2013年高考理科数学试题及答案(全国卷一)

数 学（理工类）

参考公式：

如果事件互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

S=4pR2

如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径

P(A?B)P(A)P(B)

球的体积公式

V=43pR 3如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么

在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

kkPn(k)=Cnp(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)

第一部分 （选择题 共60分）

注意事项：

1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、(1x)7的展开式中x2的系数是（ ）

A、42 B、35 C、28 D、21

2、复数(1i)22i（ ）

A、1 B、1 C、i D、i 23、函数

x9f(x),x3在x3处的极限是（ ）

x3ln(x2),x3A、不存在 B、等于6 C、等于3 D、等于0

4、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连接EC、ED则sinCEDA、31010 B、10510 C、10 D、515 5、函数yax1a(a0,a1)的图象可能是（ ）

）（

6、下列命题正确的是（ ）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使ab成立的充分条件是（ ）

|a||b|A、ab B、a//b C、a2b D、a//b且|a||b|

8、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离

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为3，则|OM|（ ）

A、22 B、23 C、4 D、25 9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）

A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元

10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足

BOP60，则A、P两点间的球面距离为（ ）

2 4A、Rarccos B、

R4 C、Rarccos3 3 D、

R3

11、方程ayb2x2c中的a,b,c{3,2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛

物线共有（ ）

A、60条 B、62条 C、71条 D、80条

12、设函数f(x)2xcosx，{an}是公差为8的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则A、0 B、1216 C、12 D、132816

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[f(a23)]a1a3 ）（

第二部分 （非选择题 共90分）

注意事项：

（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13、设全集U{a,b,c,d}，集合A{a,b}，B{b,c,d}，则

MNCD、14、如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，、分别是

D1A1DAB1NCBC1(痧(UB)___________。 UA)则异面直线A1MCC1的中点，

与DN所

成角的大小是____________。

x2y215、椭圆1的左焦点为F

43，直线xm与椭圆相

MB，交于点A、当FAB的周长最大时，

FAB的面积是____________。

16、记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]2，[1.5]1，[0.3]1。设a为正整数，数列{xn}满足x1a，

xn[xn1[2a]xn](nN)，现有下列命题：

①当a5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；

②对数列{xn}都存在正整数k，当nk时总有xnxk； ③当n1时，xna1；

④对某个正整数k，若xk1xk，则xn[a]。

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 17、(本小题满分12分)

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率

1和p。 1049，求p的值； 50分别为

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E。 18、(本小题满分12分)

函数f(x)6cos2x2C为图象与x轴3cosx3(0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、

的交点，且ABC为正三角形。 （Ⅰ）求的值及函数f(x)的值域； （Ⅱ）若f(x0)835102,)，求f(x01)的值。 33，且x0(第 7 页 共 16 页

19、(本小题满分12分)

APB90，如图，在三棱锥PABC中，

PCPAB60，ABBCCA，平面PAB平面

ABC。

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大

A（Ⅱ）求二面角BAPC的大小。

20、(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2anS2Sn对一切正整数n都成立。 （Ⅰ）求a1，a2的值； （Ⅱ）设a10，数列{lg10a1}的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值。 anB小；

21、(本小题满分12分)

如图，动点M到两定点A(1,0)、B(2,0)构迹为C。

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y2xm与y轴交于点P，

|PR|的取值范围。 |PQ|成MAB，且MBA2MAB，设动点M的轨

yMAOBx与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ||PR|，求

22、(本小题满分14分)

an已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx2与x轴正半轴相交于点A，设f(n)为该抛物线在点A处的

2切线在y轴上的截距。 （Ⅰ）用a和n表示f(n)； （Ⅱ）求对所有n都有

f(n)1n3f(n)1n31成立的a的最小值； （Ⅲ）当n0a1时，比较1f(k)f(2k)与27f(1)f(n)k14f(0)f(1)的大小，并说明理由。

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