1．（2021·重庆巴南区·八年级期中）已知边数为n的多边形的一个外角是m°，内角和是
x°，外角和是y°．
（1）当x＝2y时，求n的值； （2）若x+y+m＝2380，求m的值．
2．（2021·北京朝阳区·八年级期中）在平面直角坐标系XOY中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：任意两点横坐标差的最大值称为“水平底”a，任意两点纵坐标差的最大值称为“铅垂高”h，“水平底”a与“铅垂高”h的乘积为点A，B，C的“矩面积S”，即“矩面积”S＝ah．
例如：点P（1，2），M（﹣3，1），N（2，﹣2），它们的“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．
（1）已知点A（1，2），B（3，﹣2），C（t，0）．
①若A，B，C三点的“矩面积”为12，写出点C的坐标： ；
②写出A，B，C三点的“矩面积”的最小值： ． （2）已知点D（﹣1，3），E（4，0），F（t，3t），
①当D，E，F三点的“矩面积”取最小值时，写出t的取值范围： ； ②当0≤t≤4时，写出S与t的函数关系式．
3．（2021·江苏秦淮区·）概念认识
有一组对角都是直角的四边形叫做“对直角四边形”．
数学理解
（1）下列有关“对直角四边形”的说法正确的是______（填写序号）；
①对直角四边形是轴对称图形；②对直角四边形的对角互补；③对直角四边形的一个外角等于与它相邻内角的对角；④对直角四边形的对角线互相垂直．
（2）如图①，在四边形ABCD中，A90，AB20，BC24，CD7，AD15．求证：四边形ABCD是对直角四边形． 问题解决
DABBCD90，CA平分BCD．（3）如图②，在对直角四边形ABCD中，求证ABAD
4．（2021·全国八年级期中）如图，在ABC中，点E在AC边上，连接BE，过点E作DF//BC，交AB于点D．若BE平分ABC,EC平分BEF．设ADE,AED．
（1）当80时，求DEB的度数． （2）试用含的代数式表示．
（3）若k（k为常数）．若和k都为正整数，直接写出k的值．
5．（2021·全国八年级期中）已知：DE//PQ，点A在直线DE上，点B、C都在PQ上（点B在点
C的左侧），连接AB，AC，AB平分∠CAD．
（1）如图1，求证：∠ABC＝∠BAC；
（2）如图2，点K为AB上一点，连接CK，若CK⊥AB，判断∠EAC与∠ACK之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在直线DE上取一点F，连接FK，使得∠AKF＝30°．若∠DAB＝∠AFK+∠KCB，求∠ACB的度数．（要求：在备用图中画出图形后，再计算）
6．（2021·全国）已知：如图，在ABC中，BAC90，ADBC于D，AE平分DAC，B62，求AEC的度数．
7．（2021·哈巴河中学八年级期中）如图所示．在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，∠
B=66°，∠C=54°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．
8．（2021·全国）（1）如图1，在△ABC纸片中，点D在边AC上，点E在边AB上，沿DE折叠，当点A落在CD上时，∠DAE与∠1之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；
（2）若折成图2时，即点A落在△ABC内时，请找出∠DAE与∠1，∠2之间的关系式并说明理由．
9．（2020·安徽八年级期中）如图，已知AB∥DE，求证：∠A＋∠ACD＋∠D＝360°．（请你至少使用两种方法证明）
10．（2021·全国）综合与实践：
问题情境：如图1，在RtABC中，ACB90，B60，CD为ABC的角平分线．作射线DP，DQ，使DQ平分ADP且交线段AC于点E，设ADP． 初步分析：（1）求ADC的度数；
特例探究：（2）当30时，求证：CDDQ； 拓展延伸：（3）当60时，射线DP交射线BC于点F． 请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择___________题．
A.当点F在线段BC上（不与点B，C重合）时，请在图2中画出符合题意的图形，并直接
写出AEDDFB的度数（用含的式子表示）．
B.当点F在线段BC的延长线上时，请在图2中画出符合题意的图形，并直接写出
AEDDFB的度数（用含的式子表示）．
11．（2020·涿州市实验中学）如图，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．
12．（2019·山东芝罘区·八年级期中）如图，在ABC中，CDAB于点D，AC于点E，EFCD于点G，交 BC于点F．
（1）求证：ADEEFC；
（2）若ACB72，A60，求 DCB的度数．
DE//BC交
13．（2020·标里中心中学八年级期中）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数； （2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数 ．
14．（2020·辽宁连山区·八年级期中）如图，ABC中，D为BC上一点，CBAD，
ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：AEFAFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分AFG且C30时，求CGF的度数．
15．（2020·宜昌市第九中学八年级期中）如图，已知△ABC中，∠B=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，且∠DAE=10°，求∠C的度数．
16．（2020·黑龙江牡丹江市·八年级期中）已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，求这个多边形共有多少条对角线．
17．（2020·内蒙古松山区·八年级期中）阅读材料
在平面中，我们把大于180且小于360的角称为优角．如果两个角相加等于360，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若1，2互为组角，且1135，则2______． 习惯上，我们把有一个内角大于180的四边形俗称为镖形．
（2）如图，在镖形ABCD中，优角BCD与钝角BCD互为组角，试探索内角A，B，D与钝角BCD之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由．
18．（2020·福建晋安区·八年级期中）我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°•x+120°•y＝360°，化简得x+2y＝6．因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）．
（1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；
（2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．
19．（2021·河南孟津县·八年级期中）如图，BM，CN分别是△ABC的高，点P在高BM上，点Q在高CN所在的直线上，且BP＝AC，CQ＝AB，请问AP与AQ有什么样的关系？说明理由．
20．（2021·河南孟津县·八年级期中）如图AD＝BC，∠ADC＝∠BCD．
求证：（1）∠BAC＝∠ABD； （2）AB∥CD．
21．（2021·重庆巴南区·八年级期中）如图，AB＝AD，BC＝CD，AC与BD相交于点O． （1）求证：BO＝DO；
（2）若AC＝4，BD＝3，求多边形ABCD的面积．
22．（2021·重庆巴南区·八年级期中）如图，在△ABC中，CG⊥AB，垂足为G，点D在CG的延长线上，且CD＝AB，连接AD，过点A作AF⊥AD，且AF＝AD，连接BF并延长交AC于E． （1）求证：∠1＝∠2；
（2）若AC＝6，EF＝1，求△ABC的面积．
23．（2021·香河县第九中学八年级期中）如图1所示，已知ABC中，ACB90,ACBC，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，求证：EFAEBF；
（2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（BFAE），其余条件不变，猜想EF与AE，BF有什么数量关系？并证明你的猜想；
（3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（BFAE）其余条件不变，问EF与AE，BF的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明．
24．（2021·河南濮阳县·）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为2，发现1与2互余，已知EF1米，BECD20米，BD58米，试求单元楼AB的高．
25．（2021·河北玉田县·八年级期中）如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC、AB边上的高，
AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，若CF＝AB．
（1）求证：△ABG≌△CFB；
（2）在完成（1）的证明后，爱思考的琪琪想：BF与BG之间有怎样的数量关系呢？它们之间又有怎样的位置关系？请你帮琪琪解答这一问题，并说明理由．
26．（2021·河南嵩县·八年级期中）在MAN内有一点D，过点D分别作DBAM，DCAN，垂足分别为B，C．且BDCD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若BEDCFD，请说明DEDF；
（2）如图2，若BDC120，EDF60，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
27．（2021·湖北汉阳区·）我国宋代的数学家秦九韶发现：若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积为sppapbpc，其中p图1，在ABC中，已知AB9，AC8，BC7．
1abc．如2
（1）求ABC的面积；
（2）如图2，AD，BE为ABC的两条角平分线，它们的交点为点I，求I到边BC的距离．
28．（2021·广西合浦县·）如图，OC平分AOB，点D，E分别在OA，OB上，点P在OC上，且PDPE．求证：PDOPEB．
29．（2021·福建厦门市·厦门一中八年级期中）四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形，AD＞AE，点E在线段AD的左侧，连接DE，BG．
（1）如图1，若点F在边AD上时，AD＝3，AE＝2，求DE的长．
（2）如图2，连接BE，若∠ADE＝∠ABG，BF＝BC，求证：三点B，G，E在同一直线上．
30．（2021·金水区·河南省实验中学八年级期中）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE． ①求证：BE=CD ②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=3，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值
31．（2021·河南汝州市·八年级期中）在ABC中，ABAC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
（1）如图1，如果点P是BC边上任意一点，线段BQ和线段PC的数量关系是 ； （2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）．
32．（2021·河南汝州市·八年级期中）证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：在RtABC和RtABC中，CC90，ACAC，AD与AD分别为BC，BC边上的中线且 ．求证： ．
请补全已知和求证部分，并写出证明过程．
33．（2021·珠海市文园中学八年级期中）如图，点A，M，B在同一直线上，以AB为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC和等边三角形ABD，连接CM，DM，过点M作MN＝DM，交BC边于点G，交DB的延长线于点N．
（1）求证：∠BCM＝∠BDM； （2）求∠CMN的度数； （3）求证：AM＝BN．
34．（2021·珠海市九洲中学八年级期中）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，
AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD； （2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程．
35．（2021·珠海市九洲中学八年级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）当α＝ 时，△AOD是等腰三角形．
36．（2021·珠海市文园中学八年级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若∠B﹣∠C＝60°，且AE＝6，求DE的长．
37．（2021·珠海市文园中学八年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，点E、F分别为AC、BC上的点，且∠EDF＝90°．
（1）求证：ED＝DF；
（2）若BC＝4，求四边形EDFC的面积．
38．（2021·天津育贤中学八年级期中）如图，△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB＝120°，
BD＝BC，CD交边AB于点E．
（1）求∠ACE的度数． （2）求证：DE＝3CE．
39．（2021·天津育贤中学八年级期中）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：BF＝DF．
40．（2021·广州市天河外国语学校八年级期中）已知△ABC中，AB=AC，BC=6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同， PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，过点P作PF//AQ交BC于点F，求证：△PDF≅△QDC．
（2）如图②，过点P作PEBC于点E，在点P从点B向点A移动的过程中，线段DE的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由．
41．（2021·河南濮阳县·八年级期中）如图，BD和CD分别平分ABC的内角EBA和外角ECA，BD交AC于点F，连接AD．
（1）求证：AD平分GAC；
（2）若ABAD，请判断ABC的形状，并证明你的结论．
42．（2021·辽宁和平区·八年级期中）如图所示，在等腰ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E，求证：BCD是等边三角形．
43．（2021·广州市真光中学八年级期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC，E为
CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）ABBCAD． （2）AE平分BAD．
44．（2021·北京市第五中学朝阳双合分校）根据题意，先在图中作出辅助线，再完成下列填空：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直线是BC的垂直平分线，点E为垂足，过点
D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，求证：BM＝CN．
证明：连接DB，DC ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN ∴DM＝① （② ） ∵DE是BC的垂直平分线 ∴DB＝③ （④ ） DBDC在⑤ 和⑥ 中
DMDN∴⑦ ≌⑧ （⑨ ） ∴BM＝CN（⑩ ）
45．（2021·江苏滨湖区·）按要求作图：
（1）如图1，在矩形ABCD中，请用圆规和无刻度的直尺在BC边上确定点M，点N 在AD 边上，使四边形AMCN是菱形；
（2）如图2，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上中点，请只用无刻度的直尺画出CD边上的高AH．
46．（2021·河北滦州市·八年级期中）已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠
BAC＝∠DAE＝90°．
（1）如图①所示，直接写出线段BE和CD之间的数量关系和位置关系．数量关系：______，位置关系：_______．
（2）将△ADE绕点A旋转到如图②所示的位置，请判断（1）中所得线段BE和CD之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由．
（3）猜想：若将题目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改为“∠BAC＝∠DAE＝60°”，其余条件不变，请直接写出直线BE和CD所夹锐角的度数为______．
47．（2021·云南昭通市·）已知四边形ABCD是正方形．
（1）如图1所示，点O是正方形对角线的交点，连接OB，OC，若AB4，求OB的长． （2）如图2所示，当点O是BC上一点，OCBC，连接BC，CD，点M是CD的中点，连接OM，CM，求证：CMOM．
48．（2021·重庆市开州中学）已知：如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，EC＝DC，BD⊥AD于点D，AD交BC于点F，点A、E、D三点共线，连接BD． （1）若∠ACE＝∠BCD，AD＝8，BD2AD，求DE的长； 5（2）若∠ACB＝∠ECD＝90°，且BD＝CE，求证：BC＝AB﹣CF．
49．（2021·福建三元区·八年级期中）如图1，ABC是等边三角形，D是边AC的中点，延长BC到E，使CEAD，连接BD，DE．
（1）求证：BDDE；
（2）如图2，若D是边AC上的任意一点，其他条件不变，小颖猜想BDDE仍然成立，并尝试作辅助线构造一个与△CDE全等的三角形，请你参考小颖的思路证明猜想BDDE．
50．（2021·河南社旗县·）数学练习课上，老师出示：如图，在四边形ABCD中，对角线
AC与BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC．求证：OB＝OD．
自主学习后，各小组展开了激烈的合作交流，达成共识：要证得OB＝OD，需先证出OB，OD所在的两个三角形全等．
在编题演练环节，王明同学编题如下：如图：在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，AB∥DC，OA＝OC先猜想△ABD的形状，再证明你的结论．请你对王明所编的题进行解答．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容