导数双变量证明题汇编

x0,,ffxlnxe1，给出下面四个命题：

①不等式fx0恒成立

②函数fx存在唯一零点，且x00,1 ③方程fxx有两个根

④方程fxf'xe1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，且x01,2. 其中正确的命题个数为（） A.1个B.2个

C.3个 D.4个

1. （2016秋•安庆期末）已知函数𝑓 𝑥 =𝑙𝑛𝑥+2𝑥． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣m．若函数g（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞1．

2. （2017•长沙模拟）已知函数f（x）=的图象为直线l．

（1）当a=2，b=﹣3时，求F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值；

（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）＞2．

1

𝑙𝑛𝑥𝑥

1

的图象为曲线C，函数g（x）=2ax+b

1

3. （2017•河北二模）已知函数f（x）=alnx+2x2﹣ax（a为常数）有两个极值点． （1）求实数a的取值范围；

（2）设f（x）的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．

4. （2017•凉山州模拟）设k∈R，函数f（x）=lnx﹣kx． （1）若k=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程； （2）若f（x）无零点，求实数k的取值范围；

（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2＞2．

2

1

5. 已知函数fx2xax2bcosx在点,23. f处的切线方程为y42

（1）求a,b的值，并讨论fx在0,上的增减性；

2

xx（2）若fx1fx2，且0x1x2，求证：f120.

2参考公式coscos2sin

2sin2

6. 已知函数f（x）=𝑥+lnx﹣3有两个零点x1，x2（x1＜x2） （Ⅰ）求证：0＜a＜e2 （Ⅱ）求证：x1+x2＞2a．

𝑎

3

7. 已知函数f（x）=lnx．

（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；

（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围； （3）若x1＞x2＞0，求证：

𝑓 𝑥1 −𝑓 𝑥2 𝑥1−𝑥2

>

2+𝑥2𝑥12

2𝑥2

．

4