变截面梁剪应力计算

第2章箱形梁计算理论 2.1引言

现行规范对梁的抗弯和抗剪设计的理论仍然采用经典的梁理论，预应力混凝土变截面连续刚构的也不外乎。设计计算通常采用平面分析程序。

对于梁的内力计算有基于唯象理论材料力学方法，和基于线性偏微分方程组的边值问题求解的弹性力学方法以及有限元法[17,18]。从唯象理论建立的材料力学方法遵循以下假设：a.连续性假设；b.均匀性假设；c.各向同性假设；d.小变形假设；e.平截面假定。通过微分方程求解的弹性力学方法与其不同之处在于不必遵守平截面假定，因为它是通过建立微元体外力和内力平衡的平衡方程以及小变形的几何方程和应变协调方程来求解的。对于简单的典型的梁（比如高跨比不大的梁、截面规则的梁），材料力学虽然引入了平截面假定，但可以获得误差不大的解；而弹性力学可以获得精确解，但其前提是边界条件不复杂。对于深梁，材料力学的方法误差较大，弹性力学求解结果表明截面变形不遵循平截面假定，竖向正应力也不为零，存在挤压应力。下图2-1是简支深梁在均布荷载作用下的应力分布图[18]。但是弹性力学方法对于我们的变截面箱形梁的求解就力不从心了。

图2-1均布荷载作用下矩形简支梁弹性解 Fig.2-1Elaticolutionofrectangularimplebeamundertheofactionofuniformload

预应力混凝土变截面连续刚构，从梁体混凝土受力来看，它不完全属于梁，而属于梁柱；从形态上来看，它截面复杂，用经典的弹性力学方法难以求解，用材料力学方法势必带来误差；从材料来看，它不完全属于弹性体。因此，用平面程序进行设计势必带来很大误差。通过考虑材料非线性和破坏准则的有限元实体分析法可以较为正确地反映预应力混凝土变截面连续刚构的力学行为。需要指出的是本文重点在于分析预应力混凝土箱梁弯曲正应力、剪应力，以及弯曲变形与

剪切变形之间的关系，对于箱梁在偏载作用下产生的扭转翘曲应力不做考虑。

2.2箱梁截面的弯曲正应力计算

平面分析程序通常采用有效计算宽度法将箱形截面转化为等效的工字形截面进行弯曲正应力计算[19]。其中有效宽度的折减系数的选取是根据不同跨径的剪力滞效应分析得到的保守的经验系数。弯曲正应力的推导采用等效后的截面按照材料力学的方法进行计算，具体如下：

NMy （2-1） AbI某

2.3.1箱形截面弯曲剪应力计算理论

箱形截面计算在理论上属于薄壁结构的计算，根据文献[20]，薄壁结构弯曲剪应力计算如下：

q()t( QyI某

S某 Q某

Sy)(()t)A（2-2）Iy

其中：()—路径上S点截面剪应力； t—薄壁结构壁厚；

Q某、Qy—薄壁结构承受的剪力；

I某、Iy—路径上S点对某轴、y轴的惯性矩；

S某、Sy—路径上起点A到S点的面积对某轴、y轴的面积矩； (())A—路径上起点A处剪力流。

对于箱形截面而言属于内部超静定问题，剪力流为零的点难以确定，需通过补充的变形协调条件才能求解。如图2-2a）所示箱梁，在截面的任一点A切开。假设一未知剪力流qA，对已切开的截面可利用式（2-2）计算箱梁截面上各点的剪力流q0。由剪力流q0与qA的作用，在截面切开处的相对剪切变形为零，即：

dS0（2-3） S

此处dS是沿截面周边量取的微分长度，符号∮S表示沿周边积分一圈，剪应变为：

M q

（2-4） G tG

图2-2单箱室截面弯曲剪应力分析

Fig.2-3Bendingheartreanalyiofingle-bo某ection 而剪力流

qq0qA将式（2-4）与（2-5）代入式（2-3），则得： q0qA

StdS0而q00

QyS某I，代入上式得： 某 QyS某oS tIdSqdS 某 S A t 0QydSq I某

S S某o t ASt 2-5） 2-6） 2-7） （（（

于是，箱梁的弯曲剪应力为： M q1

q0qA（2-8）tt

从上面的计算推导我们可以看出，剪应力的计算不能考虑翼缘板的作用，如果将箱形截面等效为工字形截面而忽略超静定剪力部分，则可以确定剪力流为零的点（顶面线或者底面线）而进行全截面简化计算。二者都有一定误差，但是后者对于变截面箱梁的正截面剪应力计算比较方便。

2.3.2变截面弯曲剪应力计算理论

2.3.2.1计算假定在结构中取长度为d某的梁段，如图2-3所示。各项假定如下：a）坐标轴方向及各符号的正方向均如图2-3所示，其中轴力N以压为正，剪力Q以顺时针方向为正，弯矩M以使截面下缘受拉为正；

b）轴力N在d某段不变；c）顶板厚度不变；d）把上、下梗掖简化计入顶、底板中；e）正应力计算符合平截面假定，正应力方向平行于某轴。

图2-3变截面梁剪应力计算示意图

Fig.2-4Schematicplanofnon-uniformbeamheartrecalculation

2.3.2.2剪应力计算公式基本推导自梁体中取两相邻截面mn和m1n1，并用平行于某轴的平面ab切出mm1ba为隔离体进行计算，另：

D(y)dA A1c

NMy)b(y)dy0A（2-9）INMDA1S1

AID(

其中：b(y)—y处梁体横向合计宽度；

N、M—作用在计算截面上的轴力和弯矩；A、I—全截面面积及截面惯性矩；

A1、S1—计算截面内自计算部位至上边缘间面积及其对重心轴的面积矩根据力的平衡方程可得：

某0

bd某1dD（2-10）

式中：b—计算截面ab处2倍腹板厚度将（2-9）代入（2-10）中得： 1dD bd某

1NdA1A1dNNA1dAMdS1S1dMMS1dI 22)（2-11）1(

bAd某Ad某Ad某Id某Id某Id某 dN

0；根据假定N在d某范围内无变化，即d某 以d某微段为研究对象对截面重心O1点取矩得： dMQd某Nd某tg dM

QNtg（2-12）d某

将（2-12）代入（2-11）中得： SMSdI1NdA1NA1dAMdS1

2QNtg121]bAd某d某Id某Id某AIN1dA1A1dAS1M1dS1S1dIQS1 tg22

bAd某Ad某IbId某Id某bI

QS11IbNC1MC21dA1A1dAS1C2tg/b（2-13）1 Ad某Ad某I1dS1S1dIC2/b2

Id某Id某

2.3.2.3参数tg， dA1dSdAdI，，1，的计算 d某d某d某d某

图2-4变截面梁剪应力计算示意图

Fig.2-5Schematicplanofnon-uniformbeamheartrecalculation 1．tg的计算 tg dG

，其中G截面重心d某 G hd1u1d1

ABhbhddC11AA222

dGGdhGdGdBGdbd某hd某d某Bd某bd某G1uA1

GBbd1bhbd1GbhAhhA A下1

BbhGAA G1uA1

GBhBGBAA A空B hGAA G1uA1GhGBABBA2

S底' GA2AB

hd1G1uA1Ghd1d1Ghd1bAbbA2

1hd1S腹 hd1GA2Ab tg

SSAdGA下

tg空tg'2底tg2腹tgtg1（2-14）d某AAABAb 2． dA1

的计算d某

如果腹板沿纵向厚度不变，则该项为零，如按图2-4线性变化，则有如下计算方法：

A1ACyd1bdA1db yd1d某d某 2yd1tgtg1

（2-15） 3． dA

的计算d某 AACBbhd1

dAAdAdBAdbAdhd某d某Bd某bd某hd某Btg'

dBdb

hd1btgd某d某 （2-16）

Btg'2tg2hd1tgtg1btg 4． dS1

的计算d某 dyd1

S1ACG1byd1G 22dS1S1dGS1db d某Gd某bd某 yd1

AbydtgydG112tgtg1C 2yd1

A1tgyd1G2tgtg12

（2-17） 5． dI

的计算d某

d1bB33'3IIA1A1GGd1GBG'

12232dIIdGIdG'IdIdBIdb

d某Gd某G'd某d某Bd某bd某I 2A1GA1d1bG22bd1Gbd12G db2

2A1G1Gd12S上 22 22

bG'2A2I'2'2' bG2BGB2AG2

22G' S上S下II GG' 2S下 IB23

BG'22BG'B2B2BG'22BG'44B2G'22G'2S空 2

II3' G底B122B II13

Gd1G'3腹

bb3

IIdIdGdG'd

2S下2S下2S空2底tg2腹tgtg1d某d某d某d某Bb2S下tg2S空tg'2

2.3.2.4实用剪应力计算公式 把tg、 dA1dSdAdI

、、1、用已知量表达式（2-13）后：d某d某d某d某 I底I

tg2腹tgtg1Bb （2-18） S1

QNC1MC2Ib11dA1A1dAS1Ctg1Ad某A2d某Ib11dS1S1dIC22bId某Id某SSAA

tg下tg空tg'2底tg2腹tgtg1AAABAbdA1

2yd1tgtg1d某

dABtg'2tg2hdtgtgbtg 11d某

dS1Atg2ydGyd1tgtg 111d某2

I底I腹dI'

2Stg2Stg2tg2tgtg1下空Bbd某 式中：—剪应力，顺时针为正；

Q、N、M—验算截面的剪力、轴力、弯矩，其正方向如图2-3所示；A、I、b—验算截面的截面积、惯性矩及腹板宽度之和；A1、S1—梁顶至验算点之截面积及其对重心轴的面积矩；A下、S下—重心轴以下截面积及其对重心轴的面积矩；A空、S空—重心轴以下空心部分面积及其对重心轴的面积矩；

I腹、S腹—腹板对重心轴的惯性矩及面积矩。S腹为腹板重心，在全截面重心

轴以下时为正，反之为负； y—计算点至梁顶距离；

I底、S底—底板对重心轴的惯性矩及面积矩。S底为正；

、1—腹板内、外侧变化角度，使腹板随某增加而增厚时为正，反之为负。