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2020天津数学导数压轴题解析

2024-08-15 来源:乌哈旅游
2020天津数学导数压轴题解析

江苏南京王锦程

题目:

已知:f(x=)x+klnx,k≥−3,x1>x2≥1. 3求证:解析: f'(x1)+f'(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2. 题干关键点:多变量问题,抽象函数。

多变量问题:有几种常见思路:1.消元,这是最基础的一个想法,要求我们得到多变量之间的关系;2.整体代换,常见的就是比值代换或差值代换,还有同构的形式,然后多利用母函数的性质进行解决;3.主元法,这个方法很容易被大家所忽视,但在复杂的多元问题中,利用主元法往往有奇效,2019浙江导数压轴题就是很好的一个例子。 抽象函数:抽象函数的求导是基本功也是必须要掌握的部分,在所需证明的式子中出现了抽象函数的形式,一般来说要不是保留抽象函数,在证明过程中利用抽象函数求导,要不是将抽象函数完全展开,若是抽象函数较多较复杂,或者展开后并不能消除一些很“丑”的项,比如超越项,我们还是保留抽象函数进行求导为好,在求导的过程中,一些抽象函数的项可能会被抵消,进行简化,最终再展开。

笔者所采用的思路:主元法,抽象函数求导,另外需要特别留心的一个“技巧”:端点值为零,求导不能停! 解答: 分析法,首先对于所需求证不等式变形为: 即证:(x1−x2)(f'(x1)+f'(x2))−2f(x1)+2f(x2)>0. 将x1视为主元,即转化为证明g(x)=(x−x2)(f'(x)+f'(x2))−2f(x)+2f(x2)>0. 其中x>x2,x2视为常数看待,且x2为g(x)的端点值。 带入端点值,容易发现g(x2)=0,因此要留心“端点值为零,求导不能停!”的技巧。 对抽象函数进行求导,得g'(=x)f''(x)(x−x2)−f'(x)+f'(x2). f'''(x)(x−x2). 带入端点值,依然发现g'(x2)=0,因此继续求导,得=g''(x)6x3+2k其中,x−x2>0,f'''(x)=,由k≥−3与x>1易知f'''(x)>0,因此g''(x)>0. 3x由g''(x)>0知,g'(x)单调递增,由g'(x2)=0且x>x2,可知g'(x)>0,即g(x)单调递增,又由g(x2)=0且x>x2得g(x)>0,至此证得原不等式恒成立.

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