一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．0
D．2
2．（4分）3月5日，十二届全国人大五次会议顺利召开，李克强总理在政府工作报告中指出，2016年国内生产总值达到74.4亿元，比上年增长6.7%，将74.4万亿用科学记数法表示是（ ）
A．7.44×10 B．7.44×10 C．74.4×10
4
8
12
13
D．7.44×10
3．（4分）下列几何体中，左视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列计算结果等于a的是（ ） A．a+a B．a•a C．（a）
3
2
3
2
3
2
5
D．a÷a
102
5．（4分）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
6．（4分）已知某公司10月份的销售额为500万元，如果该公司后期每月的销售额月平均增长率为x，那么第四季销售总额用代数式可表示为（单位：万元）（ ） A．500（1+x） B．500+500x+500x C．500+500（1+x）+500（1+2x）
D．500+500（1+x）+500（1+x）
2
2
2
2
7．（4分）已知x=2是关于x的方程x﹣（m+4）x+4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ） A．6
B．8
C．10 D．8或10
8．（4分）如图，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=15°，在△OCD中，OC=OD，∠COD=45°，且点C在边OA上，连接CB，将线段OB绕点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE=CB，则∠BOE的度数为（ ）
A．15° B．15°或45° C．45° D．45°或60°
9．（4分）如图，在△ABC中，BC=10，D、E分别为AB、AC的中点，连接BE、CD交于点O，OD=3，OE=4，则△ABC的面积为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
10．（4分）函数y=，当y=a时，对应的x有唯一确定的值，则a的取值
范围为（ ）
A．a≤0B．a＜0C．0＜a＜2 D．a≤0或a=2
二、填空题（每小题5分，满分20分） 11．（5分）计算：
+
= ．
12．（5分）当a=2017时，代数式的值为 ．
13．（5分）合肥市初中毕业学业体育考试项目分必考项1项和选考项2项，在8个选考项目中，张明同学可在立定跳远、跳绳和坐位体前屈三个项目模考中基本拿满分，现计划从这三个项目中任选两项作为中考选考项，则跳绳能被选上的概率为 ．
14．（5分）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10； ②若△PAB≌△PDC，则△PAD≌△PBC； ③若S1=S2，则S3=S4；
④若△PAB∽△PDA，则PA=2.4 其中正确的是 ．
三、解答题（每小题8分，满分16分） 15．（8分）解不等式：
≥
．
16．（8分）观察下列关于自然数的等式： （1）1﹣=1×①
22
（2）2﹣=2×②
2
（3）3﹣…
=3×③
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第4个等式： = ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．
四、解答题（每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在9×8的正方形的网格中，△ABC的三个顶点和点O都在格点上．
（1）画出△ABC关于直线l成轴对称△A1B1C；
（2）将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后的△AB2C2．
18．（8分）某品牌羽绒服按成本提高50%作为标价，由于换季，商家决定降价销售，促销措施为：买一件以八折（标价的80%）出售，买两件或两件以上七折（标价的70%）出售．已知顾客买一件商家能获利28元，若顾客同时买两件，商家每件还能获利多少元？
五、（每小题10分，满分20分）
19．（10分）初，合肥市积极推进共享单车服务（如图1），努力创造绿色环保出行，图2是某品牌单车的车架示意图，其中ED=40cm，∠DEF=60°，∠F=45°，求传动轮轴心E到后轮轴心F的距离EF的长．（结果精确到1cm，参考数据：
≈1.41，
≈
1.73）
20．（10分）如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=10，分别以AD、BC为斜边向矩形外作Rt△ADF≌Rt△CBE，延长FA、EB交于点G． （1）求证：△ADF∽△BAG；
（2）若DF=4，请连接EF并求出EF的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）2016年合肥市初中生学业质量绿色指标综合评价在合肥12个县（市）、区312所学校进行，某校八年级根据比例被随机抽取了40名学生参与了语文、数学、英语、科学等四个科目的测试，根据这40位同学的数学成绩，绘制了如下条形统计图．
（1）结合以上信息完成下表： 平均成绩（分）
中位数（分）
众数（分）
86.85
（2）根据评价标准，96分以上（含96分）可评为优秀，该校八年级共有学生500名若全部参加测试，估计有多少学生的成绩能达到优秀？
（3）张明同学的数学成绩为88分，他认为自己成绩超过平均分，排名应该处于中上等水平，这种说法对吗？为什么？
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在△ABC中，AB=10
，∠BAC=60°，∠B=45°，点D是BC边上
一动点，连接AD，以AD为直径作⊙O交边AB、AC于点E、F，连接OE、OF、DE、DF、EF． （1）求
的值；
（2）当AD运动到什么位置时，四边形OEDF正好是菱形，请说明理由． （3）点D运动过程中，线段EF的最小值为 （直接写出结果）．
八、（本题满分14分）
23．（14分）【阅读理解】我们知道，在正比例函数y=ax（a＞0）中y随x的增大而增大，当x取最小值时y有最小值；在反比例函数y=（k＞0）中，当x＞0时y随
x的增大而减小，当x取最大值时y有最小值，那么当x＞0时函数y=ax+（a＞0，k
＞0）是否存在最值呢？下面以y=2x+为例进行探究：
∵x＞0，∴y=2x+=2（x+）=2[+]
=[﹣6++6]
=2[+6]
=2+12
∴当﹣=0，即x=3时y有最小值，这时y最小=12．
【现学现用】
已知x＞0，当x= 时，函数y=x+有最 值（填“大”或“小”），最值为 ．
【拓展应用】
A、B两城市相距400千米，限速为300千米/小时的高铁从A城到B城的运行成本（万元）由可变成本和固定成本两部分构成，每小时的可变成本与行驶速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数k，固定成本为每小时4万元，在试运行过程中经测算，当行驶速度为100千米/小时时，可变成本为每小时1万元．
（1）试把每小时运行总成本y（万元）表示成速度v（千米/小时）的函数； （2）为了使全程运行成本z最低，高铁行驶的速度应为多少？
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．0
D．2
【解答】解：这四个数在数轴上的位置如图所示：
由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3． 故选A．
2．（4分）2017年3月5日，十二届全国人大五次会议顺利召开，李克强总理在政府工作报告中指出，2016年国内生产总值达到74.4亿元，比上年增长6.7%，将74.4万亿用科学记数法表示是（ ） A．7.44×10 B．7.44×10 C．74.4×10
4
8
12
13
D．7.44×10
【解答】解：将74.4万亿用科学记数法表示为：7.44×10． 故选：D．
3．（4分）下列几何体中，左视图为三角形的是（ ）
13
A． B． C． D．
【解答】解：A．圆柱的左视图是长方形，不合题意； B．长方体的左视图是长方形，不合题意； C．圆锥的左视图是三角形，符合题意； D．三棱柱的左视图是长方形，不合题意； 故选：C．
4．（4分）下列计算结果等于a的是（ ） A．a+a B．a•a C．（a）
3
2
3
2
3
2
5
D．a÷a
102
【解答】解：A、不是同底数幂的乘法，故A不符合题意； B、a•a=a，故B符合题意； C、（a）=a，故C不符合题意； D、a÷a=a，故D不符合题意； 故选：B．
5．（4分）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
10
2
8
3
2
6
3
2
5
A． B．π C．2π D．4π
【解答】解：连接OA，OB． 则OA⊥PA，OB⊥PB ∵∠APB=60° ∴∠AOB=120° ∴劣弧AB的长是：故选C．
=2π．
6．（4分）已知某公司10月份的销售额为500万元，如果该公司后期每月的销售额月平均增长率为x，那么第四季销售总额用代数式可表示为（单位：万元）（ ） A．500（1+x） B．500+500x+500x C．500+500（1+x）+500（1+2x）
D．500+500（1+x）+500（1+x）
2
2
2
【解答】解：10月份的销售额为500万元，
11月份的销售额为500（1+x）万元， 12月份的销售额为500（1+x）万元，
则第四季销售总额用代数式可表示为：500+500（1+x）+500（1+x）， 故选：D．
7．（4分）已知x=2是关于x的方程x﹣（m+4）x+4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ） A．6
B．8
C．10 D．8或10
2
2
2
2
【解答】解：把x=2代入方程x﹣（m+4）x+4m=0得4﹣2（m+4）+4m=0，解得m=2，
方程化为x﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2， 因为2+2=4，
所以三角形三边为4、4、2， 所以△ABC的周长为10． 故选C．
8．（4分）如图，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=15°，在△OCD中，OC=OD，∠COD=45°，且点C在边OA上，连接CB，将线段OB绕点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE=CB，则∠BOE的度数为（ ）
2
A．15° B．15°或45° C．45° D．45°或60°
【解答】解：如图，当OE在∠BOD内部时，若∠DOE=∠COB=15°，则 由OD=OC，∠DOE=∠COB，OB=OE可得，△ODE≌△OCB， 故DE=CB，
此时∠BOE=45°﹣15°﹣15°=15°； 当OE'在∠BOD外部时，则
由OD=OC，∠DOE'=∠COB，OB=OE可得，△ODE'≌△OCB， 故DE'=CB，
此时∠BOE'=45°﹣15°+15°=45°； 故选：B．
9．（4分）如图，在△ABC中，BC=10，D、E分别为AB、AC的中点，连接BE、CD
交于点O，OD=3，OE=4，则△ABC的面积为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE∥BC， ∴△DOE∽△BOC， ∴
，
∴OB=8，OD=6， ∴BC=10，
∴△BOC是直角三角形， ∴△BOC的面积是24，
∴△BEC的面积是36，△BDE的面积是18， ∴△ABC的面积是72， 故选D
10．（4分）函数y=，当y=a时，对应的x有唯一确定的值，则a的取值
范围为（ ）
A．a≤0B．a＜0C．0＜a＜2 D．a≤0或a=2
【解答】解：由题意可知：y=a时，对应的x有唯一确定的值， 即直线y=a与该函数图象只有一个交点， ∴a≤0或a=2 故选（D）
二、填空题（每小题5分，满分20分） 11．（5分）计算：
+
= 8 ．
【解答】解：=4+4 =8．
故答案为：8．
+
12．（5分）当a=2017时，代数式的值为 ．
【解答】解：当a=2017时， ∴原式=
=
=
故答案为：
13．（5分）合肥市初中毕业学业体育考试项目分必考项1项和选考项2项，在8个选考项目中，张明同学可在立定跳远、跳绳和坐位体前屈三个项目模考中基本拿满分，现计划从这三个项目中任选两项作为中考选考项，则跳绳能被选上的概率为 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种情况，跳绳能被选上的有4种情况， 所以，P（跳绳能被选上）==．
故答案为：．
14．（5分）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断： ①PA+PB+PC+PD的最小值为10； ②若△PAB≌△PDC，则△PAD≌△PBC； ③若S1=S2，则S3=S4；
④若△PAB∽△PDA，则PA=2.4 其中正确的是 ①②③④ ．
【解答】解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC=BD=5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确； ②若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD≌△PBC，故②正确； ③若S1=S2，易证S1+S3=S2+S4，则S3=S4，故③正确；
④若△PAB～△PDA，则∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，∠APD=180°﹣（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，B、P、D三点共线，P是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA=2.4，故④正确． 故答案为①②③④．
三、解答题（每小题8分，满分16分） 15．（8分）解不等式：
≥
．
【解答】解：≥1﹣，
去分母得：2（2x﹣1）≥6﹣3（5﹣x）， 去括号得：4x﹣2≥6﹣15+3x， 移项合并得：x≥﹣7．
16．（8分）观察下列关于自然数的等式： （1）1﹣=1×①
22
（2）2﹣=2×②
2
（3）3﹣…
=3×③
根据上述规律解决下列问题： （1）写出第4个等式： 4﹣
= 4× ；
2
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性． 【解答】解：（1）根据题意，第4个等式为4﹣
2
=4×，
2
故答案为：4﹣
，4×；
（2）第n个等式为n﹣=n×
2
，
左边===n•
2
=右边，
∴第n个等式成立．
四、解答题（每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在9×8的正方形的网格中，△ABC的三个顶点和点O都在格点上．
（1）画出△ABC关于直线l成轴对称△A1B1C；
（2）将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后的△AB2C2．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求；
（2）如图所示，△AB2C2即为所求．
18．（8分）某品牌羽绒服按成本提高50%作为标价，由于换季，商家决定降价销售，促销措施为：买一件以八折（标价的80%）出售，买两件或两件以上七折（标价的70%）出售．已知顾客买一件商家能获利28元，若顾客同时买两件，商家每件还能获利多少元？
【解答】解：设该品牌羽绒服的成本价为x元， 根据题意得：80%×（1+50%）x﹣x=28， 解得：x=140，
∴140×（1+50%）×70%﹣140=7（元）．
答：若顾客同时买两件，商家每件还能获利7元．
五、（每小题10分，满分20分）
19．（10分）初，合肥市积极推进共享单车服务（如图1），努力创造绿色环保出行，
图2是某品牌单车的车架示意图，其中ED=40cm，∠DEF=60°，∠F=45°，求传动轮轴心E到后轮轴心F的距离EF的长．（结果精确到1cm，参考数据：1.73）
≈1.41，
≈
【解答】解：如图2中，作DH⊥EF于H． 在Rt△EDH中，∵sin∠DEH=
，
∴DH=DE×sin40°=40×=20cm，
∵cos∠DEH=，
∴EH=DE×cos60°=40×=20cm， 在Rt△DHF中，∵∠F=45°， ∴HF=DH=20
cm，
≈55cm，
∴EF=EH+HF=20+20
∴传动轮轴心E到后轮轴心F的距离EF的长约为55cm．
20．（10分）如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=10，分别以AD、BC为斜边向矩形外作Rt△ADF≌Rt△CBE，延长FA、EB交于点G． （1）求证：△ADF∽△BAG；
（2）若DF=4，请连接EF并求出EF的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB=90°，即∠DAF+∠BAG=90°， 又∵∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠ADF=∠BAG， 同理∠ECB=∠GBA， ∵△ADF≌△CBE， ∴∠ECB=∠DAF， ∴∠DAF=∠GBA， ∵在△ADF和△BAG中，∴△ADF∽△BAG； （2）连接EF，如图，
，
∵在Rt△ADF中，AD=5，DF=4，∴AF=∵△ADF∽△BAG， ∴
=
=
，∠AGB=∠AFD=90°，
=3，
∴AG=8，BG=6，
∴FG=AF+AG=11，EG=EB+BG=DF+BG=4+6=10， ∴在Rt△EFG中，EF=
六、（本题满分12分）
21．（12分）2016年合肥市初中生学业质量绿色指标综合评价在合肥12个县（市）、区312所学校进行，某校八年级根据比例被随机抽取了40名学生参与了语文、数学、英语、科学等四个科目的测试，根据这40位同学的数学成绩，绘制了如下条形统计图．
（1）结合以上信息完成下表： 平均成绩（分）
86.85
中位数（分）
90
众数（分）
90
=
．
（2）根据评价标准，96分以上（含96分）可评为优秀，该校八年级共有学生500名若全部参加测试，估计有多少学生的成绩能达到优秀？
（3）张明同学的数学成绩为88分，他认为自己成绩超过平均分，排名应该处于中上等水平，这种说法对吗？为什么？
【解答】解：（1）40名学生的数学成绩分别为：68，68，68，68，78，78，78，78，78，78，78，80，80，80，88，88，88，88，88，90，90，90，90，90，90，90，90，90，96，96，96，96，96，96，100，100，100，100，100， 则中位数为90，众数为90； 故答案为：90；90； （2）根据题意得：500×
≈138，
则估计有138名学生可达到游戏； （3）这种说法不对，
∵全班的中位数为90分，张明的成绩为88分， ∴他的成绩排名应该是中游偏下．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在△ABC中，AB=10
，∠BAC=60°，∠B=45°，点D是BC边上
一动点，连接AD，以AD为直径作⊙O交边AB、AC于点E、F，连接OE、OF、DE、DF、EF．
（1）求的值；
（2）当AD运动到什么位置时，四边形OEDF正好是菱形，请说明理由． （3）点D运动过程中，线段EF的最小值为 5
（直接写出结果）．
【解答】解：（1）∵∠BAC=60°， ∴∠EOF=120°， ∵OE=OF， ∴
=
；
（2）当AD平分∠BAC时，四边形OEDF是菱形， 理由：∵AD平分∠BAC， ∴DE=DF，∠BAD=30°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DEA=90°， ∴∠EDA=60°， ∵OE=OD，
∴△OED是等边三角形，即ED=OE，
∴OE=OF=DE=DF， ∴四边形OEDF是菱形； （3）由垂线的性质可知，
当AD⊥BC时，直径AD最短，即⊙O最小，即EF有最小值， 如图，过O作OH⊥EF于H， 在Rt△ADB中， ∵∠ABC=45°，AB=10∴AD=BD=10，
即此时，⊙O的直径为10， ∵∠EOH=∠EOH=∠BAC=60°，
，
∴EH=OE•sin∠EOH=5×=， ．
由垂径定理可得EF=2EH=5线段EF的最小值为5故答案为：5
．
，
八、（本题满分14分）
23．（14分）【阅读理解】我们知道，在正比例函数y=ax（a＞0）中y随x的增大而增大，当x取最小值时y有最小值；在反比例函数y=（k＞0）中，当x＞0时y随
x的增大而减小，当x取最大值时y有最小值，那么当x＞0时函数y=ax+（a＞0，k
＞0）是否存在最值呢？下面以y=2x+为例进行探究：
∵x＞0，∴y=2x+=2（x+）=2[+]
=[﹣6++6]
=2[+6]
=2+12
∴当﹣=0，即x=3时y有最小值，这时y最小=12．
【现学现用】
已知x＞0，当x= 1 时，函数y=x+有最 大 值（填“大”或“小”），最值为 2 ．
【拓展应用】
A、B两城市相距400千米，限速为300千米/小时的高铁从A城到B城的运行成本（万元）由可变成本和固定成本两部分构成，每小时的可变成本与行驶速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数k，固定成本为每小时4万元，在试运行过程中经测算，当行驶速度为100千米/小时时，可变成本为每小时1万元．
（1）试把每小时运行总成本y（万元）表示成速度v（千米/小时）的函数； （2）为了使全程运行成本z最低，高铁行驶的速度应为多少？ 【解答】解：【现学现用】∵y=x+=（
﹣
）+2，
2
∴当=时，y有最大值2，
∴x=1时，y有最大值2， 故答案为1，大，2．
【拓展应用】（1）∵当v=100时，kv=1，k=
2
，
∴y=
+4（0＜v≤300）．
（2）由（1）可知y=+4，
∴z=（+4）•=+=（﹣）+16≥16，
2
∴当=时，即v=200时，z有最小值16，
∴为了使全程运行成本z最低，高铁行驶的速度应为200千米/小时．
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