝(2，－1)． ……4分 x1＋x2111→→
AB＝(2，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝2(x22－x12)－2(4x22－4x12)＝0 所以FM·
→→
AB为定值，其值为0． ……7分 所以FM·
1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝2|AB||FM|． |FM|＝
x1＋x2
(2)2＋(－2)2＝
111224x1＋4x2＋2x1x2＋4
11λ＋λ＋2＝λ＋λ． ＝
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以 11
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋λ＋2＝(λ＋λ)2． 11
于是 S＝2|AB||FM|＝(λ＋λ)3，
1
由λ＋λ≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线yx2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线
1
y1＋y2＋2×(－4)＋4 ＝
l:yc交于P,Q，
（5分） 2，求c的值；
（1）若OAOB（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由。（4分） 解：（1）设过C点的直线为ykxc，所以x2kxcc0，即x22，所以
kxc0，设
Ax1,y1,Bx2,y2，OA=x1,y1，OBx1x2y1y22，即x1x2x2,y2，因为OAOBkx1ckx2cc22，x1x20,所以ck2x1x22舍去c，y/kcx11
x2c22
所以ck2ckckc22，即c2（2）设过Q
的切线为yy1k1xx12x，所以k12x1，即
y2x1x2x12y12x1xx12，它与yc的交点为
M
x12c,c2x1cx1，又
Px12x12x2y1,y22kk2,22c，所以Q
k,c，因为x1x22c,所以
x2，所以
M
x22,ck,c,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。 2k,c，因为PQ2x轴，
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q
所以Px1k,y 2P因为
x22k，所以P为AB的中点。 22py(p0)，M为直线y例4（2008山东卷，理22题）如图，设抛物线方程为x2意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
，M，B三点的横坐标成等差数列； （Ⅰ）求证：A（Ⅱ）已知当M点的坐标为(2，2p)时，AB2p上任
410．求此时抛物线的方程；
2py(p0)上，其中，
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2点C满足OCOA．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不OB（O为坐标原点）
存在，请说明理由．
22x1x2解：（Ⅰ）证明：由题意设Ax1，，Bx2，，x12p2px2，M(x0，2p)．
由x22py得yx2，得y2px2px， p所以kMAx1p，kMB．
因此直线MA的方程为y2px1p(xx0)，直线MB的方程为yx2p2px2p(xx0)．
所以
2x12p2px1p(x1x0)，①
2x22p2p(x2x0)．②
由①、②得因此x0x1x22x2x1x2x1x0， x2．
x12，M，B三点的横坐标成等差数列． 所以A，即2x0（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0将其代入①、②并整理得：
2x12时，
4x14p220， x24x24p20，
所以x1，x2是方程x2因此x1x22x24x4p24p2，
0的两根，
4，x1x22x1又
kAB2px22px1x12px2x0，所以kABp2． p由弦长公式得AB1k2(x1x2)24x1x214p21616p2．
又AB410，所以p1或p2，
4y．
x2，y1y2)，
因此所求抛物线方程为x22y或x2（Ⅲ）解：设D(x3，y3)，由题意得C(x1则CD的中点坐标为Qx1x22x0px3y1，y22y3，
设直线AB的方程为yy1(xx1)，
由点Q在直线AB上，并注意到点
x12x2y1，y22也在直线AB上，代入得y3x0px3．
2若D(x3，y3)在抛物线上，则x32py32x0x3，
因此x30或x322x00)或D2x0，2x0．即D(0，．
p（1）当x00时，则x1x22x00，此时，点M(0，2p)适合题意．
21222x12x22x12x2（2）当x0x0)，此时C2x0，0，对于D(0，x2p，
kCD2x12p2x02x24px0，
又kAB2即x1x0p2x2，ABCD，所以kABkCD2x0x12x2p4px04p21，
4p2，矛盾．
2222x0x1x2对于D2x0，，因为C2x0，，此时直线CD平行于y轴，
p2p 又kAB所以x0x0p0，所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，
0时，不存在符合题意的M点．
综上所述，仅存在一点M(0，2p)适合题意．
例5（2008江西卷，理21题）设点Px0,y0在直线
xmym,0m1上，过点P作双曲线x2y21的两条
切线PA、PB，切点为A、B，定点M( （1）过点A作直线xy1，0)． m0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在的曲线方程； （2）求证：A、M、B三点共线． 证明：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由已知得到y1y22x22y220，且x12y11，
1，
设切线PA的方程为：yy14(1k(xx1)由kx1)2yy1x24(1k(xy2k2)x1)10,
得
从而
4k2(y1kx1)2k2)(y1解得kx1y1
因此PA的方程为：y1yx1x1 同理PB的方程为：y2ymx1mx1，y2y01上
mx2x2x1
1
又P(m,y0)在PA、PB上，所以y1y0即点A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线y0y又M(1,0)也在直线y0ymmxy11上,所以三点A、M、B共线
xx1，
（2）垂线AN的方程为：y由
yy1xx1xy1x1y1得垂足N(1,)，
xy022设重心G(x,y)
1(x311(y311m0x1x122y1y19x3y49yy13x43m1mx)所以
y 解得)x1
2由x12y11 可得(3x3y1)(3xm3y1)m2即(x12)3my22为重心G所在曲线方9程.
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