1．空间向量 (1)定义
01□在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度
0203模． □向量的大小叫做向量的长度或□(3)表示方法
(4)几类特殊的空间向量
08规定长度为0的向量叫做零向量，记为□090. ①零向量：□10模为1的向量称为单位向量． ②单位向量：□11与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为□12－a. ③相反向量：□
④相等向量：13□方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线14同一向量或□15相等向量． 段表示□2．空间向量的加减法 (1)定义
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： →→
16a＋b； OB＝OA＋AB＝□17a－b. CA＝OA－OC＝□(2)加法运算律
18b＋a； ①交换律：a＋b＝□
19a＋(b＋c)． ②结合律：(a＋b)＋c＝□
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．( )
(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( ) (3)0向量是长度为0，没有方向的向量．( ) (4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
→→→→
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． →→→
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1－AB＋BC化简后的结果是________． (3)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式： →→
①AA1－CB＝________. →→→
②AB1＋B1C1＋C1D1＝________. 1→1→1→
③AD＋AB－A1A＝________. 222
(4)(教材改编P86T3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用→→→→→
AB，AD，AA1表示向量MN，则MN＝________.
1→1→1→1→→→→
答案 (1)球面 (2)BD1 (3)①AD1 ②AD1 ③AC1 (4)AB＋AD＋AA1
2222
1→→11→1→→→→1→→1→→→→
解析 (4)MN＝MB＋BC＋CN＝AB＋AD＋(CB＋BB1)＝AB＋AD＋(－AD＋AA1)＝AB＋
222222→
AD＋AA1.
探究1 空间向量的概念 例1 给出下列命题：
①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同； →→
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1； ③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤只有零向量的模为0. 其中假命题的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] ①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．
→→
②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量AC与A1C1的方向相同，→→
模长也相等，应有AC＝A1C1.
③真命题．向量的相等满足传递规律．
1→2
④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等． ⑤真命题．根据零向量的定义可知． [答案] A 拓展提升
处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系
(1)两个要素
判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系
①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．
【跟踪训练1】 (1)给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；→→
③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量BA与向量AB的长度相等．
其中正确命题的序号为________． 答案 ④
解析 ①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大→→→→
小；③错误，如BA≠AB但|BA|＝|AB|，④正确．
(2)给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a＝0，则－a＝0；③|－a|＝|a|，其中正确命题的序号是________．
答案 ②③
解析 ①错误，若|a|＝0，则a＝0；②正确．③正确． 探究2 空间向量的加减运算
→
例2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量BD1的是( ) →→→→→→→→→→→→①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－DD1；④(B1D1－A1A)＋DD1. A．①② B．②③ C．③④ D．①④
→→→→→→→
[解析] ①(A1D1－A1A)－AB＝A1D1＋AA1＋BA＝BD1； →→→→→→→→→②(BC＋BB1)－D1C1＝BC＋BB1＋C1D1＝BC1＋C1D1＝BD1；
→→→→→→→→→→→③(AD－AB)－DD1＝BD＋D1D＝BD－DD1＝BD－BB1＝B1D≠BD1； →→→→→→→→→→→→④(B1D1－A1A)＋DD1＝B1D1＋AA1＋DD1＝B1D1＋BB1＋DD1＝BD1＋DD1≠BD1.
→→
因此，①②两式的运算结果为向量BD1，而③④两式的运算结果不为向量BD1.故选A. [答案] A
→
[结论探究] 例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量AC1的有哪些？ →→→→→→→→→→→→①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1－B1A1)＋B1C1. →→→→→→
解 ①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1； →→→→→→②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1； →→→→→→③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；
→→→→→→→→→④(AA1－B1A1)＋B1C1＝(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1. →
故①②③④式运算结果都是向量AC1. 拓展提升
1.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
2．化简空间向量的常用思路
(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简． (2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．
(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．
【跟踪训练2】 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，
BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
→→→→→→
A.EF＋GH＋PQ＝0 B.EF－GH－PQ＝0 →→→→→→
C.EF＋GH－PQ＝0 D.EF－GH＋PQ＝0
答案 A
→→→→→→→→→
解析 EF＋GH＋PQ＝AF－AE＋CH－CG＋D1Q－D1P＝0. 探究3 空间向量证明题 例3 在如图所示的平行六面体中． →→→→求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.
[证明] ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， →→→→→→→→→∴AC＝AB＋AD，AB′＝AB＋AA′，AD′＝AD＋AA′.
→→→→→→→→→→→→
∴AC＋AB′＋AD′＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AD＋AA′)＝2(AB＋AD＋AA′)， →→→→又∵AA′＝CC′，AD＝BC，
→→→→→→→→→∴AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′＝AC＋CC′＝AC′， →→→→∴AC＋AB′＋AD′＝2AC′. 拓展提升
空间向量证明题的注意点
利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．
【跟踪训练3】 借助平行六面体，证明：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
→→→
证明 作平行六面体ABCD－A′B′C′D′使AB＝a，AD＝b，AA′＝c，如图，则： →→→→→→
(a＋b)＋c＝(AB＋AD)＋AA′＝AC＋CC′＝AC′，
a＋(b＋c)＝AB＋(AD＋AA′)＝AB＋(BC＋CC′)＝AB＋BC′＝AC′，
所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
1.在空间，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.
2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.
3.空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错→→→→误．如AB－AD，误写成BD，应为DB.
1．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
→→→→→→→→→
A．a＝b
C．a与b方向相同 答案 D
B．a＋b为实数0 D．|a|＝3
解析 因为a，b互为相反向量，所以a＝－b，a＋b＝0，a与 b方向相反，|a|＝|b|＝3.
→→→→
2．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是( ) →→→A.AB＝BC＋CD →→→→B.AB－DC＋BC＝AD →→→→C.AD＝AB＋BC＋DC →→→D.BC＝BD－DC 答案 B
→→→→→→→→→解析 AB－DC＋BC＝AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD.
→→→→
3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD是( ) A．空间四边形 C．等腰梯形 答案 B
→→→→→→
解析 ∵AO＋OB＝AB，DO＋OC＝DC， →→∴AB＝DC，
∴线段AB，DC平行且相等， ∴四边形ABCD是平行四边形．
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确结论的序号为________．
→→→→
①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量； →→→→
②OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量；
→→→→→→→→
③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量； →→→→
④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量． 答案 ①③④
B．平行四边形 D．矩形
解析 下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，B1C1的中点，则由向量运算→→→→→→→→
的平行四边形法则，知OA＋OD＝2OE，OB1＋OC1＝2OF，又OE＝－OF，
所以命题①正确．
→→→→→→由于OB－OC＝CB，OA1－OD1＝D1A1，
→→→→
所以OB－OC与OA1－OD1是两个相等的向量，所以命题②是不正确的． 同理可得命题③④是正确的．
5．下图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，
(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； →
(3)试写出与AB相等的所有向量； →
(4)试写出AA1的相反向量．
→→→→→→→→
解 (1)由于AA1＝1，所以AA1，A1A，BB1，B1B，CC1，C1C，DD1，D1D 这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
→→
(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，所以模为5的向量为AD1，D1A，
A1D，DA1，BC1，C1B，B1C，CB1.
→→→→
(3)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)为A1B1，DC，D1C1. →→→→→
(4)向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D.
→→→→→→
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