2020新课标高考艺术生数学复习：三角恒等变换含解析

 教学资料范本 2020新课标高考艺术生数学复习：三角恒等变换含解析 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 第5节 三角恒等变换 1 / 13 最新考纲 核心素养 本部分内容以两角和与差的1.经历推导两角差余弦公式的过程、知道两角差余弦公式的意义； 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式、了解它们的内在联系； 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式、这三组公式不要求记忆) 1.三角函数式的化简、发展数学抽象和数学运算素养． 2.三角函数式的求值、提升数学运算素养． 3.三角变换的简单应用、增强数学抽象和数学运算素养 三角函数公式、倍角公式为化简基础、考查三角函数关系式的化简与求值、利用同角三角函数的基本关系式变异名为同名的三角函数、结合诱导公式、和差角公式及倍角公式进行恒等变形为高考热点、考查题型多样、但一般属于中低档题型、难度不大．常与三角函数式的化简求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查 1．两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝ sin_αcos_β＋cos_αsin_β ；(Sα＋β) sin(α－β)＝ sin_αcos_β－cosαsin_β ；(Sα－β) cos(α＋β)＝ cos_αcos_β－sinαsin_β ；(Cα＋β) cos(α－β)＝ cos_αcos_β＋sin_αsin_β ；(Cα－β) tan α＋tan βtan(α＋β)＝；(Tα＋β) 1－tan αtan βtan α－tan βtan(α－β)＝.(Tα－β) 1＋tan αtan β2．二倍角公式 sin 2α＝ 2sin_αcos_α ；(S2α) cos 2α＝ cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α ；(C2α) 2tan αtan 2α＝.(T2α) 1－tan2α3．公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝ tan(α＋β)(1－tan_αtan_β) ； tan α－tan β＝ tan(α－β)(1＋tan_αtan_β) . (2)升幂公式 考情聚焦 2 / 13 αα1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2. 22(3)降幂公式 sin2α＝1－cos 2α1＋cos 2α；cos2α＝. 224．辅助角公式 asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)、其中cos φ＝5．角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角 例如、2α＝(α＋β)＋(α－β)、2β＝(α＋β)－(α－β)、 α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β、 ππππα＝＋α－＝α－＋. 3344(2)互余与互补关系 例如、b、sin φ＝ . a2＋b2a2＋b2aπ＋α＋3π－α＝π、 44π＋α＋π－α＝π. 362(3)非特殊角转化为特殊角 例如、15°＝45°－30°、75°＝45°＋30°. 2sin αcos α2tan α sin 2α＝＝； sin2α＋cos2α1＋tan2αcos2α－sin2α1－tan2αcos 2α＝＝； cos2α＋sin2α1＋tan2ααα1±sin α＝sin±cos2； 22αsin α1－cos αtan＝＝. 21＋cos αsin α [思考辨析] 判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“√”、错误的打“×”． (1)存在实数α、β、使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β可以变形为tan 1－tan αtan βα＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)、且对任意角α、β都成立．( ) (3)存在实数α、使tan 2α＝2tan α.( ) 3 / 13 α(4)当α是第一象限角时、sin ＝ 21－cos α.( ) 2(5)公式asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a、b的值无关．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× [小题查验] 1．(20xx·全国Ⅰ卷)tan 255°＝( ) A．－2－3 C．2－3 B．－2＋3 D．2＋3 3＋1tan 30°＋tan 45°3解析：D [tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝＝1－tan 30° tan 45°31－3＝2＋3.] 12．(20xx·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－、则cos 2θ＝( ) 34114A．－ B．－ C. D. 5555cos2θ－sin2θ1－tan2θ4解析：D [cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.] cos2θ＋sin2θ1＋tan2θ5π13．已知sin α＋cos α＝、则sin24－α＝( ) 31178A. B. C. 18189D.2 9118解析：B [由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝、解得sin 2α＝－、所以3998π－2α1＋1－cos91721－sin 2απ－α＝sin2＝＝＝、故选B.] 422218π3α＋＝________. 4．(人教A版教材例题改编)已知sin α＝－、α是第四象限角、则cos4572答案： 105．函数f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)的单调增区间为____________． 解析：f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x 1－cos 2x＝2×＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＋1 2π＝2sin(2x－)＋1、 4πππ由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ、k∈Z、 242 4 / 13 π3π得－＋kπ≤x≤＋kπ、k∈Z. 88π3π－＋kπ，＋kπ(k∈Z)． 所以所求区间为88π3π－＋kπ，＋kπ(k∈Z) 答案：88 考点一 三角函数式的化简(自主练透) [题组集训] sin 2α－2cos2α1．化简： πsinα－42sin αcos α－2cos2α解：原式＝＝22cos α. 2sin α－cos α2cos 40°2．化简：＝________. cos 25°·1－sin 40°cos 40°cos 40°cos 40°解析：原式＝＝＝＝2. ·2sin 25°2cos 25°1－cos 50°cos 25°sin 50°2答案：2 sin 110°sin 20°3．计算的值为________． cos2 155°－sin2 155°解析：sin 110°sin 20°sin 70°sin 20°＝＝ cos 310°cos2 155°－sin2 155°1sin 40°cos 20°sin 20°21＝＝. cos 50°sin 40°21答案： 2 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”、这是最重要的一环、通过看角之间的差别与联系、把角进行合理的拆分、从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”、看函数名称之间的差异、从而确定使用的公式、常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”、分析结构特征、可以帮助我们找到变形的方向、如“遇到分式要通分”等． 考点二 三角函数式的求值(多维探究) 5 / 13 数学运算——三角函数求值中的核心素养 数学运算就是指在明晰运算对象的基础上、依据运算法则解决数学问题的素养．三角函数求值中的数学运算根据的是三角函数公式进行给角求值、给值求值和给值求角、力在培养学生的准确、快速的运算能力． [命题角度1] 给角求值 1．(20xx·××市监测考试)sin 15°＋cos 15°的值为( ) A.6622 B．－ C. D．－ 22226.故选A.] 21B．－ 2D．－3 2解析：A [sin 15°＋cos 15°＝2sin 60°＝2．sin4 15°－cos4 15°＝( ) 1A. 2C.3 2解析：D [sin4 15°－cos4 15°＝(sin2 15°－cos2 15°)(sin2 15°＋cos2 15°)＝sin2 15°－cos2 15°＝－cos 30°＝－3.故选D.] 2[命题角度2] 给值求值 π0，、2sin 2α＝cos 2α＋1、则sin α＝( ) 3．(20xx·全国Ⅱ卷)已知α∈21A. 5C.3 3B.5 525D. 5π0，、由2sin 2α＝cos 2α＋1得： 解析：B [∵α∈24sin αcos α＝2cos2 α、∴2sin α＝cos α、又∵2sin α＝1－sin2 α、∴5sin2 α＝1、∴sin2 α15＝、∴sin α＝.] 554．(20xx·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1、cos α＋sin β＝0、则sin(α＋β)__________． 解析：因为sin α＋cos β＝1、cos α＋sin β＝0、 11所以(1－sin α)2＋(－cos α)2＝1、∴sin α＝、cos β＝ 22111111因此sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×－cos2α＝－1＋sin2α＝－1＋＝－. 224442 6 / 13 1答案：－ 2[命题角度3] 给值求角 5．已知sin α＝510、sin(α－β)＝－、α、β均为锐角、则角β等于( ) 510πD. 65πππA. B. C. 1234ππ解析：C [∵α、β均为锐角、∴－<α－β<. 22又sin(α－β)＝－又sin α＝10310、∴cos (α－β)＝. 1010525、∴cos α＝、 55∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝5310252π10×－×－＝.∴β＝.] 51054102116．已知α、β∈(0、π)、且tan(α－β)＝、tan β＝－、 27求2α－β的值． tanα－β＋tan β解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ 1－tanα－βtan β11－271π＝＝>0、∴0<α<、 11321＋×2712×32tan α3又∵tan 2α＝＝＝>0、 141－tan2α1－23π∴0<2α<、 231＋47tan 2α－tan β∴tan(2α－β)＝＝＝1. 311＋tan 2αtan β1－×471π∵tan β＝－<0、∴<β<π、－π<2α－β<0、 723π∴2α－β＝－. 4 三角函数求值有三类 7 / 13 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值、求另外一些角的三角函数值、解题关键在于“变角”、使其角相同或具有某种关系． (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角、从表面上来看是很难的、但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系、解题时、要利用观察得到的关系、结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”、先求角的某一函数值、再求角的范围、确定角． 考点三 三角变换的简单应用(师生共研) π5π3ωx＋cos ωx(0＜ω＜2)、且f(x)的图象过点，. [典例] 已知函数f(x)＝23sin 6122(1)求ω的值及函数f(x)的最小正周期； a53π(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位、得到函数y＝g(x)的图象、已知g2＝6、求cos 62α－π的值． 3[破题关键点] 利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化为y＝Asin(ωx＋φ) ＋k的形式就可以利用f(x)的图象过点5π3求出ω的值及函数f(x)的最小正周期、通过平移变换求出函，122α532α－π的值． 数y＝g(x)的解析式、再由g＝和倍角公式求出cos 326πωx＋cos ωx [解析] (1)函数f(x)＝23sin 631＝23sin ωx·＋23cos ωx·cos ωx 221＋cos 2ωxπ332ωx＋＋. ＝sin 2ωx＋3·＝3sin 62225ππ335ππ5π32ω·＋＋＝、∴2ω·＋＝kπ、k∈Z、∵f(x)的图象过点，、∴3sin 126221261226k－1即ω＝. 5再结合0＜ω＜2、可得ω＝1、 π32π2x＋＋、故它的最小正周期为＝π. ∴f(x)＝3sin 622π3π2x＋＋的图象向右平移个单位、得到函数y＝g(x)＝3(2)将y＝f(x)＝3sin 626πα533α－π＋3、 2x－＋的图象．已知g＝sin＝3sin 622662π1α－＝、 ∴sin 63 8 / 13 ππ72α－＝1－2sin2α－＝. ∴cos 369 解三角函数问题的基本思想是“变换”、通过适当的变换达到由此及彼的目的、变换的基本方向有两种、一种是变换函数的名称、一种是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式、可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等． [跟踪训练] (20xx·××市模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋a的最大值为(1)求a的值； π17π(2)若方程f(x)＋m＋1＝0在4，24内有两个零点、求m的取值范围． 1＋cos 2xπ1212x－＋a－、 解：(1)∵f(x)＝sin xcos x－cos2x＋a＝sin 2x－＋a＝sin 42222∴f(x)max＝2121＋a－＝、∴a＝； 2222π2sin 2x－4、 22. 2(2)由(1)知、f(x)＝π17ππ，17π内有两，若方程f(x)＋m＋1＝0在内有两个零点、则方程f(x)＝－m－1在424424个零点、 π17π即函数y＝f(x)的图象与y＝－m－1的图象在4，24内有两个不同交点、如图： π17π由图可知、要使函数y＝f(x)的图象与y＝－m－1的图象在4，24内有两个不同交点、 1223则≤－m－1<、即－1－

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