岩石力学与工程学报 Vol.24 No.23
2005年12月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Dec.，2005
高速列车振动荷载下大断面隧道结构动力响应分析
李 亮，张丙强，杨小礼
(中南大学 土木建筑学院，湖南 长沙 410075)
摘要：随着高速铁路的快速发展，高速列车荷载对大断面隧道结构的影响受到关注。采用激振函数模拟高速列车竖向振动荷载，运用弹塑性有限元方法对大断面隧道结构在列车振动荷载作用下的动响应进行了深入的分析。研究了不同断面形式、车速和阻尼比系数对振动响应的影响，并将结果与小断面隧道进行比较。 关键词：隧道工程；高速列车；大断面隧道；动力响应；有限元法
中图分类号：U 45 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)23–4259–07
ANALYSIS OF DYNAMIC RESPONSE OF LARGE CROSS-SECTION TUNNEL UNDER VIBRATING LOAD INDUCED BY HIGH SPEED TRAIN
LI Liang，ZHANG Bing-qiang，YANG Xiao-li
(School of Civil Engineering and Architecture，Central South University，Changsha 410075，China)
Abstract：With the development of high speed railway，more and more attentions have been paid to the effect of vibrating load induced by high speed train on large cross-section tunnel. Based on the numerical simulation of vertical vibrating load induced by high speed train with excitation function，dynamic response of large cross-section tunnel under the vibrating load has been analyzed by elastoplastic finite element method；and the effects of different section forms，train speed and damping ratios on the dynamic response are also studied. Comparisons of dynamic responses between large cross-section tunnel and general one are performed. Key words：tunneling engineering；high speed train；large cross-section tunnel；dynamic response；finite element method
了动响应分析。在城市繁华地区或一些特殊地段，
1 引 言
列车振动荷载对隧道结构的影响是隧道工程中研究的基本问题之一。文[1]根据隧道的测试结果，在有限单元法的基础上，分析了在列车竖向振动荷载作用下隧道衬砌的响应。随着高速铁路建设的兴起，一些学者对铁路隧道结构在高速列车动荷载作用下的动力工作状态和力学响应进行研究。如文[2]采用弹塑性本构关系和莫尔–库仑屈服准则，应用有限元模型在时域内对隧道结构及其周围岩体进行
收稿日期：2004–07–01；修回日期：2004–12–10 基金项目：国家自然科学基金资助项目(50408020)
由于受建筑物的限制和地下空间综合开发、利用的需要，出现了交叠隧道。文[3]采用ANSYS软件对南浦大桥近距离交叠隧道在列车振动荷载作用下的动力响应进行了有限元分析。这些研究都是针对小断面隧道进行分析的。
随着经济的日益发展，交通量剧烈增加，单个的小断面隧道无法满足需要，修建大断面隧道势在必行。根据日本和国际隧道协会的大断面隧道划分标准，开挖面积超过100 m2的隧道被称为大断面隧道。根据这个标准，三线以上的铁路隧道可归为大
作者简介：李 亮(1962–)，男，博士，1983年毕业于长沙铁道学院工业与民用建筑专业，现任教授、博士生导师，主要从事道路与铁道工程方面的教学与研究工作。E-mail：liliang@mail.csu.edu.cn。
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断面隧道。由于车道数的增加，宽度加大，而高度变化不大，使隧道变得扁平，在高速列车振动荷载作用下，受力情况不同于常规的小断面隧道。如何研究大断面隧道在高速列车振动荷载下的响应是隧道工程人员面临的关键问题之一，本文对此进行了深入的研究。
2 列车荷载模拟
列车在不平顺的轨道上行驶，竖向激振荷载可用一个激振力函数来模拟[4]，其表达式为
F(t)=p0+p1sin(ω1t)+p2sin(ω2t)+p3sin(ω3t) (1) 式中：p0为车轮静载；p1，p2，p3均为振动荷载，分别对应于表1中的控制条件①～③中的某一典型值。令列车簧下质量为M0，则相应的振动荷载幅值为
pi=M0aiωi2 (i=1，2，3) (2)
式中：ai为典型矢高，与表1中①，②，③三种情况相对应；ωi为对应车速下不平顺振动波长的圆频率，分别对应于表1中相应条件①，②，③，其计算式为
ωi＝2πv/Li (i=1，2，3) (3)
式中：v为列车的运行速度；Li为典型波长，对应于表1中①，②，③三种情况。
表1 英国轨道几何不平顺管理值
Table 1 Geometric parameters for UK railway engineering
控制条件
波长/m 正矢/mm 50.00
16.000 按行车平顺性①
20.00 9.000 10.00
5.000 5.00 2.500 按作用到线路上的 2.00 0.600 动力附加荷载②
1.00
0.300 0.50 0.100 波形磨耗③
0.05
0.005
国外高速铁路所要求的轴重一般为16～17 t，这里取单边静轮重p0=80 kN。簧下质量取为M0= 750 kg，考虑到高速铁路的运行标准(我国“八五”科技攻关研究建议高速铁路设计标准为v=350 km/h)需适当提高，对应于①，②，③三种控制条件分别
取其典型的不平顺振动波长和相应的矢高为：
L1=10 m，a1=3.5 mm；L2=2 m，a2=0.4 mm；L3=0.5 m，a3=0.08 mm。对应于v=180～324 km/h的车速，其低频、中频、高频的范围分别为5～9，25～45和100～200 Hz，符合前述的试验规律。激振力为一不规则波形，取v=324 km/h时前0.2 s的情形，如图1所示。
Nk/)t(F
图1 激振力与时间关系
Fig.1 Relationship between excitation load and time
3 隧道结构动响应分析原理
3.1 计算模型及单元选取
隧道处于半无限体的地层中，横剖面左右及下方的边界均在无穷远处。在水平方向，将计算范围取为自轴线起向两侧延伸各约5D(D为隧道跨度)，竖向计算深度则取为105 m，上方加1 MPa的竖向压力以模拟地应力。二维弹塑性动力有限元分析时，采用等参数四节点平面单元来模拟围岩、混凝土衬砌和道碴。计算模型有限元网格见图2。
图2 有限元计算模型 Fig.2 Finite element grid
3.2 运动方程的建立
由Hamilton原理[5]，结构体系的整体运动方程
第24卷 第23期 李 亮等. 高速列车振动荷载下大断面隧道结构动力响应分析 • 4261 •
为 [M]{&u
&}+[C]{u&}+[K]{u}＝{F(t)} (4) 式中：[M]，[C]，[K]分别为体系的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，由各单元的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵组合而成；{u}，{u
&}，{u&&}分别为体系的位移向量、速度向量和加速度向量；F(t)为随时间变化的节点力向量。各单元的质量矩阵、阻尼矩阵和、刚度矩阵和节点力向量计算分别如下：
[Me]=∫∫∫ρ[N]T[N]dV (5a) [Ce]=∫∫∫c[N]T[N]dV (5b) [Ke]=∫∫∫[B]T[D][B]dV (5c) [FT
T
e]=∫∫∫[N]{f}dV+∫∫[N][P] dB (5d) 通常假定阻尼矩阵与质量矩阵、刚度矩阵成正比，即采用Rayleigh阻尼，其表达式如下：
[C]=α[M]+β[K] (6)
根据振型正交条件，待定常数α，β与阻尼比之间应满足下列关系：
ξαk=
2ω+βωk
2
(k=1，2，…，n) (7) k式中：ξk为阻尼比；ωk为固有频率；α，β为阻尼比系数。由体系的自由振动方程求出2个固有频率
ωi和ωj，并根据试验和相(近)似结构的资料可知2
个阻尼比ξi和ξj，则由式(7)可求得α，β。若ξi=
ξj，ω0为系统的基频，ξ0为相应振型的阻尼比，
则可以得到如下关系式：
α=ξ0ω0⎫⎪β=ξ (8)
0/ω0⎪⎭
⎬ 3.3 边界条件的确定
在隧道结构动态有限元分析中，岩土介质可视为半无限介质，荷载自上往下传递。因而在有限元分析中，可以只在底部设置粘滞边界以模拟半无限空间对波的吸收。文[6]建议沿边界面人为施加2个方向的粘性阻尼力，其大小分别为
σ=aρ vPω& (9a) τ=bρ vSu
& (9b) 式中：σ，τ分别为沿人为边界作用的正应力和剪
应力；ω&，u&分别为沿边界法向和切向的速度分量；vP和vS分别为入射的压缩波和剪切波波速；a，b
的取值参见文[7]。
为了说明采用阻尼边界的合理性，本文对Ⅱ类围岩中五心圆大断面隧道结构进行了两种边界条件下(固定边界和阻尼边界)的动力计算比较。图3为三线隧道在左边线和中线上高速列车荷载同时作用下基底的位移响应图。从图中可以看出，采用固定边界和阻尼边界时，位移变化幅度分别为1.41和
1.30 mm。这是由于阻尼边界可以在边界处将波动能量传播出去，而采用固定边界则无法达到这一效果，从而造成能量在围岩–隧道体系中积聚，引起混凝土衬砌位移变化较大。因此，底部采用阻尼边界条件进行动力分析更符合实际。
(a) 固定边界
(b) 阻尼边界
图3 列车荷载作用下的位移响应图
Fig.3 Displacement responses under vibrating load induced by
train
3.4 阻尼系数的确定
对于岩土动力非线性问题，阻尼参数的确定通常采用Rayleigh阻尼，Rayleigh参数α，β与体系的固有频率和阻尼比有关。由式(8)可知，如果体系的基频率ω0已知，相应振型的阻尼比ξ0也可通过 试验获得的话，α，β就可求得。
在讨论体系的固有频率时，由于阻尼对固有频率或固有模态的影响很小，因此可以按无阻尼系统
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进行模态分析。本文采用Block Lanczos法对围 岩–隧道体系进行模态分析，提取了体系的前4个低阶振型，其相应的圆频率分别为ω=4.26，5.37，6.06，6.10 rad/s，则体系的最大自振周期为1.47 s。而围岩的阻尼比一般为0.01～0.03[8]，本文取ξ0=
0.01进行计算，则α=0.043，β=0.002 3。
4 计算结果及分析
隧道结构设计时，通常将静力计算和动力计算分开，分别计算它们在静力荷载和动力荷载作用下的内力，然后将其线性迭加，从而求出总应力进行配筋。这对于线弹性体是合理的。然而，围岩是非线性的，若将静力和动力情况分开计算，可能出现在两种情况下围岩都不会出现塑性变形的结果。但是实际可能出现的情况是，由于围岩及结构早已存在初始应力，在动力作用下内力增加，围岩可能达到塑性状态。这样将动力计算和静力计算分开进 行，就不能反映围岩与结构的真实的受力和变形情况。所以本文采用第2种方法进行计算。
4.1 与小断面比较
图4为Ⅱ类围岩中五心圆大断面隧道结构上A，
B，C 三点在左边线和中线上的列车振动荷载共同
作用下的响应曲线图，其中图4(b)，(c)为洞顶C点的速度和加速度响应曲线。
从图4可以看出，列车振动对五心圆大断面隧道边墙和洞顶的影响程度基本一致，振动位移响应在0.6 s时达到了最大值，速度、加速度响应大约在
1.4 s时达到最大值。而文[2]中小断面隧道的轨底、拱顶和边墙的最大竖向位移分别为5.0，3.0和1.0
mm，与大断面隧道有较大的差别。
由于本文研究的对象是大断面隧道，通常包含多条线路，因此列车荷载组合方式有很多种，表2为三线隧道中不同列车振动荷载组合下洞顶的最大振动响应值。
4.2 断面形式的影响
隧道结构有不同的断面形式，每一种断面形式有其独特的受力特点，对不同断面形式下的隧道结构进行分析是很有必要的。图5为相同跨径和支护结构、不同断面形式下洞顶的位移时程曲线。
从图5可看出，五心圆断面隧道结构的振动响应值最小，圆形隧道结构次之，矩形断面隧道最大，断面形式对隧道结构振动响应的影响比较小。
1.5
AB C
1.0
mm /y0.5
0.0
0.0
0.5
1.0 1.5
2.0
t/s
(a) 位移时程曲线图
4 2 )1 －s·0 mm(/－2 v －4 －6
0.0
0.5
1.0 1.5
2.0
t/s
(b) 速度时程曲线图
10 5 )2－s ·0m c(/a－5 －10 －15
0.0
0.5
1.0 1.5
2.0
t/s
(c) 加速度时程曲线图
B C A 边线中线 边线
(d) 计算点布置图
图4 振动响应时程曲线图 Fig.4 Dynamic response curves with time
第24卷 第23期 李 亮等. 高速列车振动荷载下大断面隧道结构动力响应分析 • 4263 •
表2 不同荷载组合下的洞顶最大振动响应值 Table 2 Maximum dynamic response values at top of
tunnel under different combined loads
荷载组合 位移最大值
速度最大值加速度最大情况 /mm /(mm·s－
1)
值/(cm·s－
2)
边线 0.61 2.37 4.97 中线 0.54 2.75 5.73 边线+边线 1.21 4.76 9.94 边线+中线 1.15 5.09 9.37 三线
1.79
7.56
16.3
0.2 五心圆断面 矩形断面
－0.2 圆形断面
mm－0.6 /y －1.0
－1.4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
t/s
图5 不同断面形式下的位移时程曲线图 Fig.5 Displacement curves with time under different
cross-section forms
4.3 车速的影响
由节1可知，列车运行的速度不一样，产生的激振力也不一样，对隧道结构产生的影响也就会不一样，表3为隧道洞顶振动位移、速度和加速度随车速的变化情况。
表3 不同车速下洞顶最大振动响应值
Table 3 Maximum dynamic response values at the top of
tunnel with different train speeds
车速 位移 速度 加速度 /(km·h－
1)
/mm
/(mm·s－
1)
/(cm·s－
2)
198 1.14 4.71 7.47 216 1.15 4.98 9.41 234 1.15 5.02 7.49 252 1.16 4.83 8.01 270 1.15 4.90 9.94 288 1.14 5.12 7.01 306 1.15 5.10 8.24 324 1.16 5.09 9.37
从表3可看出，列车运行速度对位移响应影响不大。当车速为198～234 km/h时，洞顶振动速度逐渐增大；当车速为234～324 km/h时，振动速度先减小，再增加。加速度有类似的变化趋势。
这种现象可这样解释：从式(1)可以看出，激振力大小与车速和线路不平顺波长有关，在不平顺波长一定的情况下，激振力由列车运行速度决定。车速越快，圆频率ωi越大，振动荷载Pi也越大。如果
ωi过大，尽管Pi增大了，但由于结构还来不及产生
响应，激振荷载已经加过了，此时响应值不一定就会增大。
4.4 阻尼比的影响
由节3.4分析可知，对于地下结构，阻尼比的具体数值应通过试验获得，而根据试验资料分析可知，土体的阻尼比一般为0.01～0.30。因此本节研究阻尼比ξ0为0.01～0.30时，对隧道结构的影响，结果见表4。
表4 不同阻尼比ξ0对应的阻尼系数α，β
Table 4 Corresponding parameter values of α and β for
different values of ξ0
ξ0
α
β
0.01 0.043 0.002 3 0.02 0.085 0.004 7 0.03 0.128 0.007 0 0.04 0.170 0.009 4 0.05 0.213 0.011 7 0.06 0.256 0.014 1 0.07 0.298 0.016 4 0.08 0.341 0.018 8 0.09 0.383 0.021 1 0.10 0.426 0.023 5
0.11 0.469 0.025 8 0.12 0.511 0.028 2 0.13 0.554 0.030 5
0.14 0.596 0.032 9 0.15 0.639 0.035 2 0.16 0.682 0.037 6 0.17 0.724 0.039 9 0.18 0.767 0.042 3 0.20 0.852 0.046 9 0.22 0.937 0.051 6 0.24 1.022 0.056 3 0.26 1.108 0.061 0 0.28 1.193 0.065 7 0.30 1.278 0.070 4
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图6为ξ0=0.30时洞顶的位移时程曲线。从图中可以看出，该点振动响应达到最大值后，很快衰减至0。这说明，体系的阻尼比越大，体系越不容易振动，这与结构动力学的概念是相符的。
0.0 －0.2 m－0.4 m/y－0.6 －0.8 －1.0
0.0
0.5
1.0 1.5
2.0
t/s
图6 ξ0 = 0.30时洞顶的位移时程曲线
Fig.6 Displacement-time history curve at tunnel top for
ξ0 = 0.30
图7为隧道顶点振动响应在某一时刻随阻尼比ξ0的变化曲线。从图中可以看出，随着阻尼比的增
大，洞体振动位移逐渐减少，最大减幅为50%，振动加速度也逐渐减小。
1.2
1.0 mm /y 0.8
0.6
0.0 0.1
0.2
0.3
ξ0
(a) 洞顶位移随ξ0的变化图
10
8 )2－s ·6 m c(/a4 2 0 0.0
0.1
0.2
0.3
ξ0
(b) 洞顶加速度随ξ0的变化图
图7 振动响应随ξ0的变化图
Fig.7 Variations of dynamic responses with ξ0
5 结 论
(1) 通过比较两种边界条件下(固定边界、阻尼边界)隧道结构的动力响应得出，采用阻尼边界能够在边界处将波动能量传播出去，固定边界会造成能量在围岩–隧道体系中积聚，引起混凝土衬砌位移变化过大。因此，阻尼边界条件具有合理性。
(2) 通过对高速列车荷载作用下隧道结构动响应的分析可以得出，列车动载相对于隧道结构所受的土压静载而言影响较小。列车振动对边墙及洞顶的影响程度几乎一样，Ⅱ类围岩中大断面隧道结构洞顶的位移、速度、加速度最大响应值分别为1.79
mm，7.56 mm/s，16.3 cm/s2。
(3) 列车振动对大断面隧道轨底、拱顶和边墙影响的程度与对小断面隧道的影响不一样。
(4) 通过对相同跨度、不同断面形式的动响应分析得出，五心圆断面隧道结构的振动响应值最小，圆形断面隧道结构次之，矩形断面隧道结构最大，但断面形式对隧道结构的振动响应的影响非常小。
(5) 列车运行速度对位移影响不大。当车速为198～234 km/h时，洞顶振动速度逐渐增大；当车速为234～324 km/h时，振动速度先减小，再增加。加速度有类似的变化特性。
(6) 假定对于不同的阻尼比，研究体系动力响应与阻尼比之间的关系后得出，体系的阻尼比越 大，越不易振动，并且隧道结构的响应会随着阻尼
比值的增大而逐渐减小，只是减小的幅度有限。
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Geomechanics and Geoengineering(GMGE)国际学报简介
Geomechanics and Geoengineering(GMGE)是由一批海内外知名专家学者筹备主办，并由国际著名出版社Taylor and Francis (英国)发行的英文国际学报。学报将于2006年初创刊，并向全世界发行。
随着中国经济的迅速发展，三峡水电、西气东输、西电东送、南水北调等大型土木工程相继实施，中国岩土力学研究与工程建设实践取得了举世瞩目的成就。中国岩土力学与工程界一直希望能有一本由中国学者与国外学者共同主办的国际学报。以便让国外同行了解中国在岩土力学与工程领域的进展与研究成果，同时帮助中国学者更好地了解国际岩土工程发展新动向，由沈珠江、谢和平、余海岁、赵 坚、黄安斌、殷建华等学者共同发起，并得到国际著名学者支持后，经过两年多时间的筹备，“Geomechanics and Geoengineering—an International Journal”将于2006年初由英国Taylor and Francis出版社出版发行。学报总主编为英国诺丁汉大学余海岁教授和前世界土力学与岩土工程学会主席M. Jamiolkowski教授，名誉主编为中国科学院沈珠江院士、中国工程院谢和平院士和英国皇家工程院B. Simpson院士，学报主编为赵 坚、A. Gens、黄安斌、殷建华、A. J. Whittle等教授，学报编委会由国内外知名学者和专家组成。
GMGE国际学报将征集和发表岩土力学、岩土工程技术、工程地质、岩土环境工程及其交叉领域和所有与岩土材料相关领域的技术论文，同时也欢迎各种与岩土力学和岩土工程相关的高质量学术论文和实例研究。此外，GMGE也将刊登技术短讯、讨论、书评和国际会议信息等。
GMGE将致力于成为国际上岩土力学与岩土工程界研究与发展信息交流的平台，同时将注重发表中国学者在岩土力学与工程方面的高质量论文和实例研究，以便把中国在岩土力学和工程方面的发展和成就展示给国际同行。因此，GMGE分别在英国诺丁汉大学和中国矿业大学(北京)设有两个编辑部。北京编辑部的主要任务是负责协调中国稿件的组稿和英文编辑，学报主编们也会在英文学术论文写作方面给予中国来稿以特别的帮助和指导。
为了维持北京编辑部的正常运行，准备设立GMGE国际学报基金。该基金主要来源于本学报协办单位的赞助，每个协办单位每年须出资10 000元人民币作为GMGE学报基金，赞助期为5 a(2006～2010)。编辑部欢迎中国岩土力学与工程领域的研究机构、企业和个人加盟GMGE学报协办单位。所有协办单位的名字、标志、通讯地址和网址将会刊载于每一期的GMGE学报上。出版社还将每期赠送每个协办单位两份本刊杂志。有关赞助的具体事宜请与GMGE北京编辑部姜耀东教授联系(电话：010–62331592，62331204，传真：010–62312404，E-mail：jiangyd@cumtb.edu.cn)。
有各位海内外专家和业界同行的鼎力支持，北京编辑部坚信GMGE国际学报一定会取得成功。学报不仅会把中国岩土力学及工程的发展和成就展现给全世界，同时也会为国内专家学者了解世界在这一领域发展的最新动向提供一个更加直接有效的窗口。
(姜耀东供稿)
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