辽宁省五校协作体2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

数学科（理科）试卷

命题学校：鞍山一中 杨静 校对人：杨静

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1. 设集合M{x|x23x20}，集合N{x|()4}，则M12xN （ ）

（A）{x|x2} （B）{x|x1} （C）{x|x1} （D）{x|x2} z-2z

2. 已知复数z=1+i,则 = ( ) z-1

（A） -2i （B） 2i （C） -2 （D） 2

3. 如图，若f(x)logx3，g(x)log2x，输入x＝0.25，则输出h(x)＝ ( )

（A）0.25 （B）2log32 1

（C）－2log23

（D）－2

4. 下列选项中，说法正确的是 （ ） （A）命题“xR,x2x0”的否定是“xR,xx0” （B）命题“pq为真”是命题“pq为真”的充分不必要条件 （C）命题“若ambm，则ab”是假命题 （D）命题“在△ABC中，若sinA222

21，则A”的逆否命题为真命题 265. 一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变

1

绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t内的路程为s＝t2

2米，那么，此人 （ ） （A）可在7秒内追上汽车 （B）可在9秒内追上汽车 （C）不能追上汽车，但其间最近距离为14米

（D）不能追上汽车，但其间最近距离为7米

6. 在△ABC中，BCBAACAC，则三角形ABC的形状一定是 ( ) （A）等边三角形 （B）等腰三角形 （C）直角三角形 （D）等腰直角三角形 7. 函数f(x)sin(x)（其中||22）的图象如图所示，为了得到ysinx的图象，

只需把yf(x)的图象上所有点 （ ） （A） 向右平移（C） 向左平移

个单位长度 （B）向右平移个单位长度

1266个单位长度 （D）向左平移

12个单位长度

7题

122

8. 抛物线x＝y在第一象限内图象上一点(ai,2ai)处的切线与x轴交点的横坐标记

2为ai＋1，其中iN，若a2＝32，则a2＋a4＋a6等于 （ )

（A）64 （B）42 （C）32 （D）21

x2y2

9. 已知F1、F2是双曲线a2－b2＝1(a>b>0)的左右两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M,与双曲线交于点N（设点M,N均在第一象限），当直线MF1与直线ON平行时，双曲线的离心率取值为e0，则e0所在的区间为 （ ） （A）1,2 （B）

2,3 （C）

k3,2 （D）2,3

1x210. 设k是一个正整数，1的展开式中第四项的系数为，记函数y=x与y=kx的图

16k像所围成的阴影部分为S，任取x[0,4]，y[0,16]，则点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为 （ ）

175 （B） 963217（C） （D）

648（A）

11. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2。设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与

C1两点之间的距离为 （ ） （A） 1 （B） 2 （C）

33 （D） 3212. 已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数，且满足对任意的实数x都有

xffx34，则f(x)+f(-x) 的最小值等于 （ ）

（A） 2 （B）4 （C）8 （D）12

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题:本大题共4个小题,每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.

13. 在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者。三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有______种(用数字作答)．

3xy60xy2014. 设实数x,y满足约束条件，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为10，

x0y0则ab的最小值为 。

15. 把矩形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C-ABD的

正视图和俯视图如右图所示，则侧视图的面积为 。

正视图

223 4 4 俯视图 3 1x1,x116.定义域为R的函数f(x)，若关于x的

1,x1方程h(x)=[f(x)]+bf(x)+

2

125b-，有五个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5。设x1三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

已知函数fx2cosxsin2x27. 6（Ⅰ）求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合； （Ⅱ）已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若f(A)范围。

3,b+c=2。求实数a的取值2

18. （本小题满分12分）

在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格。

（1） 用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班

级的成绩进行比较。 甲 乙 （2） 求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取2 5 7 7 8 9 一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格4 7 8 8 6 7 8 的概率； 5 8 9 1 2 3 5 （3） 从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二 6 8 10 1 人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望。 19. （本小题满分12分）

如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，DD1平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=2A1B1,BAD60

（1）证明：BB1AC；

（2）若AB=2，且二面角A1-AB-C大小为60，连接AC,BD，设交点为O，连接B1O。求三棱锥B1-ABO外接球的体积。

（球体体积公式：V

20. （本小题满分12分）

设抛物线C1:y=4x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2；以F1，F2为焦点，离心率为椭圆记作C2

（1） 求椭圆的标准方程；

（2） 直线L经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1

交于A1，A2两点，与椭圆C2交于B1，B2两点。当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|长。

（3） 若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径

作圆M,是否存在定圆N,使得M与N恒相切？若存在，求出N的方程，若不

存在，请说明理由。

21. （本小题满分12分）

2

D1 A1 B1 DA C1 4R3,R是球半径） 3O B C

1的2y A2 B2 F1 O B1 F2 A1 x 已知函数f(x)lnx12xax,x(0,)(a是实数)，g(x)2+1。 xx1（1） 若函数f(x)在[1，+）上是单调函数，求a的取值范围；

（2） 是否存在正实数a满足：对于任意x11,2，总存在x21,2，使得f(x1)=g(x2)成

立，若存在求出a的范围，若不存在，说明理由。

（3） 若

数

2列

xn2满足

1x1,xn1g(xn)122，求证：

x1x2x1x2

x2x3x2x3xnxn1xnxn15。 16请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DEAC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.若

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线C:sin22acos(a0)，过点P(2,4)的直线l的参

C F

A

O

B

E D AC3AF，求的值。 AB5FDx2数方程为y42t,2t.（t为参数）。直线l与曲线C分别交于M、N.若

|PM|、|MN|、|PN|成等比数列,求实数a的值。

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)log2(|x1||x2|m）． （1）当m7时，求函数f(x)的定义域；

（2）若关于x的不等式f(x)2的解集是R，求m的取值范围．

2014—2015学年度上学期期末考试高三年级

数学科（理科）参考答案

一．选择题 题

1

号 答

A

案

二．填空题

13. 10 14.

三．解答题

17、本小题满分12分

解（Ⅰ）f(x)2cosxsin(2x22 B

3 D

4 C

5 D

6 C

7 A

8 B

9 A

10 C

11 A

12 B

2572 15. 16. 35 1325777)(1cos2x)(sin2xcoscos2xsin) 6661+31sin2xcos2x1+sin(2x). 226∴函数f(x)的最大值为2. 当且仅当sin(2x到。

所以函数最大值为2时x的取值集合为xxk（Ⅱ）由题意，f(A)sin(2A6)1,即2x62k2(kZ) ，即xk6,kZ时取

,kZ. „„（6分） 631，化简得 sin(2A).

6262135)， ∴ 2AA0,，2A(,， ∴A.

366666)1在ABC中，根据余弦定理，得abc2bccos2223(bc)23bc.

由bc2，知bc(bc2)1，即a21.∴当bc1时，取等号。 2又由b+c>a得a<2.所以a的取值范围是[1,2 ）。„„„„„„（12分）

18、本小题满分12分 解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分。 甲班的方差>乙班的方差

所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定。„„（4分） （本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）

（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A; 事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B

PAB2 则PB/A „„„„„„„„（8分）

PA7（3）X的取值为0,1,2,3，

分布列为

X 0

2P

1 2 3

1519 4516 454 45 期望EX

7 „„„„„„„„（12分） 519、本小题满分12分 证明：（1）底面平行四边形ABCD中，连接AC,BD，设AC因为AB=AD, BAD60，所以ACBD

BDO

又DD1平面ABCD，所以DD1AC，所以AC平面BDD1，

又因为四棱台ABCD-A1B1C1D1中，侧棱DD1与BB1延长后交于一点， 所以BB1平面BDD1，所以ACBB1。即BB1AC

（2）因为四边形ABCD为平行四边形， 所以OD。„„„„（4分）

1BD. 2由棱台定义及AB=AD=2A1B1知D1B1//DO，且D1B1=DO，

所以边四形D1B1OD为平行四边形， 所以DD1//B1O 。

因为DD1平面ABCD，所以B1O平面ABCD，即B1OAO, B1OBO

由（1）知ACBD于点O,即AOBO

以DB,AC,OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图：则 A(0，-3,0)，B（1，0,0），D(-1，0，0)，设B1（0,0，h），则D1（-1，0，h）；设

A1(a,b,h) (h>0)

则DA=(1，-3,0)，（a+1,b,0）， 因D1A1=

A1 D1 z B1 DA C1 O B x C y 为D1A1=

1DA， 21133,b=. 即A1(-，，h) 。 2222所以a=-

所以AA1(,13,h) ，AB(1,3,0) 22 设平面A1AB的一个法向量为n(x,y,z)，

13AAn0yhz0x1则，即2 2x3y0ABn0取y=3,则x=-3,z=3 h即n(3,3,)，又已知平面ABC的一个法向量m(0,0,1)

3h由二面角A1-AB-C大小为60，可得cosn,m3h939h21 2解得：h=

33 即棱台的高为 22因为B1OAO, B1OBO，AOBO

所以三棱锥B1-ABO外接球的直径就是以OA,OB,OB1为三条棱的长方体的体对角线,长

为3255312，所以外接球半径R=

42232445125 所以外接球体积为VR3.„„„（12分）

33448

20、本小题满分12分

x2y21 „„„„„„„„（2分） 解：（1）椭圆方程43 （2）当直线L与x轴垂直时，B1(1，

33),B2(1，-),又F1(-1,0), 22 此时B1F1B2F10，所以以B1B2为直径的圆不经过F1。不满足条件。

当直线L不与x轴垂直时，设L：y=k(x-1)

yk(x1) 由x2y2即34k2x28k2x4k2120

143 因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点。

8k24k212,x1x2 设B1(x1,y1)，B2（x2,y2）,则x1x2 2234k34k 因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以B1F1B2F10，又F1(-1，0) 所以（-1-x1）(-1-x2)+y1y2=0，即（1+k）x1x2+(1-k)(x1+x2)+1+k=0 所以解得k22

2

2

9 7y24x2222

由得kx-(2k+4)x+k=0

yk(x1) 因为直线L与抛物线有两个交点，所以k0

2k2442,x3x41 设A1(x3,y3) ，A2(x4,y4)，则x3x4k2k24642 „„„„(8分) k29 （3）存在定圆N,使得M与N恒相切，

所以A1A2x3x4p22

2

其方程为：(x+1)+y=16,圆心是左焦点F1.

由椭圆的定义可知：MF1MF22a4,MF14MF2 所以两圆相内切。 „„„„„„„„（12分）

21、本小题满分12分

11ax2x1解：（1）f(x)2a ,x[1，+）

xxx2 显然a0时，f(x)0，函数f(x)在[1，+）上是单调增函数，符合要求。 当a<0时，令g(x)=ax+x-1, 当x+时g(x) x-时, 所以函数f(x)在[1，+）上只能是单调减函数。

2

0所以14a0或g(1)0， 解得a1

412a1 综上：满足条件的a的取值范围是,140,。„„„„（3分）

（2）不存在满足条件的正实数a。因为

由 （1）知，a>0时f(x)在[1，+）上是单调增函数， 所以f(x)在[1，2]上是单调增函数。

所以对于任意x11,2，f(1) f(x1 )f(2)， 即f（x1）1a,ln2122a; g(x)21x2，当x时，g(x)0，

1x221,2所以g(x)在[1,2]上是单调减函数。 所以当x921,2时，g(x2)5,2

若对于任意x11,2，总存在x21,2，使得f(x1)=g(x2)成立， 则1a,ln2122a95,2，此时a无解。„„„„（7分） （3）因为x2xnn1g(xn)1x2，所以x，nN1>0时，0xn=1，则

x1=1，这与已知矛盾，所以0xn1x1xn111n1xnxn1xnx214121 nx2n1242228xn1 （两个等号不能同时成立） 所以

xnx2n1xn1xn2111xnxn1x(xn1xn)

nxn18xnxn1。

x1x2x1x2 2x2x3x2x32xnxn1xnxn122111118x1x2x2x321118x1xn111 xnxn1 又xn1xnxn1xn又x111xnxn1 所以x0n+1>xn ,所以 2xn211 22 所以

x1x2x1x2x2x3x2x32xnxn1xnxn1231215212

8816 „„„„„„„„（12分） 另解：因为xn1g(xn)12xn，所以x1>0时，0若xn=1，则x1=1，这与已知矛盾，所以0xn1。

又xn1xnxn1xn11xnxn1 所以x0n+1>xn ,所以 22xn1 xn1xn 设h(t)2xn1x 设x,1 n=t，则tn2x122tt ， 2t1则h(t)2(1t)2t2121t4t142t212t2522t2120

所以函数h(t)在t,1时是单调减函数，所以h(t)h()即xn1xn所以

12123 102xn3x nx21102xnxn1xnxn1xn1xn311(xn1xn)

xnxn110xnxn1x1x2x1x22x2x3x2x32xnxn1xnxn123111110x1x2x2x331110x1xn111 xnxn1 因为 x111,xn1xn 所以 xn11, 222 所以

x1x2x1x2xx23x2x32xxnn1xnxn1233521 10101622、本小题满分10分

解： 连接OD，BC，设BC交OD于点M.

因为OA=OD,所以OAD=ODA;又因为OAD=DAE,所以ODA=DAE 所以OD//AE；又 因为ACBC,且DEAC，所以BC//DE。 所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE=MD

由

AC33553，设AC=3x，AB=5x,则OM=x，又OD=x,所以MD=x-x=x AB52222AFAE4x8=。 FDOD5x52 所以AE=AC+CE=4x 因为OD//AE，所以

23、本小题满分10分

2

解：曲线C的直角坐标方程为y=2ax (a>0)

x2 将直线l的参数方程化为y4代入曲线C的直角坐标方程得：

2t,2 (t为参数）2t.212t422at164a0 2 因为交于两点，所以0，即a>0或a<-4.

设交点M,N对应的参数分别为t1,t2.则t1t22422a,t1t22164a

|MN|、|PN|成等比数列,则t1t2t1t2 若|PM|、 解得a=1或a=-4(舍)

所以满足条件的a=1. „„„„„„„„ （10分）

24、本小题满分10分

解：（1）由题设知：x1x27，

2不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

x21x2x1，或，或 x1x27x1x27x1x27解得函数f(x)的定义域为(,3)(4,)；„„„„（5分）

（2）不等式f(x)2即x1x2m4，

xR时，恒有x1x2(x1)(x2)3，

不等式x1x2m4解集是R，

m43,m的取值范围是 (,-1] „„„„（10分）