【篇一：数学模型第四版课后答案姜启源版】
t>第二章(1)（2012年12月21日）
1． 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们
要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值方法；
（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑n=10的分配方案，
p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）q1? ?p i?1 3 i
?1000. p1n ?p i?1 3
?2.35,q2? p2n i ?p i?1 3
?3.33, q3? p3n i ?p
i?1 3
?4.32 i
分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4
第10个席位：计算q值为 235233324322
q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.2 2?33?44?5
q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5 方法三（d’hondt方法）
此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5
此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pi 是ni
每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. pip
中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini
再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ? t
vdt?2?k?(r?wkn)dn n
2?rk?wk22n2 2vv
《数学模型》作业解答
第三章1（2008年10月14日）
1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货
批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本． 10 对于不允许缺货模型，每天平均费用为： c(t)?
c1c2rt??kr t2 ccrdc
??12?2 dt2t 令 dc
?0 ， 解得 t*?dt 2c1
c2r2c1r c2
由q?rt ， 得q??rt??
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变． 20 对于允许缺货模型，每天平均费用为： 1
c(t,q)? t
??c2q2c32c??(rt?q)?kq?1? 2r2r??
c1c2q2c3rc3q2kq?c
??2????2 22?t2t2rt2rtt cqk?cc2q
??c3?3? ?qrtrtt ??c
?0???t
令? ， 得到驻点： ?c
?0????q ??? ?
?q???? t? ?
2c1c2?c3k2 ?
rc2c3c2c3 2 2
c3kr2c1rc3kr ??
c2c2?c3c2(c2?c3)c2?c3
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．
2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，
k?r．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间?0?t?t0?一边生产一边销售，后来的
一段时间(t0?t?t)只销售不生产，画出贮存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论k??r和k?r的情况. 解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下： t
(k?r)t0?t 2
贮存费为 c2lim ?t?0 ?g(?i)?
ti?c2?g(t)dt?c2 i?1
又? (k?r)t0?r(t?t0) ?t0?
rr(k?r)t?tt , ? 贮存费变为c2? k2k
于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 c1c2r(k?r)t2c1r(k?r)t ???c2c(t)? t2ktt2k
cdcr(k?r)??12?c2. dt2ktdc ?0 ,得t??dt ? 令 2c1k
c2r(k?r) 2c1k
c2r(k?r)
易得函数c(t)在t处取得最小值，即最优周期为： t?? 当k??r时，t ? ? 2c1
. 相当于不考虑生产的情况. c2r 当k?r时，t ?
?? .此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量. 第三章2（2008年10月16日）
3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.
解：考虑灭火速度?与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度?将减小，我们作如下假设: ?(b)? k
， b?1
中的1是防止b?0时???而加的. 分母b?1 c1?t12c1?2t12(b?1)c2?t1x(b?1) 总费用函数c?x?????c3x 22(kx??b??)kx??b?? 最优解为 x? ckb 1 2
?2c2b(b?1)?(b?1)(b?1)? ? 2 k2c3k
5．在考虑最优价格问题时设销售期为t，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设
q(t)?q0??t，?为增长率.又设单位时间的销售量为x?a?bp(p为价格).今将销售 期分为0?t?t 和t
?t?t两段，每段的价格固定，记作p1,p2.求p1,p2的最优值，
使销售期内的总利润最大.如果要求销售期t内的总售量为q0，再求p1,p2的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为
??a?bp1,0?t? x?? ta?bp2,?t?t??
又? q(t)?q0??t.于是总利润为 ?(p1,p2)?? t
?p1?q(t)?(a?bp1)dt??t?p2?q(t)?(a?bp2)dt t
t?2??2???
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p1tq0t?t2p2tq0t3?t2
??)?(a?bp2)(??) =(a?bp1)(228228
【篇二：数学建模习题及答案课后习题】
>1. 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。学生
们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的q值方法。
（3）d’hondt方法：将a，b，c各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，?相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格c与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部
只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池
4. 用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角?应多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。 1
5. 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工 出尽可能多的圆盘。
6. 动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下
建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
7. 举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重
之间的关系吗。下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。 第一部分 课后习题答案
1. 按照题目所给方法（1），（2），（3）的席位分配结果如下表： 2. （1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也
包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。又因为 2
形状一定时一般有s?w2/3，故商品的价格可表为c??w??w2/3??（?,?,?为大于0的常数）。 （2）单位重量价格c? cw
????w ?1/3 ??w ?1
，其简图如下：
显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
3. 对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身
长l的立方成正比，即w?k1l3，k1为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是 w?k2dl，k2为比例系数。 2
利用数据估计模型中的系数可得k1=0.014，k2=0.0322，将实际数据与模型结果比较如下表： 4. 将管道展开如图：
可得w??dcos?，若d一定，w趋于0，?趋于?/2；w趋于?d，?趋于0。若管道 3
长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为?dl/w，若考虑两端影响，则应加上?dw/sin?。对于其它形状管道，只需将?d改为相应的周长即可。
5. 设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板 材之间均可相切。
方案一：圆盘中心按正方形排列，如下图1，圆盘总数为n1=[a/2][b/2]
方案二：圆盘中心按六角形排列，如下图2，行数m满足2+（m-1）3?a，于是m=? ?a ?2?
??1 ?3? 图1 图2
列数（按图2第1行计数）n满足：若[b]为奇数，则各行圆盘数相同为（[b]-1）/2；若[b]为偶数，则奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1。 圆盘总数为n2 m([b]?1)/2(1)? ??
m([b]?1)/2?1/2(2)?
其中（1）为：m为偶数。（2）为：m为奇数，[b]为偶数。 两个方案的比较见下表(表中数字为n1/n2)：
当a其它方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。 6. 假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要
通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积s与某特征尺寸l之间的关系是
s?l，所以饲养食物量w?l。 2 2
7. 假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积s?l（l是某特征 4 2
尺寸），体重w?l3，于是y?w2/3。
用举重总成绩检验这个模型，结果如下图3；如果用举重总成绩拟合y?w?，可得
?=0.57，结果如下图4。 图3 图4
第二部分 课后习题
1. malthus模型预测的优缺点。 2. 阻滞增长模型预测的优缺点。 3. 简述动态模型和微分方程建模。
4. 按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5. 叙述leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。 6. 试比较连续形式的阻滞增长模型 (logistic模型)和离散形式阻滞增长模型, 并讨论离散
形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。 第二部分 课后习题答案
1. 优点: 短期预报比较准确; 缺点: 不适合中长期预报; 原因: 预报时假设人口增长率为常
数, 没有考虑环境对人口增长的制约作用。 2. 优点: 中期预报比较准确; 缺点: 理论上很好，实用性不强; 原因: 预报时假设固有人口增长率以及最大人口容量为定值。实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会发展情况变 化而变化。
3. 动态模型: 描述对象特征随时间(空间)的演变过程, 分析对象特征的变化规律, 预报对象
特征的未来性态, 研究控制对象特征的手段；微分方程建模: 模根据函数及其变化率之间的关系确定函数, 根据建模目的和问题分析作出简化假设, 按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4. 描述传染病的传播过程, 分析受感染人数的变化规律, 预报传染病高潮到来的时刻, 预防
传染病蔓延的手段, 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。 5
【篇三：数学模型课后答案】
t>第二章(1)（2012年12月21日）
1． 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们
要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值方法；
（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑n=10的分配方案，
p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）q1? ?p i?1 3 i
?1000. p1n ?p i?1 3
?2.35,q2?
p2n i ?p i?1 3
?3.33, q3? p3n i ?p i?1 3
?4.32 i
分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4
第10个席位：计算q值为 235233324322
q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.2
2?33?44?5q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5
方法三（d’hondt方法）
此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5
此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pi 是ni
每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. pip
中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini
再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ?
t
vdt?2?k?(r?wkn)dn n
2?rk?wk22n2 2vv
《数学模型》作业解答
第三章1（2008年10月14日）
1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货
批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本． 10 对于不允许缺货模型，每天平均费用为： c(t)?
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c2c2?c3c2(c2?c3)c2?c 3
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．
2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，
k?r．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间?0?t?t0?一边生产一边销售，后来的
一段时间(t0?t?t)只销售不生产，画出贮存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论k??r和k?r的情况. 解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下： t
k?r)t0?t 2
贮存费为 c2lim ?t?0 ?g(?i)?
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又? (k?r)t0?r(t?t0) ?t0? rr(k?r)t?t
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于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 c1c2r(k?r)t2c1r(k?r)t ???c2c(t)? t2ktt2k cdcr(k?r) . ??12?c2 dt2kt 令 dc
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当k??r时，t ? ? 2c1
. 相当于不考虑生产的情况. c2r 当k?r时，t ?
?? .此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量. 第三章2（2008年10月16日）
3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.
解：考虑灭火速度?与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度?将减小，我们作如下假设: ?(b)? k
， b?1
中的1是防止b?0时???而加的. 分母b?1 c1?t12c1?2t12(b?1)c?tx(b?1)
??21?c3x 总费用函数c?x??22(kx??b??)kx??b?? 最优解为 x? ckb
1 2
?2c2b(b?1)?(b?1)(b?1)? ? 2 k2c3k
5．在考虑最优价格问题时设销售期为t，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设
q(t)?q0??t，?为增长率.又设单位时间的销售量为x?a?bp(p为价格).今将销售 期分为0?t?t 和t
?t?t两段，每段的价格固定，记作p1,p2.求p1,p2的最优值，
使销售期内的总利润最大.如果要求销售期t内的总售量为q0，再求p1,p2的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为 t??a?bp1,0?t? x?? ta?bp2,?t?t??
又? q(t)?q0??t.于是总利润为 ?(p1,p2)?? t
?p1?q(t)?(a?bp1)dt??t?p2?q(t)?(a?bp2)dt t
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