《数学分析选讲》作业参考答案

《数学分析选讲》作业参考答案

一．填空

1． 点P0的任一邻域内都有点集E的无穷多个点。

22{(x,y):xy1} 2．

03．E(a,b)(c,d)

22{(x,y):(x1)(y2)1}; 4．

5． 点P0为点集E的界点是指：点P0的任一邻域中既有E的点又有E的余集的点;

2R6． ,．

7． 存在P0的一个邻域完全包含在点集E之中

8． 曲顶柱体的体积

22d(E)(ac)(bd)9．

10．

PP0limf(P)f(P0)

11． (2,1);

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数学分析选讲

12． 连通

二．判断题

1． 对; 2． 对; 3． 对; 4． 对; 5． 错; 6． 错； 7． 对; 8． 对; 9． 对; 10． 错; 11． 对;

12．对;． 13． 对; 14． 对; 15． 对; 16． 错; 17． 对; 18． 对; 19． 对; 22． 对; 23． 对; 24． 对

三．计算题

1． 解 视y为x的函数,对原方程两边关于x求导得:

x2y2yayaxy0

ayx2 解出y得:

yy2ax 2． 令f(,x)x22,则函数f在[1,1][1,1]上连续．从而,由定理19．1

知:函数

I()11x22dx在[1,1]上连续,特别在0处连续．于是

1

lim0121x2dxlim0I()I(0)1|x|dx1．

3． 由于

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20． 对; 21．错 数学分析选讲

pD{(x,y):2pxy2px,0x2}

为x-型闭区域,所以由定理2知:

xydxdyDp/20xdx2px2pxydyp/20x0dx0．

4． 解 由公式计算知：

xydx(yx)dyx(2(x1)1)(2(x1)L1222121x)4(x1)dx10.3(10x332x235x12)dx

5． 解 由定理19．4知:

F(x)xx2xx2-yedy2xe2-xy2x553xy2edyex2xexxx5ex23

2xeex3x2xy2e-xydy.

6． 由定义知

f(0x,0)f(0,0)x0x00 limx0x 0. fx(0,0)lim 第 页 共4页3

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同理可得

fy(0,0)0．

zx2xycos(xy3)yx7． 解 视为常数,关于求导数得:． 视x为常数,关于

求导数得:

zyx23y2cos(xy3)．

8． 先求f在点(1,3)关于x的偏导数,为此,令y3,得到以x为自变量的一元函

32f(x,3)x6x27,求它在x1的导数,得 数

fx(1,3)df(x,3)(3x212x)15x1dxx1．

再求f在(1,3)关于y的偏导数,先令x1,得到以y为自变量的一元函数

3f(1,y)12yy ,求它在y3的导数,得

fy(x,3)df(1,y)(23y2)25.y3dyy3

22f(x,y)2byf(x,y)axby9． 令,则fx(x,y)2ax,y在整个平面上连续,从而由定理17．2知:f在

P0(x0,y0)处可微．因此,由定理17．4知该曲面在

M(x0,y0,z0)点有不平行于z轴的切平面且其方程为

zz02ax0(xx0)2by0(yy0)．

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再由(4．2)式知,法线方程为

xx0yy0zz02ax02by01．

2f(,x)xcosx,则函数f在[1,1][0,2]上连续．从而,则定理19．1 10．令

知:函数

I()x2cosxdx02在[1,1]上连续,特别在0处连续．于是

83;

0limxcosxdxlimI()I(0)x2dx02220011．0,0;

12． 由定理知:

I(x)333(xyxy)dy(3x2yy3)dy1x1113x2(3212)(3414)12x220.24 313．解 由公式知

Df(x2y2)dxdy20dR02R2f(r2)rdr[12f(r)]0d[f(R)f(0)]02

14．解 由于直线段AB的方程为x1t,y12t(0t1)，所以由公式（1）知：

 第 页 共4页5

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

Lxydx(yx)dy[(1t)(12t)2t]dt0101(15t2t2)dt25.6

四．证明题

1．证明 因为x0,y(,)有

cosxy11x21x2

cosxy1dxdx1x2收敛,所以由M-判别法知含参量积分01x2在区

且反常积分

0 间(,)上一致收敛．

2． 由推广的链式法则知:

dzzduzdvzdtvetu(sint)costdtudtvdttdtte(costsint)cost.

3． 证明 应用不等式： (1)(Pn,P0)|xnx0||yny0|;

(2) |xnx0|(Pn,P0), |yny0|(Pn,P0) (n1,2,)

可知。

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4．

(xy)sin1|x||y|0.x2y2

5．当(x,y)(0,0)时,有

|xy|xy22|f(x,y)||x|xy22|y||y|．

因此

(x,y)(0,0)limf(x,y)0f(0,0),可见f在P0(0,0)点连续

6．证明 因为x0,y(,)有

cosxy11x21x2

cosxy1dxdx2201x1x收敛,所以由M-判别法知含参量积分在区

且反常积分

0 间(,)上一致收敛．

7． 由定义知

f(0x,0)f(0,0)x0x00 limx0x 0. fx(0,0)limfy(0,0)0同理可得

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五、应用题

22f(x,y)2byf(x,y)axby1． 解 令,则fx(x,y)2ax,y在整个平面上连

续,从而由定理17．2知:f在P0(x0,y0)处可微．因此,由定理17．4知该曲面在

M(x0,y0,z0)点有不平行于z轴的切平面且其方程为

zz02ax0(xx0)2by0(yy0)．

再由(4．2)式知,法线方程为

xx0yy0zz02ax02by01．

2． 解 (1) 求出所有的稳定点: 令

fx(x,y)2x60fy(x,y)10y100

得唯一稳定点P0(3,1)．

(2) 判断: 这里

Afx2(P0)20,Bfxy(P0)0,Cfy2(P0)10,DACB2200．

从而由定理17．11知:函数f在(3,1)处有极小值且极小值为f(3,1)8．

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