不等式恒成立问题三种解法探讨

２０１８年第１期（上）　中学数学研究　２７　不等式恒成立问题三种解法探讨　东莞市东华高级中学（５２３１２８）　王自强　不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：　解法二（分离参数法）由于　１．直接化为最值＋分类讨论直接化为最值的优点是　函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案　，（　）＝（　＋１）Ｉｎｚ一。（　一１）＞０　一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题　过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准；　２．分离参数＋函数最值分类参数的优势在于所得函　数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，　因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，　也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到洛必达法则求　极限：　３．缩小范围＋证明不等式缩小参数范围优点是函数　结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊　值，并且这种解法并不流行，容易被误判．　例题（２０１６全国新课标ＩＩ文科第２０题）己知函数　，（　）：（　＋１）Ｉｎｘ—ｎ（　一１）．　（１）当ｎ：４时，求曲线　＝，（　）在（１，，（１））处的切线　方程：　（２）若当　∈（１，＋ｏｏ）时，／（ｘ）＞０，求ｎ的取值范围．　解法一（直接法）由于　，（　）：（　＋１）Ｉｎｚ一０（　一１）＞０　在　∈（１，＋∞）上恒成立，则　，　）：ｌｎ　＋　一ｎ，　，，，（　三一刍＝　＞０，　则，　）＝ｌｎ　＋　一０在ｚ∈（１，＋ｏｏ）上为增函数，则　，　（　）＞，　（１）＝２一ｎ，　（１）当０≤２时，则，　（　）＞０，故，（　）在　∈（１，＋∞）　上为增函数，则有／（ｘ）＞／（１）＝０，故，（　）＝（　＋１）ｌＩｌ　一　ａ（ｘ一１）＞０在　∈（１，＋∞）上恒成立，符合题意；　（２）当ｎ＞２时，则，　（１）＜０，且，　（ｅ。）＞０，故　，　（　）＝０在　∈（１，＋∞）有唯一实根　ｏ，则，（　）在（１，ＸＯ）　为减函数，又／（１）＝０，则　∈（１，　０），．厂（　）＜／（１）＝０，不　符合题意．综上所述，口≤２．　在　∈（１，＋。ｏ）上恒成立等价于。＜　在　∈（１，＋∞）上恒成立．　１一一—２ｌｎ　设ｇ（　）＝　，　）：　ｆ　１、２　。　令九（ｚ）＝　一　一２１ｎ　，则＾　）＝　２＋　——　一；一　＞０，从而ｈ　）：　一　１－２１ｎ　在　∈（１，＋。ｏ）　上为增函数，所以，ｈ（ｘ）＞　（１）＝０．则夕　（　）＞０，　夕　）＝　兰　在　∈（１，＋ｏ。）上为增函数．因为　ｌｉａｒ　ｌｉｍ一一＋　＝ｌｉＩＩ１ｚ—　ｌ＋．（、　三＋１＋Ｉｎｘ）＝２，　故实数０的取值范围为０≤２．　解法三防小范围）由于　／（ｘ）＝（　＋１）Ｉｎｘ—ａ（ｘ一１）＞０　在ｚ∈（１，＋∞）上恒成立且．，（１）＝０，则存在ｍ＞１，　使得／（ｘ）在　∈（１，ｍ）上为增函数．这等价于，　（　）＝　ｌｎ　＋　一。≥０对　∈（１，ｍ）恒成立．　令　＝１，，　（１）≥０得０≤２．当ｎ≤２时，　，　（　）＝三一　１＝　＞０　则．，　（　）：Ｉｎ　＋　一口在　∈（１，＋。ｏ）上为增函数，则　，　（　）＞，　（１）＝２－０≥０．故，（　）在　∈（１，＋。ｏ）上为增函　数，贝０有／（ｘ）＞／（１）＝０，故，（　）＝（　＋１）Ｉｎｘ—ｎ（　～１）＞　０在ｚ∈（１，＋ｏｏ）上恒成立，从而０≤２．　点评当端点刚好适合题意时，则分离参数法可能会用　到洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参　数范围．　牛刀小试已知函数，（　）＝ｅ。（ａＸ＋ｂ）一ｅ　Ｉｎｚ．　（１）若函数．厂（　）在　＝１处取得极值，且ｂ＝ｌ，求０；　（２）若ｂ＝一ｏ，且函数，（　）在【１，＋。ｏ）上单调递增，求　０的取值范围．　答案（１）ｎ＝Ｏ；（２）０≥１．