析教材中切线设计的优与劣

析教材中切线设计的优与劣

作者：李晓莉

来源：《中国校外教育·理论》2008年第17期

[摘要]初中数学北师版教材最后安排认识的平面图形是——圆。内容涉及到圆与直线的位置关系，切线的性质与判定。对切线的研究教材的处理：先用一课时探究圆与直线的位置关系，再此基础上，得出切线的性质。然后用一课时研究切线的判定与应用。本文笔者结合初中数学北师大版教材，就切线设计的优点与缺点进行了分析。 [关键词]切线 圆 直线

初中数学北师版教材最后安排认识的平面图形是——圆。内容涉及到圆与直线的位置关系，切线的性质与判定。对切线的研究教材的处理：先用一课时探究圆与直线的位置关系，再此基础上，得出切线的性质。然后用一课时研究切线的判定与应用。

细读教材，发现此章的内容的设计更能体现新课标的人人学数学，人人有所得的宗旨。譬如，教材就切线的问题解决蕴涵在一个个人人都能操作的探究活动中，呈现解题方法策略开放性特点，具有较高的思维价值。切线的性质定理与判定定理揭示了切线的实质，在剖析过程中，意在对学生过程性、发展性目标的考察。如探索切线的性质：学生可用运动的观点，平移直尺靠近圆，或通过测量发现圆心到直线的距离d与圆的半径r间存在一定的规律。即相切时，d=r。通过折叠发现，直线与圆组成的复合图形是轴对称图形，进而推理论证了直线与圆相切时，切线垂直与过切点的直径。接着用旋转的方法得到切线的判定定理。方法的开放性对不同层次的学生都有挑战性，能激发他们的探究欲望，“迫使”他们以“科学研究者”的姿态主动参与，认真尝试、猜测、探索，亲身感受和经历数学发现的过程。条条大路通罗马，每个人都能在叩响数学之门的路上认识自己、评价自己、发展自己。 在授课和学生的练习时，我也发现这种设计引发的问题如下。

一、注重数学对象的生成过程，不能代替应用训练

定理掌握到何种程度，必须通过适当的训练才能了解。而且这种训练必不可少。如切线的判定定理的推导过程无法让学生感知两种辅助线的添法，连接……；过圆心作……；垂直与直线……，还有切线两个定理的综合应用也必须补充才能体会它们的联系。这些练习与定理的探究合在一起用一课时是无法实现的。如若不补课时进行必要的指导，学生面对各种各样的题

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目，会感到束手无策。象这样的章节随处可见，尤其九年级的教材体现的更明显，如证明（二）、（三）、二次函数。教师要在课程标准计划的课时内适当增加课时，以便协调好定理的学习与应用。

二、操作层面的思考与推理层面的思考的侧重性

从切线的研究乃至圆的整章看，定理的证明不在侧重用推理的方法，象一些直观的方法如平移、折叠、测量、旋转、对称得到结论也给予肯定。这种方式虽然能培养学生的自信，保护他们的自尊，但从另方面看，学生审查问题时，往往靠直观，停留在表面，浅尝辄止，不去进一步想为什么？不利于引导学生思维的深入发展，延缓了培养严密逻辑思维的进度。如探究切线的性质时，学生解决了“议一议”的第（2）问，它们都是轴对称图形，对称轴是过圆心O与直线CD垂直的直线。在回答第（3）问时，书中小颖的做法如下。

因为图中直径AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，

∠BAC=∠BAD=900即AB⊥CD。仔细区分划线句子，前句并没说对称轴过切点，而后句直线CD的对称轴为直径AB，根据直线的轴对称性，除了它本身外，就是与它垂直的无数条直线。因此，AB为对称轴等价AB⊥CD，犯了用结论证结论的错误。所以，我认为小颖的解答错误。我的学生给出了一种不失为简单的理解，过程如下。 ∵CD切⊙O与点A

∴由点O向直线CD作垂线得d, d=r

依据圆的定义，到定点的距离等于定长的点在圆上，那么垂足应在⊙O上。 ∵直线CD有唯一公共点A

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∴点A就是垂足 即OA⊥CD

成功智力理论的提出者斯滕伯格曾从实践性思维和分析性思维对学习的影响角度提出过忠告：以生活类操作为特征的实践性思维对学习的作用是不容忽视的，但是这种作用只有上升到更高层次的分析性思维才是真正有效的，由“经验数学”上升到“推理数学”才能提升探究水平。这与教材用三章的计划弄墨重彩讲《证明》的精神一致。教师要有意识地引导学生走向这条路，对于培养他们高层次思维品质将大有益处。

（作者单位：山东滕州市育才中学）