求解带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法

过程：带电粒子在有界磁场中运动，粒子轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解． 一、两种思路

一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；

二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值． 二、两种方法

一是物理方法：①利用临界条件求极值；②利用问题的边界条件求极值；③利用矢量图求极值．

二是数学方法：①利用三角函数求极值；②利用二次方程的判别式求极值；③利用不等式的性质求极值；④利用图象法等．

(3)从关键词中找突破口：临界问题中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、

“不脱离”等词语．审题时，抓住这些词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件． 【例1】 如图所示，在xOy平面内第二象限的某区域存在一个矩形匀强磁场区，磁场方向垂直xOy平面向里，边界分别平行于x轴和y轴．一个电荷量为e、质量为m的电子，从坐标原点O以速度v0射入的第二象限，速度方向与y轴正方向成45°角，经过磁场偏转后，通过P(0，a)点，速度方向垂直于y轴，不计电子的重力．

(1)若磁场的磁感应强度大小为B0，求电子在磁场中运动的时间t； (2)为使电子完成上述运动，求磁感应强度B的大小应满足的条件；

(3)若电子到达y轴上P点时，撤去矩形匀强磁场，同时在y轴右侧加方向垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B1，在y轴左侧加方向垂直xOy平面向里的匀强磁场，电子在第(k＋1)次从左向右经过y轴(经过P点为第1次)时恰好通过坐标原点．求y轴左侧磁场磁感应强度大小B2及上述过程电子的运动时间t. 解析 (1)如图甲所示，电子在磁场中转过的角度θ＝2πm运动周期T＝

eB0

θ3πmt＝T，联立解得t＝. 2π4eB0

3π

4

mv20

(2)设磁感应强度最小值为Bmin，对应最大回旋半径为R，圆心为O1，则有ev0Bmin＝，R

2＋1mv0R＋2R＝a，解得Bmin＝

ea

2＋1mv0

则磁感应强度B应满足的条件为B≥. ea (3)设电子在y轴右侧和左侧做圆周运动的半径分别为r1和r2，则mv2mv200ev0B1＝，ev0B2＝ r1r2

有

由图所示的几何关系可知 2k(r1－r2)＝a，解得B2＝

2kmv0B1

2kmv0－aeB1

2πm2πm

设电子在y轴右侧和左侧做圆周运动的周期分别为T1和T2，则T1＝，T2＝，t＝

eB1eB2

T1＋T2k·

2

2kπmπa

解得t＝－.

eB12v0

a

【例2】 如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感

2应强度大小为B.坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分a

布在0°～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a之间，从发射粒子到

2粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小．

(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦．

解析 (1)设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为v2

R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB＝m①

R

mv

由①式得R＝②

qB

a

当弧，圆弧与磁场的上边界相切，如图所示．设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意t＝Tπ，得∠OCA＝③ 42

设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α， a

由几何关系可得Rsin α＝R－④

2Rsin α＝a－Rcos α⑤ 又sin2α＋cos2α＝1⑥

6a⑦ 2

6aqB

由②⑦式得v＝2－⑧

2m

6－6

(2)由④⑦式得sin α＝⑨

10由④⑤⑥式得R＝2－

即学即练： 放置在坐标原点O的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子，带电粒子的速率均为v，方向均在纸面内，如图8－2－14所示．若在某区域内存在垂直于xOy平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x轴放置的挡板PQ上，求： (1)挡板PQ的最小长度； (2)磁场区域的最小面积．