2017年山东省青岛市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）﹣的相反数是（ ） A．8
B．﹣8 C． D．﹣
2．（3分）下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的（ ）
A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数是5吨 D．方差是 4．（3分）计算6m6÷（﹣2m2）3的结果为（ ） A．﹣m B．﹣1 C． D．﹣
5．（3分）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，则顶点B的对应点B1的坐标为（ ）
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A．（﹣4，2） B．（﹣2，4） C．（4，﹣2） D．（2，﹣4）
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=AC=2，BD=4，则AE的长为（ ）
，
A． B． C． D．
8．（3分）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，﹣4），B（2，2）两点，P为反比例函数y=
图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂
足为C，则△PCO的面积为（ ） A．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
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B．4 C．8 D．不确定
9．（3分）近年来，国家重视精准扶贫，收效显著，据统计约65000000人脱贫，65000000用科学记数法可表示为 ． 10．（3分）计算：（
+
）×
= ．
11．（3分）若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 ． 12．（3分）如图，直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD，若BD=4，则阴影部分的面积为 ．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为 度．
14．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为 ．
三、解答题（本大题共4分） 15．（4分）已知：四边形ABCD．
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求作：点P，使∠PCB=∠B，且点P到边AD和CD的距离相等．
三、解答题（本大题共9小题，共74分） 16．（8分）（1）解不等式组：（2）化简：（
﹣a）÷
．
17．（6分）小华和小军做摸球游戏：A袋装有编号为1，2，3的三个小球，B袋装有编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 18．（6分）某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是 度； （2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生1200人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）
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的人数．
19．（6分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数） （参考数据：sin67°≈
，cos67°≈
，tan67°≈
，
≈1.73）
20．（8分）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 （填l1或l2）； 甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h； （2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？
21．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF． （1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
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22．（10分）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
未入住房间数 日总收入（元）
淡季 10 24000
旺季 0 40000
（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？
23．（10分）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求不等式|x﹣1|＜2的解集 （1）探究|x﹣1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x﹣1，有绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x﹣1|，可记为A′O=|x﹣1|．将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1．因为AB=A′O，所以AB=|x﹣1|，因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB． （2）求方程|x﹣1|=2的解
因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，﹣1．
（3）求不等式|x﹣1|＜2的解集
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因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围． 请在图②的数轴上表示|x﹣1|＜2的解集，并写出这个解集． 探究二：探究（1）探究
的几何意义
的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，则MO=
=
=
，因此，
的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离MO．
（2）探究
的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究二（1）可知，A′O=
，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，
得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB=A′O，所以AB=
，因此
的几何意义可以理解为点A
（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB． （3）探究
的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程． （4）拓展应用： （1）
+
的几何意义可以理解为：点A（x，y）
的几何意义可以理解为： ．
与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和． （2）
+
的最小值为 （直接写出结果）
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24．（12分）已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，FQ，当点Q停止运动时，△EFQ也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BD？
（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD=9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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2017年山东省青岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）（2017•青岛）﹣的相反数是（ ） A．8
B．﹣8 C． D．﹣
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【解答】解：﹣的相反数是， 故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）（2017•青岛）下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意． 故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
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3．（3分）（2017•青岛）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的（ ）
A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数是5吨 D．方差是
【分析】根据众数、平均数、中位数和方差的定义计算各量，然后对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的众数为6吨，平均数为5吨，中位数为5.5吨，方差为． 故选C．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数、中位数．
4．（3分）（2017•青岛）计算6m6÷（﹣2m2）3的结果为（ ） A．﹣m B．﹣1 C． D．﹣
【分析】根据整式的除法法则即可求出答案． 【解答】解：原式=6m6÷（﹣8m6） =﹣ 故选（D）
【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型．
5．（3分）（2017•青岛）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，则顶点B的对应点B1的坐标为（ ）
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A．（﹣4，2） B．（﹣2，4） C．（4，﹣2） D．（2，﹣4）
【分析】利用网格特征和旋转的性质，分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1，于是得到结论．
【解答】解：如图，点B1的坐标为（﹣2，4）， 故选B．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等．
6．（3分）（2017•青岛）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（ ）
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A．100° B．110° C．115° D．120°
【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB=90°，∠ACD=20°，即可求∠BCD的度数． 【解答】解：连接AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠AED=20°， ∴∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°， 故选B．
【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（3分）（2017•青岛）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=
，AC=2，BD=4，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
【解答】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=AC=1，BO=BD=2， ∵AB=
，
第12页（共32页）
∴AB2+AO2=BO2， ∴∠BAC=90°， ∵在Rt△BAC中，BC=
S△BAC=×AB×AC=×BC×AE， ∴
×2=
AE， ，
=
=
∴AE=故选D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
8．（3分）（2017•青岛）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，﹣4），B（2，2）两点，P为反比例函数y=
图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y
轴的垂线，垂足为C，则△PCO的面积为（ ） A．2
B．4
C．8
D．不确定
【分析】根据待定系数法，可得k，b，根据反比例函数图象上的点垂直于坐标轴得到的三角形的面积等于|k|的一半，可得答案．
【解答】解：将A（﹣1，﹣4），B（2，2）代入函数解析式，得
，
解得
，
图象上一动点，
，
P为反比例函数y=
反比例函数的解析式y=P为反比例函数y=足为C，
图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂
则△PCO的面积为|k|=2， 故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上的
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点垂直于坐标轴得到的三角形的面积等于|k|的一半
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）（2017•青岛）近年来，国家重视精准扶贫，收效显著，据统计约65000000人脱贫，65000000用科学记数法可表示为 6.5×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：65000000=6.5×107， 故答案为：6.5×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）（2017•青岛）计算：（
+
）×
= 13 ．
【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算即可． 【解答】解：原式=（2==13．
故答案为13．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
11．（3分）（2017•青岛）若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 m＞9 ．
【分析】利用根的判别式△＜0列不等式求解即可． 【解答】解：∵抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，
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+）×
×
∴△=b2﹣4ac＜0， ∴（﹣6）2﹣4×1•m＜0， 解得m＞9，
∴m的取值范围是m＞9． 故答案为：m＞9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键．
12．（3分）（2017•青岛）如图，直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD，若BD=4，则阴影部分的面积为 2π﹣4 ．
【分析】连接OB、OD，根据切线的性质和垂直得出∠OBP=∠P=∠ODP=90°，求出四边形BODP是正方形，根据正方形的性质得出∠BOD=90°，求出扇形BOD和△BOD的面积，即可得出答案．
【解答】解：连接OB、OD，
∵直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，AB⊥CD， ∴∠OBP=∠P=∠ODP=90°， ∵OB=OD，
∴四边形BODP是正方形， ∴∠BOD=90°， ∵BD=4，
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∴OB==2，
∴阴影部分的面积S=S扇形BOD﹣S△BOD=故答案为：2π﹣4．
﹣=2π﹣4，
【点评】本题考查了切线的性质、扇形的面积计算等知识点，能分别求出扇形BOD和△BOD的面积是解此题的关键．
13．（3分）（2017•青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为 32 度．
【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB=116°，根据直角三角形的性质得到DE=BE=AC，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上， ∵∠BAD=58°， ∴∠DEB=116°， ∵DE=BE=AC， ∴∠EBD=∠EDB=32°， 故答案为：32．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，推出A，B，C，D四点共圆是解题的关键．
14．（3分）（2017•青岛）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为 48+12
．
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【分析】观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，然后根据提供的尺寸求得其表面积即可．
【解答】解：观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，其底面边长为2，高为4， 故其边心距为
，
=48+12
，
所以其表面积为2×4×6+2××6×2×故答案为：48+12
．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图判断几何体的形状及各部分的尺寸，难度不大．
三、解答题（本大题共4分）
15．（4分）（2017•青岛）已知：四边形ABCD．
求作：点P，使∠PCB=∠B，且点P到边AD和CD的距离相等．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：到边AD和CD的距离相等的点在∠ADC的平分线上，所以第一步作∠ADC的平分线DE，要想满足∠PCB=∠B，则作CP∥AB，得到点P．
【解答】解：作法：①作∠ADC的平分线DE， ②过C作CP∥AB，交DE于点P， 则点P就是所求作的点；
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【点评】本题是作图题，考查了角平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边距离相等是关键．
三、解答题（本大题共9小题，共74分） 16．（8分）（2017•青岛）（1）解不等式组：（2）化简：（
﹣a）÷
．
【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可； （2）先算减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【解答】解：（1）∵解不等式①得：x＜﹣， 解不等式②得：x＜﹣10， ∴不等式组的解集为x＜﹣10；
（2）原式===
．
•
÷
【点评】本题考查了分式的混合运算和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（1）的关键，能灵活运用分式的运算法则进行化简是解（2）的关键，注意运算顺序．
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17．（6分）（2017•青岛）小华和小军做摸球游戏：A袋装有编号为1，2，3的三个小球，B袋装有编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字的差为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：不公平， 画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，数字的差为偶数的有4种情况， ∴P（小华胜）=，P（小军胜）=， ∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（6分）（2017•青岛）某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
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请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是 126 度； （2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生1200人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
【分析】（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以360即可得到结果；
（2）求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；
（3）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的百分比乘以1200即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：1﹣（40%+18%+7%）=35%， 则“玩游戏”对应的圆心角度数是360°×35%=126°； 故答案为：126；
（2）根据题意得：40÷40%=100（人），
∴3小时以上的人数为100﹣（2+16+18+32）=32（人）， 补全条形统计图，如图所示：
第20页（共32页）
（3）根据题意得：1200×64%=768（人），
则每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数约有768人． 【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
19．（6分）（2017•青岛）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数） （参考数据：sin67°≈
，cos67°≈
，tan67°≈
，
≈1.73）
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，
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∴∠ABD=67°， ∴AD=AB•sin67°=520×BD=AB•cos67°=520×
==
=480km， =200km．
∵C地位于B地南偏东30°方向， ∴∠CBD=30°， ∴CD=BD•tan30°=200×∴AC=AD+CD=480+
=
，
≈480+115=595（km）．
答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
20．（8分）（2017•青岛）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 l2 （填l1或l2）； 甲的速度是 30 km/h，乙的速度是 20 km/h； （2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？
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【分析】（1）观察图象即可知道乙的函数图象为l2，根据速度=信息即可解决问题；
（2）分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题； 【解答】解：（1）由题意可知，乙的函数图象是l2， 甲的速度是
=30km/h，乙的速度是
=20km/h．
，利用图中
故答案为l2，30，20．
（2）设甲出发多少小时两人恰好相距5km．
由题意30x+20（x﹣0.5）+5=60或30x+20（x﹣0.5）﹣5=60 解得x=1.3或1.5，
答：甲出发1.3小时或1.5小时两人恰好相距5km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题．
21．（8分）（2017•青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF． （1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
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【分析】（1）由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；
（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点， ∴AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC， 在△BCE和△DCF中，∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下： 由（1）得：AE=OE=OF=AF， ∴四边形AEOF是菱形， ∵AB⊥BC，OE∥BC， ∴OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，
∴四边形AEOF是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
22．（10分）（2017•青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
未入住房间数 日总收入（元）
淡季 10 24000
旺季 0 40000
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，
（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；
（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，
，
解得，∴x+x=600+
，
=800，
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元； （2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元， y=（800+x）（50﹣
）=
42025，
∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，
答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
23．（10分）（2017•青岛）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 探究一：求不等式|x﹣1|＜2的解集 （1）探究|x﹣1|的几何意义
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如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x﹣1，有绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x﹣1|，可记为A′O=|x﹣1|．将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1．因为AB=A′O，所以AB=|x﹣1|，因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB． （2）求方程|x﹣1|=2的解
因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，﹣1．
（3）求不等式|x﹣1|＜2的解集
因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围． 请在图②的数轴上表示|x﹣1|＜2的解集，并写出这个解集． 探究二：探究（1）探究
的几何意义
的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，则MO=
=
=
，因此，
的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离MO．
（2）探究
的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究二（1）可知，A′O=
，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，
得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB=A′O，所以AB=
，因此
的几何意义可以理解为点A
（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB． （3）探究
的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程． （4）
的几何意义可以理解为： 点（x，y）与点（a，b）之间
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的距离 ． 拓展应用： （1）
+
的几何意义可以理解为：点A（x，y）
与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F （﹣1，﹣5） （填写坐标）的距离之和． （2）
+
的最小值为 5 （直接写出结果）
【分析】探究一（3）由于|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围，从而画出数轴即可． 探究二（3）由于
的几何意义是：点A（x，y）与B（﹣3，4）
之间的距离，所以构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案． （4）根据前面的探究可知b）之间的距离；
拓展研究（1）根据探究二（4）可知点F的坐标； （2）根据三角形的三边关系即可求出答案． 【解答】解：探究一：（3）如图所示， ∴|x﹣1|＜2的解集是﹣1＜x＜3，
的几何意义是表示点（x，y）与点（a，
探究二：（3）的几何意义是：点A（x，y）与B（﹣3，4）之
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间的距离，
∴过点B作BD⊥x轴于D，过点A作AC⊥BD于点C， ∴AC=|x+3|，BC=|y﹣4|，
∴由勾股定理可知：AB2=AC2+BC2， ∴AB=
，
的几何意义是表示点（x，y）与点（a，
（4）根据前面的探究可知b）之间的距离；
拓展研究：（1）由探究二（4）可知﹣5）之间的距离， 故F（﹣1，﹣5）， （2）由（1）可知：
+
表示点（x，y）与（﹣1，
表示点A（x，y）与点
E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F（﹣1，﹣5）的距离之和， 当A（x，y）位于直线EF外时， 此时点A、E、F三点组成△AEF， ∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE， 当点A位置线段EF之间时，此时EF=AF+AE， ∴∴EF=
+
=5
的最小值为EF的距离，
故答案为：探究二（4）点（x，y）与点（a，b）之间的距离； 拓展研究（1）（﹣1，﹣5）；（2）5．
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【点评】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型．
24．（12分）（2017•青岛）已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，FQ，当点Q停止运动时，△EFQ也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BD？
（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD=9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1中，当PQ∥BD时，=，可得=，解方程即可；
（2）如图2中，当0＜t＜6时，S五边形AFPQM=S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC，由此计算即可解决问题；
（3）假设存在，根据题意列出方程即可解决问题；
（4）如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．理由勾股定理，根据MG=MP，列出方程即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1中，
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当PQ∥BD时，∴=∴t=∴t=
=，
， ，
s时，PQ∥BD．
（2）如图2中，
当0＜t＜6时，S五边形AFPQM=S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC
=（8+8﹣t+8）•6﹣•（6﹣t）•（6﹣t）﹣•（8﹣t）•t =t2﹣t+
．
（3）如图2中，假设存在，则有（t2﹣t+解得t=2或18（舍弃），
∴t=2s时，S五边形AFPQM：S矩形ABCD=9：8．
．）：48=9：8，
（4）存在．
理由：如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．
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易知：AG=6﹣t．DQ=6﹣t，DM=KC=（6﹣t），PK=8﹣t﹣（6﹣t），MK=CD=6， ∵点M在PG的垂直平分线上， ∴MG=MP，
∴AG2+AM2=PK2+MK2，
∴（6﹣t）2+[8﹣（6﹣t）]2=62+[8﹣t﹣（6﹣t）]2， 解得t=∴t=
或0（舍弃），
s时，点M在线段PG的垂直平分线上
【点评】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、多边形的面积等知识，解题的关键是学会理由分割法求多边形面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
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参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；sd2011；gsls；神龙杉；王学峰；733599；zjx111；gbl210；星期八；sjzx；tcm123；三界无我；sks；ZJX；弯弯的小河；家有儿女；zgm666（排名不分先后） 菁优网
2017年7月7日
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