数学建模答案1

1．模型

模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造成的原型替代物。如地图、苯分子图。

2．数学模型

由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型。如概率的功利化定义。

3．抽象模型

抽象模型是为了便于研究而建立的一种高度抽象的理想客体．实际的物体都是具有多种属性的，例如固体具有一定的形状、体积和内部结构，具有一定的质量等．但是，当我们针对某种目的，从某种角度对某一物体进行研究时，有许多对研究问题没有直接关系的属性和作用却可以忽略.

二、简答题（每小题满分8分，共24分）

1．模型的分类

按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。形象模型：直观模型，物理模型，分子结构模型等；抽象模型：思维模型，符号模型，数学模型等。

2．数学建模的基本步骤

1.建模准备：确立建模课题的过程．

２．建模假设： 根据建模的目的对原型进行抽象、简化．有目的性原则、简明性

原则、真实性原则和全面性原则．

３．构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择适当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻化实际问题的数学模型．

４．模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解．

５．模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等．

６．模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际．

７．模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用．

3．数学模型的作用

数学模型的根本作用在于他将客观原型化繁为简、化难

为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学 模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经 济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用，数学不仅是 人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还 是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学 的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科

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的渗透，产生了众多的边缘学科。数学建模还物化于各中高新科技之中，从 家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生 物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不 是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算控制来实现的。

三、解答题（满分20分）

I 杂交育种的稳定性(9n+8, 9n+7)

假设某一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA、Aa 和aa ，三种基因型各占1/3. 已知AA型基因属于优良品种，试分析下列三种方案中哪一个方案有利于培养出优良品种？

方案1：采用AA型的植物与每种基因型相结合的方法培育植物后代； 方案2：采用Aa型的植物与每种基因型相结合的方法培育植物后代； 方案3：将具有相同基因型植物相

设 第n代植物的基因AA 型、 Aa型和aa型所占的比例，n =1,2, … .

(1) 对于AA型基因授粉情况，第n代的基因型分布可由第n-1代的基因型分 布来确定，即

(1)(1)(2)xnxnx1n1/2,(2)(2)(3)xx/2x,nnn(3)0.xn第 3 页 共 21 页

(1)xn(2)xnx(3)n1001/21/20(1)0xn1(2)1xn1(3)0xn1

(1)xn(2)xnx(3)n2X(n)M1X(n1)M1X(n2)X(n)M1X(n1)11/2M101/200

01,0X(n)111,2,302

111 10,21,32001 

1P0011012,11A000120000第 4 页 共 21 页

111,2,30211110,21,32001

1P00

110112,A0100120000

M1PAP11P00012000P10nM1PAnP11001(1/2)n(1/2)n01(1/2)n1(1/2)n10MPAPn1n11P00012000P10第 5 页 共 21 页

(1)xn(2)xnx(3)nX (n)

10如果一直使用方案1,培育出植物

0态下所有植物的基因都会是AA. 型

(1)x1(1/2)1(1/2)0(2)nn12)(1/2)AA(1/型基因所占比例在不断增加，在极限状x0x(3)000nn1

(2)(3) 1(1/2)nx0(1/2)n1x0n(2)n1(3)(1/2)x(1/2)x 000

(1)(2)(3) limxn1,limxnlimxn0nnn

对于方案2与方案3可做类似讨论

记与M1对应于方案2和方案3的矩阵分别为M2与M3,则

 1212014121401212M2第 6 页 共 21 页

对应于方案2,

M301212M21 21 20

141214100141214001

所以不可能得到纯种的AA型植物.

对应于方案3, 则

(1)(2)(3)x0x0x04(1)(2)(3)x0x0x02(1)(2)(3)x0x0x04X(n)

1 0 0 141214001M3

(2)(1)x0 x02(n). 所以同理不可能得到纯种的AA型植物X0(2) x(3)x004

第 7 页 共 21 页

四、综合题（21分）

K. 养鱼问题(7n+1, 7n, 7n+2)

我国为支持农村经济发展, 免费提某种鱼苗用以支持某地区养殖业的发展。设某地区有一池塘，其水面面积100100平方米，根据当地环境测出每平方米养鱼不超过1公斤，每公斤鱼苗大约有500条，鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼自重成正比，360天可长成成鱼，其重量为2公斤，每公斤鱼每天需要饲料0.005公斤,给鱼池内只投放鱼苗，池内鱼的繁殖与死亡均可忽略不计，市场上鱼饲料价格0.2元/公斤,此种鱼的销售价格为： 每条鱼重量（公斤） 每公斤的售价（元） 0.2-0.75 6 0.75-1.5 8 1.5-2 10 0.2 0 请你为一承包户设计一下最优方案. 1. 此承包护承包期为一年；2.此承包护承包期为三年；此承包护承包期为三十年. 假设：

研究获得三年养鱼利润最优模型

摘要

在我们日常生活中，都有这么些相关的例子。那么这里我们将基于求利润最优化的养鱼规划问题，根据鱼的存活空间有限，以及鱼本身的生长情况，可以假设鱼在长成成鱼后生长非常缓慢，近似为不生长，未成年鱼的生长模型为指数增长模型,得出鱼的增长函数，对于的价格进行预知，将利润的最大化问题着手于研究养鱼周期、捕鱼次数及每次捕鱼的重量，结合鱼的生长模型充分利用池塘空间，在合理假设条件下建立数学模型，并借助MATLAB软件编程计算，通过比较分析各模型的最优解，确定出三年获得较大利润的最优养鱼方案，为养殖户提供有用的参考。

关键字： Matlab 指数增长模型 养鱼周期 捕鱼次数 捕鱼重量 较大利润

一、 问题重述

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设某地有一池塘，其水面面积约为100×100m2，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。

① 鱼的存活空间为1kg /m2；

② 每1kg鱼每天需要的饲料为0.05kg，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg； ③ 鱼苗的价格忽略不计，每1kg鱼苗大约有500条鱼； ④

⑤ 鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg；

⑤池内鱼的繁殖与死亡均忽略； ⑥若q为鱼重，则此种鱼的售价为：

q0.20元/kg6元/kg0.2q0.75Q

8元/kg0.75q1.510元/kg1.5q2⑦该池内只能投放鱼苗。

二、 模型假设

（1）、养鱼者的经营模式为“放鱼苗喂饲料捕捞，销售全部捕捞”周期循环，每个周期只投放一次鱼苗。 （2）、在饲养过程中，不考虑意外灾害，如洪灾、旱灾，台风等等。 （3）、鱼可以一年四季生长，未成年鱼每天生长的重量与鱼的自重成正比。 （4）、鱼的繁殖和死亡均可以忽略。 （5）、捕捞鱼时采取承包不放水的方式。

（6）、每个周期分n次捕捞销售，每相隔两次捕捞时间间隔相同，n>=2；且在捕捞时，部分鱼对其它鱼的生长不造成影响，捕出的鱼能全部按预定价格销售。

三、 符号及说明

S：池塘水面面积（平方米）；u：池塘单位面积鱼的最大存活量重（公斤/平方米）；N：每次放养鱼苗的尾数（万尾）；r:鱼每天生长的重量与鱼自重成正比的比例系数；y：每条鱼的重量（公斤）；t：鱼的生长天数（天）；p:销售鱼的价格（元/公斤）；a：每公斤鱼每天要喂的饲料重量（公斤）；b：市场上饲料的价格（元/公斤）；p0：每次捕捞鱼的费用（元/次）；h0：购买鱼苗时的价格（元/万尾）；x0：每条鱼苗的重量（公斤）；n：每个养鱼周期的捕捞次数（次）；ts：在每个周期的第s次捕捞鱼的时间（天）；Wm：池塘饱和时鱼的总重量（公斤）；Wts：在每个周期的第s次捕捞鱼的重量（公斤）；Y：三年养鱼获得的较大利润（元）。

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四、 问题分析

名词解释

1)、池塘饱和：鱼的生存空间达到最小时 2）、未成年鱼：体重没达到成鱼重量的鱼 3）、养鱼周期：每次放养鱼苗后饲养的时间

问题的数据分析

在池塘第一次达到饱和时鱼刚好能够上市的前提下，考虑充分利用池塘空间，容易知道每个周期放养鱼苗数为N1040.25万尾。

t由假设3可得鱼的生长函数为: y(t)x0(1r)

由条件3、4可求得：y(t)0.0021.01937 由条件6可得销售鱼时的价格函数为：

ty0.2060.2y0.75p(y)

80.75y1.5101.5y2将其转化为时间的函数：

t24006240y309p(t) 8309y34510345y360由销售鱼的价格函数可知，每次放养鱼苗后，第一次捕捞的时间是在第240

天，为获得较大利润，在三年时间可进行4个周期的循环或3个周期循环。且最后一次捕捞应在第274天和第360天将鱼全部捕捞并销售。

五、 模型建立与求解

模型1：三年中4次放养鱼苗

用Y4,n表示三年中4次放养鱼苗，每个养鱼周期分n次捕捞销售后获得的利润。由前面问题分析可得，4次放养鱼苗获得的较大利润函数为：

......(1)

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Wt1t11tx(1r)Wt1p(t1)abt10x0(1r)t0Wt2t21tWp(t)abx(1r)t220Y4,n4x0(1r)t2t0 tn1约束条件：

tn...Wp(t)abWtnx(1r)tnntn0x0(1r)t0np0Nh0(WmWts)(1r)34n1Wm (s1,2,...,n1) ......(2)

tst134(s1)/(n1) (n2) ......(3)

St1240,tn274,WtnWmu

......(4)

模型2：三年中3次放养鱼苗

用Y3,n表示三年中3次放养鱼苗，每个养鱼周期分n次捕捞销售后获得的利润。由前面问题分析可得，3次放养鱼苗获得的较大利润函数为：

Wt1t11tx(1r)Wt1p(t1)abt10x0(1r)t0Wt2t21tWp(t)abx(1r)t22t20Y3,n3x0(1r)t0......(5) tn1Wtntn...Wp(t)abx0(1r)tnntnx0(1r)t0np0Nh0约束条件：

(WmWts)(1r)120n1Wm (s1,2,...,n1) ......(6)

tst1120(s1)/(n1)(n2)

......(7)

St1240,tn360,WtnWmu第 11 页 共 21 页

......(8)

模型求解

经过调查多家养鱼专业户及网上查询，可获知常见家常鱼的价格为10元/万尾。捕鱼采取承包不放水方式，费用一般为每次1200——1500元不等，这里，我们研究的是如何获得较大利润，不妨取的关系图像，如下图：

58 10 p01200元/次。

利用matlab软件编程计算并作图，在同一坐标系中回话出Y4,n及Y3,n与n

1057 6 5 4 3 2 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 模型结论 由图1可获知为获得三年养鱼的较大利润应采用模型2，再由计算结果知，当n=13时，取得最大利润Y3,n6.58105元。当n=13带入方程（6）、（7）可得在轮个养鱼中前12次每次大捞鱼的重量为1745公斤，从第240天开始，每10天打捞一次，最后一次将鱼全部捕捞完。这即是三年获得较大利润的最优方案。

六、模型评价及改进方向

优点：

1、 通过两种模型的求解、分析、对比获得最优养鱼方案，使最优设计方案的

结果更具有实际性、可行性、合理性，在进行设计变量的过程中具体分析关系量，所假设的变量清晰、全面、合理、不混淆，使得建立的模型简单易懂，可行性高。

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2、 采用matlab软件编程求解并作图，对结果分析有很大帮助。图示中可观

察出相应变量对目标函数的影响，通过对两种模型的比较，获得三年养鱼中获得较大利润的最优方案，为养殖户提供了有价值的参考。

缺点：

忽略了鱼在生长过程中的繁殖和死亡，同时没有考虑鱼生长时的种族斗争与生存竞争，因此可能与实际的情况出现一定的误差。 改进方向：

针对鱼的生长机能、生长环境以及自然资源，可在本文的基础之上，进一步考虑种族斗争、种内斗争、环境条件等阻滞鱼生长的因素，作出更精确地养鱼利润评估。

五、复述题（21分）

Q .三级火箭发射卫星模型.(3n+1)

1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度.

设地卫星轨道，C′的半径为r，卫星的质量为m。球半径为R， 中心为O，质量为M，曲线C表示地球表面， C′表示

2）建模与求解

根据假设1.2、1.3，卫星只受地球引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为

FGMmr2

如果把卫星放在地球表面，则由（1）式，得

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mgG

Mm R22RF mg rmv2Rmgrr2v7.6km/s1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 2.火箭推进力及升空速度

火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。

1）模型假设

为使问题简化，假设： 2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计；

2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)，且均为时间t的连续可微函数；

2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身的速度u为常数,即气体相对于地

球的速度为v(t)-u

2）建模与分析

由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为

dmm(tt)m(t)t(t)

dvdtv(tt)v(t)t(t) dt (tt)m(t)dmt(t)mdt

dvv(tt)v(t)t(t) dt m(tt)v(tt)

dmdvm(t)t(t)v(t)t(t) dtdt dvdmm(t)v(t)m(t)tv(t)t(t)dtdtdmm(tt)m(t)t(t)dt第 14 页 共 21 页

dvv(tt)v(t)t(t)

dt

因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒定律有 dmm(t)v(t)m(tt)v(tt)t(t) dt v(t)u

m(tt)v(tt)m(t)v(t)dmt(t) v(t)udt 

dmdm m(t)v(t)v(t)tut(t)dtdt

dmdmm(tt)v(tt)m(t)v(t)v(t)tut(t)

dtdt dvdmmu

dtdt v(0)v

dvu  dmm v(0)v dvdm m udt dt

表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相 对火箭)的乘积。

v(t)vulnm00 m(t)

表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度(相对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这需要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质 量，这要从结构上想办法。 3. 一级火箭末速度上限

火箭——卫星系统的质量可分为三部分：净载质量(有效负载，如卫星)mp, ， 燃

00第 15 页 共 21 页

料质量mF ，结构质量(如外壳、燃料容器及推进器) mS。一级火箭末速度上限主 要是受目前技术条件的限制。 1) 模型假设

3.1 一般来说，结构质量mS在mS+ mF中占有一定的比例，在现有技术条件下，要使燃料与发动机的质量和小于所载燃料的1/9是很难做到的。 目前技术条件下不妨设相对火箭的喷气速度u=3km/s. 3.2 初速度v0忽略不计，即v0 =0. 2）建模与求解

因为升空火箭的最终(燃料已耗尽)质量为mp+ms。然后将燃料仓和发动机丢

弃，只剩下净载体，由式(1)及假设3.2得到其末速度为 m0 vuln mpms

m(mm)(mm)sFs0p

m0

vuln m(1)m0p

m0v(t)vuln0 m(t)

由此可见，对于给定u值，当有效负荷mp=0时，火箭末速度达到最大，即火箭末速度上限的数学模型 1vuln 0

由假设3.1，取u =3km, ，便得火箭末速度上限

v03ln96.6km/s

而卫星能进入 600km 高空轨道, 火箭末速度最低为 7.6km/s.

即便忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况下，火箭末速度最大才6.6km/s。因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到在相应高度所需的速

度，也就是说单级火箭不能用于发射卫星。 3) 模型分析

单级火箭一直将将燃料仓和发动机带到了末端，而未将这些丢弃,火箭发动机作了许多无用功。也就是说发动机必须把整个沉重的火箭加速到最后,但是当燃料耗尽时,发动机加速的仅仅是一个空的燃料仓.

这就是单级火箭设计方面的最大缺点，因此我们必须反思，有必要改进火箭的设计。

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理想火箭设想就是把无用的结构质量连续抛弃以达到最佳的升空速度,虽然在目前的技术条件下难以办到,但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标。目前已商业化的多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈出的第一步。多级火箭是从末级开始，逐级燃烧,当第i级燃料烧尽时,第i+1级

火箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第i 级。

1. 多级火箭的速度

为了简单起见，先作如下假设：

(1)mi 用表示第i级火箭质量，mp表示有效负载。 (2)设各级火箭具有相同的， mi表示第i级结构质量, (1- ) mi表示第i级的燃料质量。

(3)喷气相对火箭的速度u 相同。

2）模型建立与求解 火箭的初始质量为

m0m1m2mnmp

第一级火箭燃料消耗完毕时，火箭的质量为

m1m2mnmp此时第一级火箭的速度为

m1m2mnmp

v1uln m1m2mnmp

将第一级火箭的结构抛去，点燃第二级火箭，此时火箭的质量为

m2mnmp并且具有初速度v1 . 类似可求得第二级火箭燃料消耗完毕时，火箭的速度为 mmnmp v2v1uln2m2mnmp

那么第n级火箭燃料消耗完毕时，火箭的末速度为 mnmp vvn1ulnmnmp

n级火箭的速度

vulnm1m2mnmpm2mnmpmnmpmmmmmmm mm12np2npnp

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各级火箭质量的分配

1) 问题背景

如何分配各级火箭质量，使得火箭的有效负荷最大？这也就是说，如果知道火箭达到的末速度为v，气体喷射的速度为u，结构比为 ；对于给定的初始质量

mm1m2mnmp 0

如何选择质量m1，m2，…，mn，使得有效负荷mp 最大 2) 模型假设 同前所述

2) 模型建立

根据我们的分析，可以建立一个单目标，非线性约束的优化问题

maxmp m1m2mnmpm2mnmpmnmp,vuln mnmpm1m2mnmpm2mnmp  S.T.m1m2mnmpm0, 

mi0,

u,v,m均为常数. 0

3) 模型求解

mimi1mnmp

a imi1mnmp

ai 表示第i 级火箭点燃之前火箭系统的质量与该级火箭被抛弃火箭系统质量之比。

mimi1mnmpai mimi1mnmp1(ai1)

m a1a2an0mp

那末将问题可以转化为另一个优化问题

mina1a2an vana1a2ln ,1(a1)1(a1)1(a1)S.T.12nu

 ai1. 1xi1(ai1)aiai第 18 页 共 21 页

xi.

再令 那么 a(1)n 1a2an (x1)(x2)(xn)

再将问题转化为下面的优化问题 min(1)n

(x1)(x2)(xn)

111 S.T.lnxv, 1x2xnu

xi1. maxf(x1)(x2)(xn) v S.T.x1x2xneu, xi1.

maxlnfln[(x1)(x2)(xn)] ln(xv S.T.1x2xn)u,

xi1. F(x1,x2,,xn,)ln[(x1)(x2)(xn)] [ln(xv1x2xn)

u]根据Lagrange乘数法，令 F

x10,1x1x1x1x2xn F 1 xx0,1x22

F x1x0, nxnn ln(x1x2xn)v. u

v当

xeinuf(x1)(x2)(xn)第 19 页 共 21 页

显然 xvienu

m0111 a1a2anx1x2xn mp

n 1最优质量比 v enu

3级火箭的最优质量比随着火箭级数n的增加而减少.

n

 m01limlim nnmnnvenup 

v exp (1)u

即以理想火箭的质量比为极限.

3) 三级火箭的最优性

对于v=10.5km/s，u=3km/s, β=0.1，利用公式

n  m01v mpenu

计算多级火箭的最优质量比 n 1 2 148.83 3 77.16 4 65.09 5 60.19 … … +∞ 48.566 m0/mp / 从上表中我们看到：三级火箭的最优质量比几乎是二级火箭最优质量比2倍，也就是与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭几乎节省了一半。 如果用更多级的火箭来代替三级火箭，虽然可以降低最优质量比，但降幅已经不大，而且制造更多级的火箭，除了技术上的困难以外，增加的火箭发动机和燃料舱会大大提高火箭的成本。从这个意义上说，用三级火箭发射人造卫星是最优的方案。此时， 若想将1吨重的卫星送入轨道，运载火箭发射时的总重量为77吨。

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