数列知识点

（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为

anan1d(n2)或an1and(n1)。

（2）等差数列的通项公式：ana1(n1)d；

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，d0为常数列，

d0 为递减数列。

（3）等差中项的概念：

ab2

定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中

A（4）等差数列的性质：

①d0，数列an是递增数列；d0，数列an是递减数列；数列an是常数列。

ana1amakm,n,kN*n1mk

②

d③anamnmdm,nN*

amanapaqm,n,p,qN*mnpq④ 若，则

mnkaman2akm,n,kN*2⑤若，则

⑥若数列an是有穷等差数列，则与首、末两项等距离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和，即a1ana2an1aian1i

⑦数列anb,b是常数是公差为d的等差数列

⑧下标成等差数列且公差为m的项

ak,akm,ak2m,k,mN*组成公差为md的能差数列。

⑨若数列bn是等差数列，则数列anbn，kanbnk为非零常数也是等差数列

⑩项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列。如：

a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,也构成等差数列。

（5)等差数列的判定方法 ①定义法，若an1andnN*

②等差中项：数列an是等差数列2anan1an1n22an1anan2 ③数列an是等差数列anknb其中k,b是常数

SnAn2Bn其中A、B是常数an④数列是等差数列，

等差数列前n项和

n(a1an)n(n1)na1d22。

1、等差数列的前n和的求和公式：

Sn2、等差数列的性质：

nn1d2，可知若数列an的前n项和为

①由等差数列的前n项和公式

SnAn2BnCA,B,CRSnna1，则an为等差数列的充要条件是C0

②若数列an为等差数列，其前n项和为Sn，则有如下结论：

Sn,S2nSn,S3nS2n,2也成等差数列，公差为nd

若

SmSpmp，则

Smp0

等比数列

1、等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它前面相邻一项之比为同一个常数，则这个数列叫做等比数列。

an1q常数在数列an中，若an，则称an为等比数列。

n1nmaaqaqm2、通项公式：n1

3、等比数列的性质：

（1）当q1,a10或0q1,a10时，数列an是递增数列 当q1,a10或0q1,a10时，数列an是递减数列 当q1时，数列an是常数列

nm*aaqm,nNnm（2）

*aaaamnpqm,n,p,qN（3）当时，有mnpq

（4）数列an是有穷数列，则与首末两项等距的两项的积相等，且等于首末两项之积，即a1ana2an1a3an2amanm1

（5）数列an仍是等比数列；若数列bn是等比数列，则数列anbn仍是等比数列；

1an，an，也都是等比数列。

（6）在数列an中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，

k1q且公比为

kka的等比数列。 q或qn（7）在数列中连续相邻k项的和（或积）构成公比为

2*a,a,am,n,pm,n,pN（8）若成等差数列，则mnp成等比数列。

an1qa4、判断等比数列的方法；（1）定义法：即验证从第2项起n是否成立

n1aaqn1（2）通项法：即验证是否成立，但注意这里的a10且q0

2*aaaa0nNn1nn2n（3）递推法：即验证是否成立，但应注意这里

等比数列前n项和

1、等比数列的前n项和公式

a11qnaaq1nq1Sn1q1qnaq11

1、等比数列前n项和的性质

S偶qS奇*，则nN2n（1）连续m项的和仍组成等比数列（2）若项数为

SmnSnqnSm 3、an为等比数列SnAqnBAB0