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一、 整数、分数、小数和百分数的有关概念
（一）数的意义、读写和大小比较
1．学习要点
（1）0也是自然数，自然数都是整数。
（2）人们在数物体的过程中，用来表示物体个数的1、2、3、4、5„„叫做自然数。 （3）把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫做分数。
[单位“1”的意义与自然数1的意义并不完全相同，单位“1”不仅可以表示数量（1元，1千克„„），还可以表示一个整体（如：一个班的人数，一筐苹果的个数„„）。]分数的单位是几分之一 [分数的单位是不固定的，分母不同，分数单位就不同；而自然数的基本单位是“1”，是固定的。] （4）两个数相除，它的商可以用分数表示，如a÷b=
a b≠0）[分数是一个数，除法是一种运算] b（5）把单位“1”平均分成10份，100份，1000份„„这样的一份或几份是十分之几，百分之几，
千分之几„„可以用小数表示。
（6）表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。百分数通常用“%”
来表示。
（7）整数的读法；从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几
个0都有只读一个零。
（8）整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就出那个数位上
写0。[读写较大的整数时，先分级，再一级一级地读写。] 2．讨论
（1）真分数、假分数和带分数间的关系，可用下图表示。
真分数： 分数 假分数：
整数： 带分数：
（2）看图填空。
阴影部分占（ ），空白部分占（ ），分数单位是（ ），阴影部分有（ ）个这样的分数单位。阴影部分是空白部分的( )。
( ) 1
( )
分数 小数
( ) 填在右表中。
（4）一个数由5个十万，6个千，2个十，4个
百分之一组成，这个数是（ ）， 百分数 （3）说一说分数、小数、百分数的互化方法，
读作（ ）。 （5）怎样比较整数、小数的大小？怎样比较分数的大小？在下面的（ ）里填上“>”、“<”或“=”。 4557264（ ）987543 164.75（ ）164.82 3．训练指导 （1）填空。
① 1里面有（ ）个0.1，有（ ）个0.01。 2里面有（ ）个0.001。 ② 三个连续的自然数的和是57，这三个自然数分别是（ ）、（ ）和（ ）。 ③ 247.2缩小100倍是（ ），3.602扩大10000倍是（ ）。 ④ 图中阴影部分占
244（ ） 2.74（ ）2（ ）3 9135( )( )，分数单位是，有（ ）个这样的分数单位。 ( )( )⑤ 62的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位，增加（ ）个这样的分数单位后结3果等于8。
⑥ 一辆汽车每小时行45千米，一架飞机每小时飞行675千米。汽车的速度是飞机速度的机的速度是汽车速度的（ ）倍。（比较问题有什么不同，列式计算又有什么不同。） ⑦ 六年（1）男生人数是女生人数的3，女生人数是男生人数的（ ）倍，男生人数占全班人
5数的
，飞( )，女生人数占全班人数的（ ）%。（关键找出谁跟谁比，谁是单位“1”。） ( )⑧ 分数单位是1的最简真分数有（ ），最小的假分数是（ ），
9最小的带分数是（ ）。
⑨ 把0.42、40.1%、4、4用小于号连结起来。 （ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ）
9⑩ 4.596≈（ ）（保留两位小数） 643005400≈（ ）亿
138002读作（ ），二千五百点零零八写作（ ）。 （读写较大的数，先分级，再读写）
2
（2）判断题：（对的在括号里打“√”，错的打“×”。）
① 最小的整数是1。 （ ） ② 假分数一定大于1。 （ ） ③ 合格率最大是100%，不会超过100% 。 （ ） ④ 35不能化成有限小数，因为分母有质因数7。 （ ）
36⑤ 六（2）班今天到校49人，1人病假，出勤率是98%。 （ ） （3）选择题。（把正确答案的代号填写在括号里。）
① 一个数保留一位小数，表示精确到（ ）。 [A．十分位 B．百分位 C．千分位] ② 把4米长的绳子平均分成5段，每段长占全长的（ ）。 [A．1， B．4， C．1]
554③ 一根长3米的绳子，用去1，还剩（ ）米。 [A．23， B．3， C．21]
4444④ 大于5而小于5.5的小数有（ ）。 [A．三个， B．四个， C．无数个] ⑤ 5的分母加24，要使分数大小不变，分子应加上（ ）。 [A．24 B．10， C．15]
12⑥ （ ）能化成有限小数。 [A．4， B．9， C．2]
15187⑦ 小明从家到学校要走1小时，3分钟可走全程的（ ）。 [A． 1， B．1， C．1]
5434⑧ 甲数的3等于乙数的3，乙数（ ）甲数。（甲、乙两数都不等于零）[A.大于 B.小于 C.等于]
45
（二）数的整除和分数、小数的基本性质
1．学习要点
（1）数的整除有关的概念和相互关系。
（理解和熟记整除的有关概念， 并注意区分它们之间的异同， 为以后的学习打好基础。）
（2）小数的末尾添上“0”或去掉“0”，
小数的大小不变。这是小数的性质。 （3）分数的分子和分母同时乘上或除以
能被2、3、5整除的数的特征 奇数
能否被2整除 整除 偶数
倍数───公倍数───最小公倍数 互质数
短 约数───公约数───最大公约数 除法 质数
约数个数 合数───分解质因数 相同的数（零除外），分数的大小不变， 这是分数的基本性质。 2．讨论
3
1
（1）①分别说说能被2、3、5整除的数的特征。
②把12、25、30、52、105、147按要求填在空格里。 能被2整除 能被2、3整除 能被2、5整除 能被3整除 能被5整除 能被2、3、5整除 （2）① 说一说求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法。
② 求18和24的最大公约数和最小公倍数。
2 18 24 2 18 24 3 9 12 3 9 12 3 4 3 4
18和24的最大公约数是2×3＝6 18和24的最小公倍数是2×3×3×4＝72 想一想：求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法
相同的： 不同的： ③ 9和10的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。 16和48的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。 1和4的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
（试试小结以上两个特殊关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法。） 3.训练指导 （1）填空：
① 51÷3=17，我们说（ ）能被（ ）整除，（ ）能整除（ ）。 ② 能同时被2、3、5整除的最小两位数是（ ）。
③ 12和42的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
④ 24的所有约数是（ ），其中质数有（ ），合数有（ ），
既不是质数，又不是合数的有（ ），把24分解质因数是24＝（ ）。 ⑤ （ ）÷20＝
424＝＝（ ）%＝（ ）（小数） ( )5（2）判断题：（对的在括号里打“√”，错的打“×”。）
① 所有的自然数不是偶数就是奇数。 （ ） ② 13和91是互质数。 （ ） ③ a、b和c是三个不为0的自然数，在a×b＝c中，c一定是a和b的倍数。（ ） ④ 互质的两个数是没有公约数的。 （ ）
4
（3）选择题。（把正确答案的代号填写在括号里。）
① 一个合数至少有（ ）个约数。 A．2个， B．3个， C．1个 ② 9和45的最小公倍数是（ ）。 A． 9， B．45， C．405 ③ 下面的算式中，整除的算式是（ ）。 A．2.4÷0.4＝6， B．11÷2＝5.5，C．46÷23＝2 ④ 28和63的（ ）是7。 A．最大公约数， B．最小公倍数， C．公倍数 ⑤ 能被2、3、5整除的最大三位数是（ ）。 A． 999， B．990， C．995
二、 整数、小数、分数的四则运算
（一）四则运算的意义、法则及运算定律与简便算法
1.学习要点
（1）四则运算的意义。（略） （2）有关0和1的运算。
（3）加减法、乘除法各部分之间的关系。（略） （4）主要的运算定律、性质。
① 加法交换律：a+b=b+a
② 加法结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) ③ 乘法交换律：ab=ba
④ 乘法结合律：a·b·c=(a·b)·c=a·(b·c) ⑤ 乘法分配律：a·(b+c)=ab+bc ⑥ 减法的性质：a-b-c=a-(b+c)
⑦ 商不变性质：a÷b=(a÷n) ÷(b÷n)=(a×m)÷(b×m) （b、m、n都不等于0）
（熟记运算定律和性质，并能在计算中灵活运用，可以提高计算能力。）
2.讨论
下面各题用简便方法计算，说说运用了什么定律、性质。 （1） 125×（8＋
425） （2） 15.97－（5.97＋9.8） ＝125×8＋125×425 运用（ ） ＝15.97－5.97－9.8
＝1000＋20 ＝10－9.8 ＝1020 ＝0.2
（3） 2.4×7.6－7.6×1.4 （4） 47.6＋9.8
＝（2.4－1.4）×7.6 运用（ ） ＝47.6＋10－0.2 ＝1×7.6 ＝57.6－0.2 ＝7.6 ＝57.4 3.训练指导
5
（1）直接写出得数
43+67= 193-88= 4.72+1.5= 2.7×1000= 0.8×
2111+= 4÷4= 0×163= 32223= 0.125×8= 1.3×0.6= 4.2-2= 42÷0.01= 8（2）怎样简便就怎样算。 ① 3
④ 9.5×8.8＋9.5×1.2 ⑤ ⑦
2715536＋1＋4＋ ② 4－（3－） ③ 72.1×101 997667755353×＋× ⑥ ×99 1288124887819÷－× ⑧ 2001× 15315320（二）整数、小数、分数四则运算
1．学习要点
整数、小数、分数四则混合运算的顺序、计算方法。（略）
[数、小数、分数四则混合运算时，要认真审题（运算符号、数字）、分析运算顺序，选择合理、灵活、简便的方法进行计算，最后注意检查、验算等。]
2．讨论：先说说下面各题的运算顺序和运算方法，然后才进行计算。
1351÷[×（＋）] 24124132 = 1.5×（0.6＋8） = ÷[×]
24311 = 1.5×8.6 = ÷
22 （1） 1.5×（0.6＋2.4÷0.3） （2） = 12.9 = 1
3．训练指导
（1）直接写出得数。
414411÷0.8= ×36= ×= 1.5×6= 7.5+0.75= －= 545534
6
5= 3.5×4= 5－0.5= 4.8÷6= 8×5.5= 7.5÷1.5= 1673138×= －0= 4÷= ÷9=
164541÷
（2）计算。（能用简便方法算的，要用简便方法算。） ① ④
23333433537×(1÷－÷1) ② (－)÷(－) ③ ×＋× 7445105105125121121121415151－×＋ ⑤ (×＋)÷ ⑥ －×(－) 2235351538382
(3)列式计算。 ①
72153减去与的积，所得的差除以，商是多少？ ② 60减去40的75%，差是多少？ 65147（三）简 易 方 程
1．学习要点
（1）方程的意义。
① 方程：含有未知数的等式，叫做方程。
② 方程的解：使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 ③ 解方程：求方程的解的过程，叫做解方程。
（2）解方程的依据：加法、减法、乘法、除法各部分的关系。（略） 2．讨论 （1）解方程
15－2x=325 （2）一个数的60%比54的少3，这个数是多少？
955－60%X=3 9解： 2x=15－3.4 解：设这个数为x。
x=11.6÷2 54×
x=5.8 60%X=30－3 (说一说每步的计算依据) X= X=
7
3．训练指导 （1）解方程。 ① 1÷x=
3 ② 3.75x－2=1.75 ③ 4x＋3×7=65 ④ 0.5x－0.5=6.5 7
（2）列方程并解方程。
① 比一个数的80%多4的数是22.4，求这个数。 ② 一个数的
3比16少2.2，求这个数。 4三、比 和 比 例
（一）比 和 比 例
1．学习要点
（1）比和比例的有关概念和知识要点。
比的意义——比与分数、除法的关系——求比值 比 比的基本性质——化简比
比 判断能否组成比例
和 比例的意义 正比例意义——→判断 比 比例 反比例意义——→判断 例 比例的基本性质——→解比例 比例尺
应用题 按比例分配
用正、反比例解应用题
（2）理解和掌握比和比例的有关概念，（说一说有关概念：比一比，找出这些概念之间有什么相同
与不同。）
2．讨论
（1）比与分数、除法的关系 比 除法 分数
8
相 当 部 分 前项 比号(：) 后项 比值 区别：比是指两个数量间的倍数关系。
除法是一种运算。 分数是一种数。
（2）求比值与化简比的区别。
① 求51：1.7的比值。 ② 把5.2：2.6化简 51：1.7=51÷1.7=30 5.2：2.6=（5.2÷2.6）：（2.6÷2.6）=2：1
（比值是一个数，可以用小数、 （化简比的最后结果仍是一个比，不能用小数、 整数或带分数来表示。） 整数或带分数来表示。） （3）解比例。
① x：16=1.5：8 ② 解： 8x=16×1.5
8x=24 x=3
3．训练指导 （1）填空： ① 7：8=
解： 2142= x16( )=（ ）% 24② 把6.4：1.6化成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。 ③ 比的（ ）都乘上或者除以相同的数（零除外），比值不变。 ④ 根据3×24=18×4，写成一个比例是（ ）：（ ）=（ ）：（ ）。
⑤ 六年级男生人数比女生人数少20%，男生人数与女生人数的最简单的整数比是（ ）：（ ）。 （2）选择题。（把正确答案的序号填在括号里。）
1， B．30：1， C．30] 302244② 把3.6小时：45分钟化成最简单的整数比是（ ）。 [A． ， B．， C．4]
2555① 1.5：0.05的比值是（ ）。 [A．
③ 表示两个比相等的式子叫做（ ）。 [A． 比， B．比值， C．比例] ④ 从甲城到乙城，客车行了5小时，货车行了6小时，客车与货车速度的比是（ ）。
[A． 5：6， B．6：5， C．3：2]
⑤ 把一个圆柱体木料加工成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积和原来圆柱体体积的比是（ ）。
[A． 1：3， B．3：1， C．1：2] （3）求下面各比的比值。
33： 1.7：0.4 0.125：5 57
（4）化简下面各比。
24：72 8.5：1.7 1：0.9
（5）解比例。
9
15x7= 5.4：0.3=3.6：x ：=x：0.9
361632（二）比例尺和按比例分配
1．学习要点
（1）比例尺：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即：图上距离：实际距离=比例尺 （2）比例尺的分类：数字比例尺和线段比例尺。
（3）比例尺的应用（根据图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系解决有关的应用题。） （4）按比例分配：把一个总量按照一定的比分成若干部分量，叫做按比例分配。
2．讨论：
（1）在一幅地图上，用12厘米长的线段表示实际距离36千米。①求这幅地图的比例尺。②要这幅地图上如果甲乙两地的距离是7.5厘米，实际距离是多少千米？
① 12厘米：36千米 ② 解：设甲乙两地的距离是x千米。
=12厘米：3600000厘米
7.51= x300000=12：3600000 x=7.5×300000 =1：300000（或
1） x=2250000
3000002250000厘米=22.5千米
（注意：正确处理单位名称）
答：这幅地图的比例尺是
1，甲乙两地的实际距离是22.5千米。
300000（2）光明小学六年级有学生150人，其中男生人数与女生人数的比是2：3，六年级男、女生人数
各有多少人？
想一想：这道题还可以有其它方法解答吗？
2+3=5 2=60（人） 53150×=90（人）
5150×
答：六年级男生有60人，女生有90人。
（解这类应用题的方法：先求出总份数，再求出各部分占总量的几分之几，最后根据求一个数的几分之几是多少？分别求出各个部分量，验算。）
3．训练指导 （1）填空题
① 一幅地图，用2厘米长的线段表示40千米的实际距离，这幅地图的比例尺是（ ）。 ② 在比例尺是
1的中国地图上，量得北京到广州的距离约是7厘米，北京到广州的实
30000000际距离约是（ ）千米；北京到上海的实际距离约是1050千米，在这幅地图上量得图上距离约是（ ）厘米。
③ 一个三角形的周长是60厘米，已知这个三角形三条边的长度的比是3：4：5，三条边的长各是（ ）厘米、（ ）厘米和（ ）厘米。 ④ 把线段比例尺
0 5 10 15 20 25千米
改写成数字比例尺是（ ）。
10
（2）一个鱼塘按5：2放养白鱼和青鱼，放养 （3）一个粮食加工厂上午工作4小时，下午 的白鱼和青鱼共2800尾，白鱼、青鱼各养了 工作3小时，共加工白米21000千克。这 多少尾？ 个加工厂上、下午各加工白米多少千克？
△（4）东、西两港口相距175千米，甲、乙两艘轮船同时从两港相对开出，经5小时相遇，已知甲、乙两船速度的比是4：3，求甲、乙两船的速度。
（三）正、反比例的意义和应用题
1．学习要点：
（1）正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。[
y=k（一定）] x（2）反比例： （比较正比例与反比例关系的相同与不同）
（3）判断两种量成不成比例，成什么比例的方法。 （4）用比例方法解应用题的步骤。
① 弄清题意，找出题目中的书籍条件和要求的问题。 ② 确定两种相关联的量成什么比例关系；
③ 设未知数x，按正（反）比例的意义列出方程，解方程； ④ 检验，写出答案。
2．讨论：
（1）判断下面每题中的两种量成什么比例。
① 每小时织布米数一定，织布总米数和时间。
分析： 已知每小时织布米数一定，就是织布总米数和时间的比的比值是一定的，所以织布总米
数和时间成正比例。
织布总米数=每小时织布米数（一定）
时间② 施肥总量一定，每公顷施肥量和施肥的公顷数。（说出分析方法和分析过程）
11
（2）用100千克小麦可以磨出75千克面粉，照样计算，要磨面粉13.5吨，需要小麦多少吨？（用两种方法解答）
解：设需要小麦x吨。 （用算术方法解）
13.575= x10013.5100 x=
75x=18
答：需要小麦18吨。
（比较：算术方法与比例方法解有什么相同与不同）
3．训练指导。 （1）填空。
① 路程一定，速度和时间成（ ）比例。
② 出油率一定，花生油的重量与花生的重量成（ ）比例。 ③ 被减数一定，减数和差（ ）比例。 （2）选择题。（把正确答案的序号填在括号里。） ① 圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高（ ）。[A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例] ② 长方形的周长一定，长和宽（ ）。 [A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例] （3）用比例方法解答应用题。
① 包装一批铅笔盒，如果每盒装36个，可以
装250盒。如果每盒装50个，可以装多少盒？
③ 100克蜂蜜约含葡萄糖35克，照这样计算，16千克蜂蜜含有多少千克葡萄糖？
② 小岭乡要挖一条水渠，全长1800米。6
天挖了450米，照这样计算，这条水渠总共要多少天挖完？
③ 某校男生人数与女生人数的比是9：10，
已知女生有190人，男生有多少人？（你能用几种方法解就用几种方法解）
四、应 用 题
（一）一般复合应用题
1．学习要点：
一般复合应用题是指不具备特定的解答规律的要用两步或两步以上的运算才能解答的应用题。要正确解答一般复合应用题，必须熟练地掌握简单应用题的数量关系，掌握综合法、分析法等思维方法。在解答应用题时，一般按下面的步骤进行：
12
6、 弄清题意，找出已知条件和所求的问题；
6、 分析题目里数量之间的关系，确定先算什么，再算什么，……最后算什么； 6、 确定每步应怎样算，列出式子，算出得数； 6、 进行检查或验算，写出答案。
2．讨论：
（1）水果店运来苹果150千克，雪梨120千克。
问题：①水果店运来苹果和雪梨共多少千克？算式：______________________________________ 还可以提出什么问题？（编成一、两步计算应用题）
________________________________________ ____________________________________ ________________________________________ ____________________________________ ________________________________________ ____________________________________ （2）一个服装厂原来做一套儿童校服用布2米，现在改进了裁剪方法，每套节约用布0.2米。原来做360套儿童校服的布，现在可以做多少套？ 分析：题目求原来做360套儿童校服的布，现在可以做多少套？就要知道（ ），
还要知道（ ）。原来做360套校服用布米数是（ ）米，现在每套用布米数是（ ）米，所以现在可以做的套数是： 想一想：还可以怎样列式计算？
2×360÷(2－0.2) ＝720÷1.8 ＝400(套)
答：现在可以做400套。
（3）一本书共有480页，小明计划15天读完，实际每天比计划多读8页。照这样算，小明几天可
以读完这本书？ 分析： 要求小明几天可以读完这本书，先要求出（ ）？
480÷(480÷15＋8) ＝480÷(32＋8) ＝480÷40 ＝12（天）
答：小明12天可以读完这本书。
3．训练指导：
（1）只列式不计算。
① 一个化肥厂全年计划生产化肥13.2万吨，实际每月生产1.32万吨，照这样计算，可以提
前几个月完成任务？列式：（ ） ② 食堂运来煤2.4吨，计划烧30天。实际多烧了10天，实际每天烧煤多少千克？
列式：（ ）
③ 童心玩具厂计划生产一批玩具小熊，生产了6天，每天生产240打，还差270打未完成，
计划生产玩具小熊多少打？列式：（ ）
（2）解答下列应用题。
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① 某花卉种植场卖出同样价钱的盆花，甲公
园买了250盆，乙公园买了460盆，乙公园比甲公园多付630元，甲公园和乙公园应各付多少元？
③ 投影机厂生产一批投影机，计划每天生产
120台，20天完成任务。实际每天多生产30台，实际多少天完成任务？
② 解放军某部进行野营训练。原计划15天行
军525千米。实际提前1天行完了原定路程，实际平均每天行多少千米？
④ 某厂计划35天加工8400个家电零件，实
际每天比计划多生产40个，照这样计算，实际多少天完成任务？
（二）相遇问题和求平均数问题的应用题
1．学习要点：
（1）相遇问题应用题的特点是：
两个不同速度的物体同时从两地相向而行，在途中相遇，两个运动物体所用时间相同，两地的距离等于两个物体所走路程的和。（画线段图帮助分析较复杂的相遇问题） 基本数量关系式是：
速度和×相遇时间＝相距路程 相距路程÷相遇时间＝速度和 相距路程÷速度和＝相遇时间
2．讨论：
（1） 两列火车同时从广州、北京两站相对开出，从广州开出的火车每小时行108.5千米，从北京
开出的火车每小时行11111千米，10小时后两车相遇。广州到北京的铁路长多少千米？ 22分析： 要求广州、北京两站相距多少千米？先求两列火车每小时共走多少千米（即速度和）？ （108.5+111 =220×1011）×10 221 2 =2310（千米）
答：广州到北京铁路长2310千米。
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（2）一台拖拉机第一天耕地8小时，共耕地5.1公顷，第二天耕地7小时，共耕地4.8公顷。
① 平均每天耕地多少公顷？ ② 这两天平均每小时耕地多少公顷？ （5.1+4.8）÷2 （5.1+4.8）÷（8+7） =9.9÷2 =9.9÷2
=4.95（公顷） =0.66（公顷） 答：平均每天耕地4.95公顷，平均每小时耕地0.66公顷。 （比较：问题有什么不同？相应的算式又有什么不同？）
3．训练指导：
（1）筑路队铺一段公路，两队工人同时各从一端铺起，一队每天铺75米，另一队每天铺80米，14天铺完，这段公路长多少米？
（3）一列快车从甲站到乙站，每小时行驶95千米，一列慢车同时从乙站开往甲站，每小时行驶85千米，经4时30分，两车还差50千米才相遇。甲、乙两站的距离是多少千米？
（2）两辆汽车从相距780千米的甲、乙两城同时相对开出，经过6.5小时两车在途中相遇。从甲城开出的汽车每小时行56千米，从乙城开出的汽车每小时行多少千米？
（4）甲、乙两人加工670个睡袋。甲每小时加工35个，加工了2小时后，余下由乙做，乙每小时加工40个，还要几小时才能完成任务？
（5）五、六年级收集废纸。五年级45人，平均 （6）王苹语文、数学、英语三科考试的平均 每人收集1.4千克；六年级43人，共收集86.6千 成绩是95分，数学考试的成绩是100分， 克。五、六年级平均每人收集废纸多少千克？ 语文、英语两科的平均成绩是多少分？
（三）列方程解应用题
1．学习要点：
列方程解应用题的关键是找出题目中数量间的相等关系。解答的一般步骤是：（1）弄清题意，找出未知数并用X表示；（2）找出应用题中数量间的相等关系，列方程；（3）解方程；（4）检查，写出答语。
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2．讨论：
果园里有苹果树450棵，比梨树的3倍还多54棵。果园里有梨树多少棵？
分析：苹果树比梨树的3倍还多54棵。即：梨树棵数的3倍＋54棵＝苹果树棵数。 解：设梨树有x棵。 3x＋54＝450
3 x＝450－54 x＝132
答：梨树有132棵。
3．训练指导：（用方程解） （1）某机床厂今年第一季度生产车床198台，比去年第一季度产量的2倍少36台，去年第一季度生产车床是多少台？
（3）10筐梨的重量比8筐苹果的重量多50千克，每筐梨重23千克，平均每筐苹果重多少千克？
（2）甲、乙两个仓库，甲仓存粮52吨，如果从甲仓运出8吨到乙仓，甲、乙两仓存粮就相等。乙仓原来存粮多少吨？
（4）王叔叔今年32岁，比李明年龄的6倍多2岁，李明今年几岁？
（四）求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）
1． 学习要点：
求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）的应用题，解题关键是抓好对问题的分析，弄清题目总是是谁与谁比。与谁比，谁就是单位“1”的量（即标准量）。通常是与谁比，就把谁看作除数（或分母），然后弄清题目求哪一个量是单位“1”的几分之几（或百分之几），就用这个量去除以单位“1”的量。 2． 讨论：
（1） 参加科技夏令营的男生300人，女生240人。① 女生人数是男生人数的百分之几？
② 男生人数比女生人数多百分之几？ ③ 女生人数比男生人数少百分之几？
分析：① 求女生人数是男生人数的百分之几，就是把男生人数看作单位“1”的量（标准量），求女
生人数是单位“1”的百分之几？
240÷300=0.8=80%
答：女生人数是男生人数的80%。
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② 求男生人数比女生人数多百分之几，就是把（ ）看作单位“1”的量。求
男生人数比女生多的人数是单位“1”的百分之几？
（300-240）÷240 =60÷240 =0.25
=25%
答：男生人数比女生人数多25%。
③求女生人数比男生人数少百分之几，就是把 求 ？
列式：
答：
（2） 六年（1）班今天到校上课有48人，有2人请假，求这天的出勤率。 分析：求出勤率就是求这天到校上课的人数占全班人数的百分之几。
48×100%=0.96×100%=96%
482答：这天的出勤率是96%。
3．训练指导：
（1）六年级游泳队有女生12人，男生15人。（根据条件，把问题补充完整，然后再列式解答。）
①__________________________百分之几？ ②___________________________百分之几？ ③__________________________百分之几？ ④___________________________百分之几？ ⑤__________________________百分之几？ ⑥___________________________百分之几？ （2） ①光明牌录音机原来每台售价125元， 现在每台降低了25元，降低了百分之几？
（5）某林场培育树苗，成活的有1820
棵，不能成活的有180棵，求成活率。
（3）工人师傅进行技术改革，制造每个零件所用的时间由原来的4分减少到2.5分。现在制造每个零件的时间比原来缩短了百分之几？
② 光明牌录音机现在每台售价100元，比原来每台售价降低25元，降低了百分之几？
（6）张师傅四月份计划生产1500个零
件，实际上半月完成了计划的48%，下
半月完成900个，张师傅实际全月比计
划超产百分之几？
（4）用1050千克的花生仁可榨油441千克，求花生仁的出油率。
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（五）“求一个数的几（百）分之几是多少”
和“已知一个数的几（百）分之几是多少，求这个数。”
1． 学习要点：
解答这两类分数、百分数应用题，要在全面理解题意的基础上，从分率关系句分析，确定单位“1”的量（标准量），联系已知条件和问题，再根据分数乘法的意义列出算式或方程解答。 2． 讨论：
（1）某工厂有女职工120人，男职工人数比女职工人数多分析：“男职工人数比女职工多
2，男职工有多少人？ 522” 120（1+） 557就是把女职工人数看作“1”， =120×
52男职工人数相当于女职工人数的（1+）， =168（人）
52求男职工人数，就是求120的（1+）是多少。 答：男职工有168人。
5（2）修一条水渠，第一期工程完成了全长的25%，第二期工程完成了全长的35%，还剩下2400米。
这条水渠全长多少米？
分析：分率关系句“第一期工程完成了全长的25%，第二期工程完成了全长的35%”，都是把
水渠全长看作“1”，剩下没有修的占水渠全长的（1－25%－35%），也就是说水渠全长的（1－25%－35%）是2400米。
解法一：（列方程解） 解法二：（算术方法解）
解：设水渠全长x米，依题意得： 解：设水渠全长x米，依题意得： x×（1－25%－35%）=2400 2400÷（1－25%－35%）
0.4x=2400 =2400÷0.4 x=6000 =6000（米）
答：这条水渠全长6000米。
想一想：还可以怎样列方程解。
3．训练指导：
（1）育英小学有女生460人，男生人数是女生
人数的95%，这所小学共有学生多少人？
（3）红星农场去年种甘蔗20公顷，平均每公顷产甘蔗120吨，已知甘蔗的出糖率是14%，这个农场去年收的甘蔗可榨糖多少吨？
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（2）创新机床厂去年生产机器2808台，比前年产量多4，前年生产机器多少台？ 5 （4）把一根长750厘米的电线剪成两段。较长的一段是较短一段的150%，较长的一段是多少厘米？ （5）三个中队的少先队员植树，第一中队植树的棵数占总数的
42，第二中队植树的棵树占总数的，155其余的由第三中队植完。根据下面的条件和问题，分别进行解答：
① 三个中队共植树60棵，第三中队植树多少棵？ ② 第一中队和第二中队共植树60棵，
三个中队共植树多少棵？
③ 第三中队植树60棵，三个中队共植树多少棵？ ④ 第一中队比第二中队少植树60棵， 三个中队共植树多少棵？
⑤ 第一中队植树60棵，第二中队植树多少棵？
（6） 甲、乙两队民工合修一段防洪堤坝，完工时甲队修了全长的（7） ①一桶油，第一次用去总数的30%，第二次用去总数的45%，还剩下20千克，这桶油原来重多少千克？
③一桶油，第一次用去总数的30%，第二次用去36千克，两次共用去60千克。这桶油原来重多少千克？
5，比乙队7多修了210米。这段堤坝全长多少米？ ② 一桶油，第一次用去总数的30%，第二次用去36千克，还剩下20千克。这桶油原来重多少千克？
（8）智强把500元钱存入银行，定期两年，年利率是2.25%，国家规定，存款的利息要按20%的税率纳税。到期时他一共能取得税后利息和本金共多少元？
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（9）保管站里停放着自行车320辆，摩托车辆数的41相当于自行车辆数的，保管站里45停放着摩托车多少辆？ （11）水果店里有柑和橙一共340千克，已知柑的重量比橙的重量的1少5千克，水果2店里柑、橙各有多少千克？ （10）王大伯买了20000元国债，定期3年，如果年利率是3.02%，到期时他可获得利息多少元？
（12）某班一次体标测验，不合格人数与合格人数的比是1：9，后来补测，2人由不合格改为合格，这时体标合格率是94%，这个班有学生多少人？
（六）工 程 问 题
1．学习要点：
工程问题应用题的特征：题目中没有给出工作总量和工作效率的实际数量。解题方法：把工作总量看作“1”，如果几天完成任务，工作效率就是几分之一。数量关系：工作总量、工作效率、工作时间三者之间的数量关系。 2．讨论：
（1）一项工程，甲队单独做15天完成，乙队单独根据“工作总量÷工作效率=工作时间” 做10天完成。现在甲、乙两队合做，多少天完成？ 111÷（+） 1510想：把（ ）看作“1”，甲队每天完成这
= 项工程的
( )( )，乙队每天完成这项工程的，( )( )=
答：_______________________________
两队合做，每天可以完成这项工程的[
( )( )+]。 ( )( )（2）试一试，下面这道题怎样解答。
一项工程，甲队单独做15天完成，乙队单独做10天完成。现在甲、乙两队合做1天，余下的由乙队独做，乙队还要做多少天？
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3．训练指导： （1）填空。
一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做8天完成。①甲队每天完成这项工程的
( )，( )乙队每天完成这项工程的( )；②乙队做3天，完成这项工程的( )；③甲、乙两队合做2天，还
( )( )剩下这项工程的( )未完成。④甲、乙两队合做，（ ）天完成。
( )（2）打印一份稿件由一人完成，甲打字员要12小时，乙打字员要15小时，丙打字员要20小时。如果3人合打，几小时可以完成这份稿件的 （3）装订一批课本，甲小组独做10天完成，乙小组独做12天完成。现甲小组完成1后，124？ 5然后甲、乙两小组合做，还要几天完成？
五、计 量 单 位
1．学习要点：
（1）计量单位的进率
1000 10 10 10
① 长度单位：千米──→米─→分米─→厘米─→毫米
100 10000 100 100
② 面积单位：平方千米──→公顷──→平方米──→平方分米──→平方厘米 1000 1000
③ 体积单位：立方米──→立方分米──→立方厘米 ┇ ┇
1000
升 ──→ 毫米
10 10 ④ 人民币单位：元─→角─→分1000 1000
⑤ 重量单位：吨──→千克──→克 24 60 60
⑥ 时间单位：日─→时─→分─→秒 （2）计量单位的化聚方法。
① 高级单位的单名数化低级单位的单名数，进率乘上高级单位数。 ② 低级单位的单名数聚高级单位的单名数，低级单位数除以进率。 2．讨论：
（1） 2.4立方米=（ ）立方分米 23时=（ ）时（ ）分 5（2） 4800千克=（ ）吨 13平方分米8平方厘米=（ ）平方分米 3．训练指导：
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（1）选择适当的单位填在括号里。 ① 一支圆珠笔长25（ ）。（米、分米、厘米） ② 一个鸡蛋约重50（ ）。（吨、千克、克） ③ 一间课室的占地面积约为56（ ）。（平方米、平方分米、平方厘米） ④ 一个铅笔盒的体积约为0.8（ ）。（立方米、立方分米、立方厘米） ⑤ 一套书桌约130（ ）。（元、角、分） ⑥ 一节课40（ ）。（时、分、秒） （2）填空：
6吨45千克=（ ）吨 3时15分=（ ）时
8.5升=（ ）立方分米 5.07千米=（ ）千米（ ）米
21时=（ ）时（ ）分 9平方米5平方分米=（ ）平方米 35300平方米=（ ）公顷 0.8升=（ ）毫升=（ ）立方厘米 7千克2克=（ ）千克 4.3吨=（ ）千克 9平方分米9平方厘米=（ ）平方分米=（ ）平方厘米
六、几何初步知识
（一）平面图形
1．学习要点：
（1）几种常见平面图形的名称、特征及周长和面积公式。
对边相等 两组对边分别
四个角都是直角 平行并且相等
平行四长方形
b ────→ h S = ah
边形
a a C=2×(a+b) S=ab 四边相等 只有一组 有三条边 四个角都是直角 对边平行 三个角
a h梯形 b h 三角形
a a
(ab)hah C=4a S= S=
22 S=a2
（2）在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径等于半径的2倍，即d=2r。
（3）圆的周长计算公式：C=πd=2πr 圆的面积计算公式：S=πr 2．讨论：
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2 正方形 a a （1）用圆规画一个半径是2厘米的圆，用o、r、d分别表示圆的圆心、半径、直径。并求出圆的周长和面积。
（2）求下图阴影部分的面积。
5米 8米 3．训练指导： （1）填空：
① 正方形的边长是3厘米，它的面积是（ ），它的周长是（ ）。 ② 直角三角形的两条直角边分别是7厘米和4厘米，它的面积是（ ）。 ③ 一个平行四边形的底是5分米，高是3分米，它的面积是（ ）。 ④ 一个食糖上底是2米，下底4米，高是3米，它的面积是（ ）。 （2）判断题。（对的在括号里写“√”，错的写“×”。）
① 通过圆心的线段叫做直径。 （ ） ② 同一个圆里所有的直径都相等，半径是直径的一半。 （ ） ③ 三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （ ） （3）一个大钟，它的分针长40厘米，经过一小时，这根分针的尖端转动了多少厘米？经过1小时，这根分针转动过的面积是多少平方厘米？
（5）在一个长是5分米，宽是4分米的长方形里剪下一个最大的圆形，剪去的面积
（4）火车主动轮的直径是1.5米，平均每分钟转400转，这列火车每小时走多少千米？
（6）一个圆环，外直径是10厘米，内直径是6厘米，这个圆环的面积是多少平方厘米？
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（二）长 方 体 和 正 方 体
1．学习要点：
（1）长方体和正方体的特征。（说说它们的面、棱各有什么相同与不同） （2）表面积：长（正）方体6个面的总面积叫做它的表面积 长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 体积：物体所占空间的大小叫物体的体积。 长方体体积=长×宽×高 长（正）方体体积=底面积×高
（试用字母表示上面各个公式）
（3） 容积（容量）：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积叫做它的容积或容量。 计算方法：计算容量或容积的方法和计算体积的方法相同。
使用单位：一般使用体积单位；计算液体的体积，常用升和毫升。 2．讨论：
（1）比较：长方体和正方体的异同点。
（2）一个装满柴油的长方体的铁皮油桶，长0.4米，宽0.2米，高0.25米，制造这个油桶至少要用铁皮多少平方米？油桶的容量是多少升？（铁皮的厚度略去不计）如果每升柴油重0.82千克，这桶柴油重多少千克？
求油桶需要的铁皮就是计算油桶的表面积。 求油桶的容量就是计算油桶的容积。 0.4×0.2×0.25=0.02（立方米）
（0.4×0.2+0.4×.25+0.2×0.25）×2 0.02立方米=20立方分米=20（升） =（0.08+0.1+0.05）×2 油的重量：
=0.23×2 0.82×20=16.4（千克） =0.46（平方米）
答：制造这个油桶至少要用铁皮0.46平方米，油桶的容量是20升，这桶油的重量是16.4千克。
3．训练指导： （1）填空。
① 一个棱长是6分米的正方体，它的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 ② 一个长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的表面积是（ ）平方厘米，
它的体积是（ ）立方厘米。
③ 一个长方体的体积是45立方分米，底面积是15平方分米，它的高是（ ）。 ④ 棱长总和为36厘米的正方体，它的体积是（ ）立方厘米，表面积是（ ）平方厘米。 ⑤ 一个体积是1立方米的正方体，可以分割成（ ）个体积是1立方分米的小正方体。 （2）判断题。（对的在括号里写“√”，错的写“×”。）
① 两个体积相等的长方体，它们的长、宽和高也必定相等 （ ） ② 一个正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大8倍。 （ ） ③ 一个棱长是4厘米的正方体，从中间锯开成两个相等的长方体，表面积增加了16平方厘米。
( )
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（3）一种长方体的玻璃金鱼缸，长5分米，宽25厘米，高30厘米。做一个这样的金鱼缸需要玻璃多少平方分米？
（5）把一个棱长是6厘米的正方体的钢坯锻造成一个长是12厘米，宽是8厘米的长方体零件，这个零件的高是多少？ （4）把2个同样大小的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是60平方厘米，原来每个正方体的表面积是多少平方厘米？
（6）一个长方体仓库里面的底面积是210平方米，高5米，所放的货物占仓库容积的40%，如果平均每平方米的货物重5.4吨，仓库里的货物共重多少吨？
（三） 圆 柱 和 圆 锥
1．学习要点
（1） 圆柱体侧面积，表面积和体积。
圆柱体的侧面积=底面周长×高
圆柱体的侧面积加上两个底面积的和就是圆柱体的表面积。 圆柱体的体积=底面积×高 （2）圆锥体的体积：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的
11。即 V=sh 332.讨论：
一个圆锥形小麦堆，底面直径是4米，高1.5米，每立方米小麦重750千克，按出粉率85%计算，这堆小麦大约可以磨出多少千克面粉？（得数保留整百千克）
体积：
14×3.14×()2×1.5 磨出面粉的重量： 750×6.28×85% 32=6.28（立方米） =4003.5
≈4000（千克）
答：这堆小麦大约可以磨出面粉4000千克 。 3.训练指导： （1）填空。 ① 一个圆柱体，底面直径6厘米，高5厘米，它的侧面积是（ ），表面积是（ ），体积是（ ）。
② 一个圆锥体，底面直径和高都6厘米，它的体积是（ ）。
③ 一个圆柱体积是50立方厘米，底面积是10平方厘米，它的高是（ ）。
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④ 把一个木制的圆柱体，切削成一个最大的圆锥体，已知削去的体积是30立方厘米。那么，削成的圆锥体积是（ ）立方厘米。
⑤ 一个圆柱体的底面周长是62.8分米，高3分米，它的底面面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米，与它等底等高的圆锥体积是（ ）立方分米。 （2）判断题。（对的在括号里写“√”，错的写“×”。）
① 一个长方体与一个圆柱体的底面积和高都相等，那么它们的体积也相等。 （ ） ② 圆柱体积等于圆锥体积的3倍。 （ ） ③ 圆柱体的高一定，它的底面积和体积成反比例。 ( ) （3）李师傅用铁皮制作50节圆柱形通风管，每节长90厘米，底面直径是20厘米，做这些通风管至少要用铁皮多少平方米？（用进一法取近似值，得数保留整平方米）
（4）用铁皮做一个无盖的圆柱形水桶，底面半径2分米，高5分米，做这个水桶要用多少平方分米铁皮？如果每立方分米水重1千克，这个水桶能装水多少千克？
△（5）一个圆锥形沙堆，高2米，底面半径3米，每立方米沙约重1.7吨，如果用一辆载重2.5吨的货车把沙运到工地，至少要运多少次？（得数保留整数）
[注意：有关形体问题的应用题：① 弄清是什么形体。② 判断是求面积问题还是求体积问题。
③ 求有关面积的应用题注意判断有几个面（有盖、无盖）。]
七、简单的统计表和统计图
1．学习要点：
（1） 统计表：把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况，说明问题。 （2） 统计图：①条形统计图──很容易看出各种数量的多少；
②拆线统计图──不但容易看出各种数量的多少；而且能够清楚地表示出数量增减
变化的情况。
（3） 能够根据统计表、统计图，计算并回答一些有关的问题。 2．讨论：
（1）光华电视机厂2002年工业产值统计表，请在空格里填上适当的数。
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光华电视机厂2002年工业产值统计表
2003年1月
产 值 项 （ 万 计划产值 实际产值 完成计划的 时 元） 目 百分率 间 合计 750 上半年 420 下半年 400 126%
（2）根据统计图填空。
劲量风扇厂2002年第四季度生产情况统计图1500单位：台 2003年1月 1100 1000900 1000 5000十月份十一月份十二月份 ① 这是一个（ ）统计图。（ ）月的产量最多。
② 十月份比十二月份多生产（ ）%。 ③ 第四季度共生产风扇（ ）台。 3．训练指导：
（1）完成下面的统计表。
某小学六年级学生体育锻炼达标情况统计表
人 项 目 参加锻炼人数 达标人数 达标率 年 级 数 合计 六年（1）班 45 36 六年（2）班 40 75%
（2）请看图填空。
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某市绿化面积情况统计图单位：公顷 2000年1月 400300220200（ ）10001993年1995年1997年1998年1999年 ① 这是（ ）统计图。
② 1993年绿化面积是（ ）公顷。
③ 1995年绿化面积比1999年少（ ）%。
275180300习 题 训 练
一、填空。
（1） 1.2小时=（ ）分 2500立方厘米=（ ）立方分米
800克=（ ）千克 1.07千米=（ ）米 （2） 3：（ ）=
( )=37.5%=（ ）填小数 24（3） 六年级男生人数占全班人数的5，则女生人数相当于男生人数的( )。
9( )（4） 一个圆柱体与一个圆锥体等底等高，圆柱体积比圆锥体积多（ ）倍，圆锥体积比圆柱体
积少( )。
( )（5） 长方体的体积一定，它的底面积和高成（ ）比例。生产效率一定，生产时间和总产量成（ ）
比例。
（6） 用72厘米铁丝围成一个三角形，这个三角形三条边长的比是3：4：5，这个三角形最长的边
是（ ）厘米。
2和1.65按从大到小的顺序排序。（ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）。 31（8） 加工一批零件，甲单独做要1小时，乙单独做要2小时。甲和乙所用时间的最简比是
2（7） 把167%、1、1（ ），甲和乙工作效率的最简比是（ ）。 二、判断下列各题，对的在括号里写“√”，错的写“×”。
（1）要运的货物一定，车辆数和每辆车的载重量成反比例。 （ ） （2）一个比的前项扩大5倍，后项缩小5倍，比值不变。 （ ） （3）圆的半径与该圆面积不成比例。 （ ）
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35（4）大于90°的角叫钝角。 （ ） （5）有一个角是锐角的三角形的叫锐角三角形。 （ ）
三、选择（把正确答案的代号填在括号里） （1）在下列各数中，去掉“0”而大小不变的数是（ ）。 A．4.7280 B．5.02 C．600 （2）甲班人数的
11等于乙班人数的，那么（ ）。 23A．甲班人数多 B．乙班人数多 C．两班人数相等
（3）一段路，甲8小时走完，乙12小时走完，甲与乙的速度比是（ ）。
A．2：3 B．4：3 C．3：2 （4）分子、分母（ ）的分数，叫做最简分数。
A．没有公约数 B．是互质数 C．都是质因数
（5）下面各数中能同时被2、3、5整除的数是（ ）。 A．1020 B．635 C．3820 四、计算下列各题。（能简算的要简算） （1） 2.5×0.4＋0.21×3 （2）
（4）5.32－0.375＋0.68－0.625 （5）（
（7）解方程。
① 24.8－3X=3.2 ②
五、列式计算。 （1）的
（3）甲数是乙数的
77×101－ （3） 3.2×25×12.5 2020115323110＋）÷（－） （6）÷[（＋）×] 256495211X4= 7.553425577加上除以的商，和是多少？ （2）480的比它的多多少？ 3961020111，乙数是，甲、乙两个数的和 （4）一个数增加它的以后是400， 234是多少？ 这个数是多少？
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六、图中圆的周长与正方形周长哪个长些？长多少？ 单位：厘米
七、解答应用题。
（1）一幅地图，用8厘米长的线段表示实际距离320千米。 ① 求这幅地图的比例尺。
② 如果甲乙两城在这图上的距离是11.5厘米，那么这两城的实际距离是多少千米？
（2）甲乙两城相距255.5千米，两辆汽车同时从两城相对开出，经过3.5小时相遇，已知其中一辆汽车每小时行38千米，另一辆汽车每小时行多少千米？
（3）一根圆柱形钢条，长50厘米，横截面的直径是2厘米。如果每立方厘米钢重7.8克，这根钢条重多少克？ （4）筑路队修一条路，第一天修了全长的路长多少米？
2，第二天修了160米，这时还剩下540米未修。这条9 30
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