考研数学一（填空题）模拟试卷23 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)=在x=0处连续，则a=_________，b=_________。
正确答案：a=一1，b=1 解析：由题设条件因为f(x)在x=0处连续，所以a+4b=3=2b+1，解得a=一1，b=1。 知识模块：函数、极限、连续
2． 已知A=，则A-1=__________。
正确答案：
解析：因为，所以那么A-1= 知识模块：矩阵
3． 若则a=___________，b=___________。
正确答案：1，－4 解析：因为且所以得a=1，于是由等价无穷小代换 得b=－4。因此，a=1，b=－4。 知识模块：函数、极限、连续
4． 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P{X+Y≤1}=__________.
正确答案：1/4 涉及知识点：综合
5． 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份． (1)求先抽取的一份是女生表的概率P=___________； (2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q=___________．
正确答案：29/90,20/61 涉及知识点：综合
6． 交换积分次序：
正确答案： 涉及知识点：高等数学
7． 曲线y2=2x在任意点处的曲率为_______.
正确答案： 解析：用曲率计算公式由y2=2x2yy’=2，y’=1／y，y”=－1／y2y’=－1／y3. 知识模块：高等数学
8． 设f(x)在[a，b]上连续可导，f(a)=f(b)=0，且f2(x)dx=1，则xf(x)f′(x)dx=____________．
正确答案：
解析：因=f(x)f′(x)，所以 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
9． 设函数y=y(x)由e2x＋y—cos(xy)=e一1确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为_________．
正确答案：y=x＋1 解析：当x=0时，y=1，e2x＋y一cos(xy)=e一1两边对x求导得e2x＋y(2+)＋sin(xy)(y+)=0，将x=0，y=1代入得=一2，故所求法线方程为y一1=(x一0)，即y=x+1． 知识模块：高等数学
10． 设函数z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且f(x，y+1)=1+2x+3y+o(ρ)，其中ρ=，则曲面∑：z=f(x，y)在点(0，1)的切平面方程为___________．
正确答案：π：2x+3y一z一2=0
解析：由f(x，y+1)=1+2x+3y+0(ρ)得f(x，y)在点(0，1)处可微，且 而曲面∑：z=f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为n==(2，3，一1)，所以切平面方程为π：2(x—0)+3(y一1)一(z—1)=0，即π：2x+3y一z一2=0． 知识模块：高等数学
11． =______．
正确答案：其中C为任意常数
解析： 知识模块：一元函数积分学
12． 已知χ2～χ2(n)，则E(χ2)＝_______．
正确答案：n
解析：由χ2分布的典型模式χ2＝X12＋X22＋…＋Xn2＝Xi2知，E(χ2)＝E(χi2)，而χi～N(0，1)，且Xi相互独立，由于E(Xi2)＝D(Xi)＋[E(Xi)]2＝1＋0＝1，所以 E(χ2)＝E(Xi2)＝n． 知识模块：概率论与数理统计
13．
正确答案：
解析：由｜a+b｜2=(a+b)(a+b)=｜a｜2+｜b｜2+2ab=13+19+2ab=24，得ab=一4，则｜a—b｜2=(a一b)(a一b)=｜a｜2+｜b｜2一2ab=13+19+8=40．则｜a—b｜=． 知识模块：高等数学部分
14． 过点A(3，2，1)且平行于直线L1：及L2：的平面方程为_________．
正确答案：所求平面为π：一(x一3)+2(y一2)+5(z一1)=0，或π：x一2y
一5z+6=0
解析：直线L1，L2的方向向量为s1=｛1，一2，1｝，s2=｛2，1，0｝，所求平面的法向量为n=s1×s2=｛一1，2，5｝，则所求平面为π：一(x一3)+2(y一2)+5(z一1)=0，或π：x一2y一5z+6=0． 知识模块：高等数学
15． 设L是平面上从圆周x2+y2=a2上一点到圆周x2+y2=b2上一点的一条光滑曲线(a＞0，b＞0)，r=，则I=∫Lr3(xdx+ydy)=_______．
正确答案：1／5(b5－a5) 解析：r3(xdx+ydy)=1／2r3d(x2+y2)=+r3dr2=r4dr=d(1／5r5)，=∫Ld(1／5r5)=1／5r5|r=ar=b=1／5(b5－a5)． 知识模块：高等数学
16． 设二维随机变量(X，Y)在区域上服从均匀分布，则(X，Y)的关于X的边缘概率密度fX(x)在点x=e处的值为__________．
正确答案：
解析：D如图3—2阴影部分所示，它的面积所以(X，Y)的概率密度为 知识模块：概率与数理统计
17． 设函数f(x)在[2，+∞)上可导且f(2)=1，如果f(x)的反函数g(x)满足=x2f(x)+x，则f(4)=_____．
正确答案：
解析：当x≥2时，将已知方程两边对x求导得 g[f(x)]f’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，因为g(x)是f(x)的反函数，所以g[f(x)]=x，于是，上式可写成 xf’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，即 (x2-x)f’(x)+2xf(x)=-1，这是一个一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程的通解公式，有由f(2)=1，得C=3-ln2，所以于是 知识模块：高等数学
18． 已知A=，且AXA*=B，r(X)=2，则a=______。
正确答案：0
解析：根据A可逆可知，其伴随矩阵A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得｜B｜=0，则 知识模块：线性代数
19． 设随机变量x～N(μ，σ2)，且方程x2+4x＋X=0无实根的概率为，则μ=_______．
正确答案：4 解析：因为方程x2+4x+X=0无实根，所以16—4X＜0，即X＞4．由X～N(μ，σ2)且P(x＞4)=，得μ=4． 知识模块：概率统计
20． 设(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则P{X＜y}=_________。
正确答案：
解析：因为(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，所以X—Y～N(0，2σ2)，从而P{X＜Y}=P{X—Y＜0}=。 知识模块：多维随机变量及其分布
21． 设f(x)连续，且=_________．
正确答案：1
解析：∫0xtf(x—t)dt∫x0(x一μ)f(μ)(一dμ)=x∫0xf(μ)dμ—∫0xμf(μ)dμ，∫0x(x一t)2dt∫x0arctanμ2(一du)=∫0xarctanμ2dμ， 知识模块：高等数学
22． 微分方程y”-4y=e2x的通解为________.
正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点：一元函数微分学
23． 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_________
正确答案：
解析：Ai表示“第i次取的是次品”，i=1，2．则有 知识模块：概率论与数理统计
24． 设A，B都是三阶矩阵，A=，且满足(A*)－1B=ABA+2A2，则B=_______．
正确答案：
解析：｜A｜=一3，A*=｜A｜A－1=一3A－1，则(A*)－1B=ABA+2A2化为AB=ABA+2A2，注意到A可逆，得B=BA＋2A或一B=3BA+6A，则B=一6A(E＋3A)－1，E＋3A= 知识模块：线性代数
25．
正确答案：1/3
解析： 知识模块：综合
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