一、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题2分，共10分）
1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A．相容方程 B．近似方法 C．边界条件 D．附加假定
2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。
A．几何上等效 B．静力上等效 C．平衡
D．任意
3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。
A．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同 B．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同 C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同
D．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同
4、不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（ A ）
①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③
满足变分方程；
④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D.
①②③④
二、简答题（四小题，共35分）
1、材料各向同性的含义是什么？“各向同性”在弹性力学物理方程中的表现是什么？（5分）
答：
材料的各向同性假定物体的物理性质在各个方向上均相同。因此，物体的弹性常数不随方向而变化。
在弹性力学物理方程中，由于材料的各向同性，三个弹性常数，包括弹性模量E，切变模量G和泊松系数（泊松比）μ都不随方向而改变（在各个方向上相同）。
2、位移法求解的条件是什么？怎样判断一组位移分量是否为某一问题的真实位移？（5分）
答：
按位移法求解时，u，v必须满足求解域内的平衡微分方程，位移边界条件和应力边界条件。
平衡微分方程、位移边界条件和（用位移表示的）应力边界条件既是求解的条件，也是校核u，v是否正确的条件。
3、试述弹性力学研究方法的特点，并比较材料力学与弹性力学在研究内容、方法等方面的异同。
答：
弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；在边界s上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。
在研究内容方面：材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构力学在材料力学基础上研究杆系结构（如 桁架、刚架等）；弹性力学研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。
在研究方法方面：材力考虑有限体ΔV的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV 的平，结果比较精确。
4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为，请问：相容方程的作用是什么？两种解法中，哪一种解法不需要将相容方程作为基本方程？为什么？（13分）答：
（1）连续体的形变分量（和应力分量）不是相互独立的，它们之间必须满足相容方程，才能保证对应的位移分量存在，相
容方程也因此成为判断弹性力学问题解答正确与否的依据之一。
（2）对于按位移求解（位移法）和按应力求解（应力法）两种方法，对弹性力学问题进行求解时位移法求解不需要将相容方程作为基本方程。
（3）（定义）按位移求解（位移法）是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，并由此解出应变分量，进而再求出形变分量和应力分量。
5、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只
受重力作用，（ρ为杆件密度，g为重力加速度），并设μ=0。
试用位移法求解杆件竖向位移及应力。（14分）（平面问题的平衡微分方程：，；用位移分量表示的应力分量表达式：，，）
解：据题意，设位移u=0，v=v(y)，按位移进行求解。根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求解平面应力问题的基本微分方程如下：
(a) (b)
将相关量代入式(a)、(b)，可见(a) 式（第一式）自然满足，而(b) 式第二式成为可由此解出
(c)
本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且
将(c)代入，可得
反代回(c)，可求得位移：6、设有函数，
（1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）
（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l>>h）。（15分）
解：
题九图
（1）将φ代入相容方程，显然满足。因此，该函数可以作为应力函
数。
（2）应力分量的表达式：
考察边界条件：在主要边界y＝±h/2上，应精确满足应力边界条件
在次要边界x＝0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
在次要边界x＝l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。
所以,能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均
布荷载q的问题。
2009 ~ 2010学年第 二 学期期末考试试卷 （ A
）卷
1． 名词解释（共10分，每小题5分）
1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
2． 填空（共20分，每空1分）
1. 边界条件表示在边界上 位移 与 约束 ，或 应力 与 面力 之间的关系式，它可以分为 位移 边界条件、 应力 边界条件和 混合 边界条件。2. 体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为 L-2MT-2 ；面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为 L-1MT-2 ；体力和面力符号的规定为以 沿坐标轴正向 为正，属 外 力；应力是作用于截面单位面积的力，属 内 力，应力的量纲为 L-1MT-2 ，应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。3. 小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 孔附近的应力高度集中 ，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是 应力集中的局部性 ，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。4. 弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面 。
3． 绘图题（共10分，每小题5分）
分别绘出图3-1六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2极坐标下扇面正的应力分量。
图3-1
图3-2
4． 简答题（24分）
1. （8分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分）
1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。2. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：
平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量,,存在，且仅为x,y的函数。
平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量,,存在，且仅为x,y的函数。
3. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数求解，应力函数必须满足哪些条件？答：（1）相容方程：
（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，）： （3）若为多连体，还须满足位移单值条件。5． 问答题(36)
1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚）
图5-1
解：在主要边界上，应精确满足下列边界条件：
，； ，
在次要边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条
件，当板厚时，
，，
在次要边界上，有位移边界条件：，。这两个位移边界条件可
以改用三个积分的应力边界条件代替：，，
2. （10分）试考察应力函数，，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。
图5-2
解：（1）相容条件：将代入相容方程，显然满足。（2）应力分量表达式：，，
（3）边界条件：在主要边界上，即上下边，面力为，在次要边界上，面力的主失和主矩为
弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主失量和主矩如解图所示。
3. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力q, 如图5-3所示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量 ）
图 5-3
解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量，
(1) 假设应力分量的函数形式。
(2) 推求应力函数的形式。此时，体力分量为。将代入应力公式有对积分，得， （a）
。 （b）
其中，都是的待定函数。
(3)由相容方程求解应力函数。将式（b）代入相容方程，得这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y值都应该满足），可见它的系数和自由项都必须等于零。，，两个方程要求， (c)
中的常数项，中的一次和常数项已被略去，因为这三项在的表
达式中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数
(d)
（4）由应力函数求应力分量。
， (e)
， (f). (g)
(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数先来考虑左右两边的主要边界条件：
，，。
将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：，自然满足； (h)
(i)
由（h）（i） 得 （j）
考察次要边界的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为
； 得 ， 得 （k）
由（h）（j）（k）得 ,
将所得A、B、C、D、E代入式（e）（f）（g）得应力分量为：
，，
1、 填空题（每个1分，共10×1=10分）。
1．弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套方程，即 方程、 方程以及 方程；在弹性体的边界上，还要建立边界条件，即 边界条件和 边界条件。
2．弹性力学基本假定包括 假定、 假定、 假定、 假定和 假定。
1．平衡微分 几何 物理 应力 位移 2．连续 均匀 各向同性 完全弹性 小变形2、 单项选择题（每个2分，共5×2=10分）。1. 关于弹性力学的正确认识是 A 。
A. 弹性力学在工程结构设计中的作用日益重要。
B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，
不需要对问题作假设。
C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象。
D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
2. 所谓“完全弹性体”是指 B 。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律。
B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关。C. 本构关系为非线性弹性关系。
D. 应力应变关系满足线性弹性关系。3. 所谓“应力状态”是指 B 。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同。
B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变。C. 3个主应力作用平面相互垂直。
D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。4．弹性力学的基本未知量没有 C 。
A. 应变分量。B. 位移分量。C. 面力分量。D. 应力分量。
5．下列关于圣维南原理的正确叙述是 D 。
A. 边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。B. 等效力系替换将不影响弹性体的变形。
C. 圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意平移。
D. 等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应力分布，对于远离
边界的弹性体内部的影响比较小。3、 计算题（共15分）
如图所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为的液体，右侧为自由表面。试写出以应力分量表示的边界条件。
解：在平面应力边界条件下，应力须满足
（1） ………………………………(5)在表面处，， ………………………………(1)
； ………………………………(1)， ………………………………(1) ………………………………(1)
代入公式（1），得
………………………………(1)
在处，， ………………………………(1)
； ………………………………(1)， ………………………………(1) ………………………………(1)
代入公式（1），得
………………………(1)
四、计算题（共10分）
试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在，若存在，需满足什么条件？
，，；
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
………………………………(4)将各分量分别代入，得
=0， ………………………………(2)=0， ………………………………(2)=0 ………………………………(2)
无论A、B、C、D取何值，都满足形变协调条件。
5、 计算题（共25分）
已知物体中某点的应力分量为，，，，，。试求作用在通过此点，且平行于方程为的平面上，沿、、方向的三个应力分量、、，以及正应力和剪应力的大小（若用小数表示，取小数点后三位数）。
五、解：， ………………………………(1)
， ………………………………(1) ………………………………(1) ………………………………(1) ………………………………(1)
………………………………(1) ………………………………(1) ………………………………(1)
………………………………(1) ………………………………(1) ………………………………(1))
………………………………(1)) ………………………………(2)
……………………………(1)
………………………………(1)………………………………(2) ………………(1)
………………(1)
六、计算题（共30分）
如图所示的矩形截面柱体，在顶部受到集中力和力矩的作用，试
用应力函数求解图示问题的应力，设体力为零，在A点的位移和转角均为零。
解：应用应力函数求解：
（1） 应力函数应满足相容方程，即 ………………………………(5)
将代入相容方程，则满足。（2） 求应力分量，得
， ………………………………(3)
。 ………………………………(3) ………………………………(3)（3） 考察主要边界条件，在处，，，均已满足。
考察次要边界条件，根据圣维南原理，在上，…………………………(2)
，满足； ………………………………(4)，得 ………………………………(4)，得 ………………………………(4)代入，得应力的解答，
， ………………………………(2)
上述和应力已满足了和全部边界条件，因而是上述问题的解。
A试卷
1、 基本概念解释（24分，6小题）（1） 弹性力学的基本假定（2） 平面应变问题（3） 平面应力问题（4） 圣维南原理（5） 逆解法
2、 简单题（40分，4题）(1) 列出图示全部边界条件。
(2) 求出下列应力函数的应力分量，并考察该应力函数是否满足相容方程A：B：
(3) 根据圣维南原理，比较图示中OA边的面力是否等效，。3、 综合题（36分）
（1） 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用（如
图），体力不计，，试用应力函数求解应力分量。
（2） 矩形截面的长柱，密度为，在一边侧面上受均布正应力，试
求应力分量，体力不计。
A试卷 （答案）
1、 基本概念解释
（1） 连续性，完全弹性，均匀性，各向同性，位移和形变是微小
的。
（2） ，，，只存在平面应变分量，，，且不沿方向变化，仅为，
的函数。
（3） ，，，只存在平面应力分量，，，且不沿方向变化，仅为，
的函数。
（4） 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静
力等效的面力，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
（5） 先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并求得应力
分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。
（6） 在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值。
2、 简单题
(1) A：，；，；，，；，B：，；，；，，；，(2) A：B：(3) ，
3、 综合题（1） ，，，，
（2） 由相容方程可得
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