2020年湖北省武汉市中考数学模拟试卷（14）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若|a|＝﹣a，则a一定是（ ） A．正数 B．负数
C．正数或零 D．负数或零
2．（3分）函数y=√2𝑥−1𝑥的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0
B．x≠0且x≥1
2 C．x＞12 D．x≥12 3．（3分）成语“水中捞月”所描述的事件是（ ） A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
D．无法确定
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（ ）
A． B． C． D．6．（3分）路程s与时间t的大致图象如下左图所示，则速度v与时间t的大致图象为（
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）
A． B．
C． D．
7．（3分）由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（ ）
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同 D．游戏者配成紫色的概率为 61
8．（3分）若点A（﹣2020，y1）、B（2021，y2）都在双曲线𝑦=的取值范围是（ ） A．a＜0
B．a＞0
C．𝑎＞−2 3
3+2𝑎
上，且y1＞y2，则a𝑥D．𝑎＜−2
3
9．（3分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P沿着某一条直线做同样的轴对称，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域（每块区域为一个正方形小格）是（ ）
A．1区
B．2区 C．3区
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D．4区
10．（3分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2−
2𝑛+11
x+与x轴交于An，Bn以
𝑛(𝑛+1)𝑛(𝑛+1)|AnBn|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（ ） A．
20172016
B．
20162017
C．
20172018
D．
20182017
二．填空题（共6小题，满分15分）
11．一个正数的两个平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，则a＝ ．
12．（3分）一组数据：2，3，4，5，x，6，3，3中的中位数是3，则x的值为 ． 13．（3分）化简：
𝑎+𝑏𝑏
−
𝑎−𝑏𝑏
= ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E，且CD＝DE．点F在BC上，连接EF，AF，若∠CEF＝45°，∠B＝2∠CAF，BF＝2，则AB的长为 ．
15．（3分）如图，直线y＝ax+b与反比例函数y=𝑥（c＜0）的图象交于A，B两点，在反比例函数y=𝑥（d＞0）图象的第一象限分支上取一点C，若△ABC是以原点O为重心的等边三角形，则
𝑐𝑑𝑎𝑏4𝑑
𝑐
的值为 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边CD上，点F在线段BE上，且AB＝AF，若BF＝EF，则线段CE的长为 ．
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三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：√8+(−)−1−|1−√2|+20190．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
1
3
19．（8分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题
（1）本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部； （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度； （3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．
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20．（10分）如图，△ABC的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图： ①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹﹒ （1）在图1中画出AC边上的点D，使得CD＝2AD； （2）在图2中画出△ABC的重心G﹒
̂，DÊ=𝐶𝐸21．（8分）如图，AC为⊙O的直径，DBA为⊙O的割线，E为⊙O上一点，𝐵𝐸⊥AB于D，交AO的延长线于F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若tan∠DAE=
√155，求sin∠F的值．
22．（8分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系l＝t2+3t（t≥0），乙以8cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为42cm． （1）甲运动4s后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？
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23．（10分）问题探究
（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为 ；
（2）如图②，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由； 问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4√2，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+2mx+3m2与x轴相交于点B、C（点B在点C的左侧），与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E．
（1）如图1，当AO+BC＝7时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点F是抛物线的对称轴右侧一点，连接BF、CF、DF，过点F作FH∥x轴交DE于点H，当∠BFC＝∠DFB+∠BFH＝90°时，求点H的纵坐标；
（3）如图3，在（1）的条件下，点P是抛物线上一点，点P、点A关于直线DE对称，点Q在线段AP上，过点P作PR⊥AP，连接BQ、QR，满足QB平分∠AQR，tan∠QRP=
5
，点K在抛物线的对称轴上且在x轴下方，当CK＝BQ时，求线段DK的长． 12第6页（共27页）
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2020年湖北省武汉市中考数学模拟试卷（14）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若|a|＝﹣a，则a一定是（ ） A．正数
B．负数
C．正数或零
D．负数或零
【解答】解：∵a的相反数是﹣a，且|a|＝﹣a， ∴a一定是负数或零． 故选：D． 2．（3分）函数y=A．x≠0
√2𝑥−1𝑥的自变量x的取值范围是（ ）
1
B．x≠0且x≥2 C．x＞2 1
D．x≥2 1
【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0且x≠0， 解得x≥． 故选：D．
3．（3分）成语“水中捞月”所描述的事件是（ ） A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
D．无法确定
1
2【解答】解：水中捞月是不可能事件， 故选：C．
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
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故选：D．
5．（3分）如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：物体的主视图画法正确的是：
．
故选：C．
6．（3分）路程s与时间t的大致图象如下左图所示，则速度v与时间t的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：路程与时间成正比例关系，即在运动过程中速度v是一个定值． 故选：A．
7．（3分）由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（ ）
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A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同 D．游戏者配成紫色的概率为 61
【解答】解：A、A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；
2
3
11
B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误； C、由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误； D、画树状图如下：
由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种， 所以游戏者配成紫色的概率为，
61
故选：D．
8．（3分）若点A（﹣2020，y1）、B（2021，y2）都在双曲线𝑦=的取值范围是（ ） A．a＜0
B．a＞0
C．𝑎＞−2 3
3+2𝑎
上，且y1＞y2，则a𝑥D．𝑎＜−2
3+2𝑎
上，且y1＞y2， 𝑥3
【解答】解：∵点A（﹣2020，y1），B（2021，y2）两点在双曲线y=∴3+2a＜0， ∴a＜−2，
∴a的取值范围是a＜−2，
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3
3
故选：D．
9．（3分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P沿着某一条直线做同样的轴对称，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域（每块区域为一个正方形小格）是（ ）
A．1区
B．2区
C．3区
D．4区
【解答】解：如图，点P的对应点P′落在3区．
故选：C．
10．（3分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2−𝑛(𝑛+1)x+𝑛(𝑛+1)与x轴交于An，Bn以|AnBn|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（ ） A．
20172016
2𝑛+1
1
B．
20162017
C．
20172018
D．
20182017
【解答】解：y＝x2−∴An（，0），Bn（
𝑛
1
1
1
2𝑛+1111
x+=（x−）（x−），
𝑛(𝑛+1)𝑛(𝑛+1)𝑛𝑛+11
𝑛+1
，0），
∴|AnBn|=𝑛−𝑛+1，
∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|=1−2+2−3+3−4+⋯+2017−2018=1−2018=
2017
， 20181
1
1
1
1
1
1
1
1
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分15分）
11．一个正数的两个平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，则a＝ ﹣1 ． 【解答】解：由题意得：2a﹣1+（﹣a+2）＝0，
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解得：a＝﹣1． 故答案为：﹣1．
12．（3分）一组数据：2，3，4，5，x，6，3，3中的中位数是3，则x的值为 x≤3 ． 【解答】解：数据2，3，4，5，x，6，3，3中共有8个数， 该组数据的中位数是3， 则x的值为x≤3． 故答案为：x≤3． 13．（3分）化简：
𝑎+𝑏𝑏
−
𝑎−𝑏𝑏
= 2 ．
【解答】解：原式=故答案为：2
𝑎+𝑏−𝑎+𝑏2𝑏
==2， 𝑏𝑏14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E，且CD＝DE．点F在BC上，连接EF，AF，若∠CEF＝45°，∠B＝2∠CAF，BF＝2，则AB的长为 10 ．
【解答】解：如图，以AC为轴将△ACF翻至△ACK，在AB边上截取BL＝BF＝2
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB
∴∠BCE+∠DCE＝90°，∠BEC+∠DEC＝90° ∵CD＝DE
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∴∠DCE＝∠DEC ∴∠BCE＝∠BEC ∴BC＝BE
设CF＝x，则EL＝CK＝x ∴BK＝2x+2，BC＝BE＝x+2 设∠B＝2∠CAF＝2α 则∠CAK＝α，∠K＝90°﹣α
∴∠KAB＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α ∴∠K＝∠KAB ∴BA＝BK＝2x+2 在△CBL和△EBF中 𝐶𝐵=𝐸𝐵{∠𝐵=∠𝐵 𝐵𝐿=𝐵𝐹
∴△CBL≌△EBF（SAS） ∴∠BCL＝∠BEF
又∵∠CEF＝45°，∠BCE＝∠BEC ∴∠ECL＝∠CEF＝45°
∴∠ALC＝180°﹣45°﹣45°﹣∠BEF＝90°﹣∠BEF ∵∠ACL＝90°﹣∠BCL，∠BCL＝∠BEF ∴∠ALC＝∠ACL ∴AC＝AL＝2x
在Rt△ABC中，由勾股定理得： （x+2）2+（2x）2＝（2x+2）2 解得x＝4或x＝0（舍） ∴AB＝10 故答案为：10．
15．（3分）如图，直线y＝ax+b与反比例函数y=𝑥（c＜0）的图象交于A，B两点，在反比例函数y=𝑥（d＞0）图象的第一象限分支上取一点C，若△ABC是以原点O为重心的
𝑑
𝑐
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等边三角形，则
𝑐𝑑
𝑎𝑏
的值为 412 ．
【解答】解：连接OC延长与AB交于点D，直线y＝ax+b与x轴、y轴分别交于点E、F，连接AO，BO，
∵O是等边三角形△ABC的重心， ∴CD⊥AB，CO＝2DO，D是AB的中点， ∴∠OAE＝∠OBF＝30°，
直线y＝ax+b与反比例函数y=𝑥（c＜0）的图象交于A，B两点， 作AM⊥y轴，BN⊥x轴，连接OA、OB、AN、BM， ∴S△AOM=2|c|＝S△BON，
∴S△AOM＝S△AMN，S△BON＝S△BMN， ∴S△AMN＝S△BMN， ∴MN∥AB，
∴四边形MNBF，AMNE是平行四边形， ∴MN＝AE＝BF， ∴AE＝BF，
∴△AEO≌△BOF（SAS）， ∴EO＝OF，
∴△EOF是等腰直角三角形， ∴a＝﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由A，B是y＝﹣x+b与反比例函数y=𝑥（c＜0）的图象交点， 𝑦=−𝑥+𝑏
{𝑐， 𝑦=𝑥∴x2﹣bx+c＝0，
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𝑐
1
𝑐
∴x1+x2＝b， ∴y1+y2＝b， ∵D是AB的中点， ∴D（，），
2
2𝑏
𝑏
∵CO＝2DO， ∴C（﹣b，﹣b），
将C（﹣b，﹣b）代入y=𝑥，得到b2＝d， 在Rt△BCD中，CD=−∵OF＝﹣b， ∴DF=−∴BF=∴B（
√2√63√2b，BD＝CDtan30°=−b， 22𝑑
2b， b，
1+√322
√2−√621−√322
b，b），
b）代入y=𝑥，得到c=−2b2，
12
𝑐
1
将B（
𝑐𝑑𝑎𝑏41−√3b，
1+√3∴=
−𝑏2⋅𝑏2(−1)𝑏412
1
2=；
故答案为．
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16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边CD上，点F在线段BE上，且AB＝AF，若BF＝EF，则线段CE的长为 2−√3 ．
【解答】解：过F作FM⊥BC于M，FN⊥AB于N，如图所示： 则FN＝BM，FM＝BN，FM∥CE， ∵BF＝EF，
∴FM是△BCE的中位线，
∴CE＝2FM，FN＝BM＝CM=BC=， ∵AF＝AB＝1，
∴AN=√𝐴𝐹2−𝐹𝑁2=√12−(2)2=2， ∴FM＝BN＝1−2， ∴CE＝2FM＝2−√3； 故答案为：2−√3．
√31
2121√3
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：√8+(−)−1−|1−√2|+20190． 【解答】解：原式＝2√2−3﹣（√2−1）+1 ＝2√2−3−√2+1+1 =√2−1．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
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1
3
【解答】解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，理由如下： 如图所示：
∵AB＝AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC，BE＝EC， ∵△ABC平移得到△DEF， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴AD∥EC，AD＝EC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AE⊥BC，
∴四边形AECD是矩形．
19．（8分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题
（1）本次调查所得数据的众数是 1 部，中位数是 2 部；
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（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 54 度； （3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．
【解答】解：（1）∵调查的总人数为：10÷25%＝40， ∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14， ∴本次调查所得数据的众数是1部， ∵2+14+10＝26＞21，2+14＜20， ∴中位数为2部， 故答案为：1、2；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：故答案为：54；
（3）条形统计图如图所示，
640
×360°＝54°；
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D， 画树状图可得：
共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
第18页（共27页）
故P（两人选中同一名著）=
41=． 16420．（10分）如图，△ABC的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图： ①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹﹒ （1）在图1中画出AC边上的点D，使得CD＝2AD； （2）在图2中画出△ABC的重心G﹒
【解答】解：（1）如图点D即为所求．
（2）如图，点G即为所求．
̂，DÊ=𝐶𝐸21．（8分）如图，AC为⊙O的直径，DBA为⊙O的割线，E为⊙O上一点，𝐵𝐸⊥AB于D，交AO的延长线于F． （1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若tan∠DAE=5，求sin∠F的值．
√15第19页（共27页）
【解答】̂， ̂=𝐶𝐸∵𝐵𝐸
∴∠DAE＝∠EAC， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠DAE＝∠AEO， ∴AD∥OE， ∵AD⊥DF， ∴OE⊥DF， ∴DF是⊙O的切线；
（1）证明：如图连接OE．
（2）连接CE，∵由（1）知，DF是⊙O的切线， ∴∠OEF＝90°， ∴∠OEC+∠CEF＝90°， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AEO+∠OE＝90°， ∴∠CEF＝∠AEO， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠CEF＝∠OAE，
第20页（共27页）
∵∠F＝∠F， ∴△FCE∽△FEA， ∴
𝐶𝐹𝐸𝐹
=
𝐶𝐸𝐴𝐸
=𝑡𝑎𝑛∠𝐶𝐴𝐸=
√15， 5
设CF=√15𝑘，EF＝5k，圆的半径为r， 则𝑟2+(5𝑘)2=(𝑟+√15𝑘)2，𝑟=∴sin∠F=．
22．（8分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系l＝t2+3t（t≥0），乙以8cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为42cm． （1）甲运动4s后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？
1
4√153𝑘，
【解答】解：（1）当t＝4s 时，l＝t2+3t＝16+12＝28（cm）． 答：甲运动4s 后的路程是 28cm．
（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 21cm，甲走过的路程为 t2+3t， 乙走过的路程为 4t，则t2+3t+8t＝42， 解得：t1＝3，t2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s．
（3）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为三个半圆3×42＝126cm， 则t2+3t+8t＝126，
解得：t＝7 或 t＝﹣18（不合题意，舍去）．
第21页（共27页）
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s． 23．（10分）问题探究
（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为 BE+DF＝EF ；
（2）如图②，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由； 问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4√2，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图①，延长CD至G，使得DG＝BE， ∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠AFG＝90°， ∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠GAF＝∠EAF， 又∵AF＝AF， ∴△AEF≌△AEG，
∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF， 故答案为：BE+DF＝EF；
（2）存在．
第22页（共27页）
在等边三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
如图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE． 由旋转可得，CE＝AD＝2，BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴△DBE是等边三角形， ∴DE＝BD，
∴在△DCE中，DE＜DC+CE＝4+2＝6，
∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6， ∴BD的最大值为6；
（3）存在．
如图③，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE， ∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE， ∴△ABC≌△DBE， ∴DE＝AC，
∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC， ∴BF=BC＝2√2，
∴EF=√3BF=√3×2√2=2√6，
以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF， ∴DF=2BC=2×4√2=2√2，
∴AC＝DE≤DF+EF＝2√2+2√6，即AC的最大值为2√2+2√6．
1
1
12
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24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+2mx+3m2与x轴相交于点B、C（点B在点C的左侧），与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E．
（1）如图1，当AO+BC＝7时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点F是抛物线的对称轴右侧一点，连接BF、CF、DF，过点F作FH∥x轴交DE于点H，当∠BFC＝∠DFB+∠BFH＝90°时，求点H的纵坐标；
（3）如图3，在（1）的条件下，点P是抛物线上一点，点P、点A关于直线DE对称，点Q在线段AP上，过点P作PR⊥AP，连接BQ、QR，满足QB平分∠AQR，tan∠QRP=
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，点K在抛物线的对称轴上且在x轴下方，当CK＝BQ时，求线段DK的长． 12
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2mx+3m2＝﹣（x﹣m）2+4m2＝﹣（x﹣3m）（x+m）， ∴当x＝0时，y＝3m2，当y＝0时，x＝3m或x＝﹣m，该抛物线的顶点坐标为（m，4m2），
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∵抛物线y＝﹣x2+2mx+3m2与x轴相交于点B、C（点B在点C的左侧），与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点，
∴点A（0，3m2），点B（﹣m，0），点C（3m，0），点D（m，4m2）， ∴AO＝3m2，BC＝4m， ∵AO+BC＝7， ∴3m2+4m＝7，
解得，m1＝1，m2=−3（舍去）， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）连接EF，如右图2所示，
∵点B（﹣m，0），点C（3m，0），点D（m，4m2），点E是对称轴与x轴的交点， ∴BE＝CE＝2m，BC＝4m， ∵∠BFC＝90°， ∴EF=2BC＝2m， ∵HF∥x轴， ∴∠HFB＝∠FBE， ∵EF＝BE， ∴∠FBE＝∠BFE， ∴∠HFB＝∠BFE， ∵∠DFB+∠BFH＝90°， ∴∠DFB+∠BFE＝90°， ∴∠DFE＝90°，
∵∠DFE＝∠FHE＝90°，∠DEF＝∠FEH， ∴△DFE∽△FHE， ∴∴
𝐸𝐹𝐸𝐻2𝑚𝐸𝐻
1
7
==
𝐷𝐸𝐹𝐸
， ，
4𝑚22𝑚
解得，EH＝1， ∴点E的纵坐标为1；
（3）如图3，过点B作BM⊥PA交PA的延长线于点M，作BG⊥QR于点G，延长PR
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交x轴于点N，连接BR， 则四边形MBNP是矩形，
由（1）知点A（0，3），点D（1，4），点B（﹣1，0），点C（3，0）， ∵点P与点A关于直线DE对称， ∴点P的坐标为（2，3）， ∴点N（2，0） ∴BM＝BN＝3，
∴四边形MBNP是正方形， ∵QB平分∠AQR， ∴BM＝BG， ∴BG＝BN，
∵∠MQB＝∠GQB，∠QMB＝∠QGB＝90°，QB＝QB， ∴△MQB≌△GQB（AAS）， ∴MQ＝GQ，
同理可证，△BGR≌△BNR， ∴GR＝NR， ∵tan∠QRP=12，
∴设PQ＝5k，则PR＝12k，QR＝13k， ∵MP＝3， ∴MQ＝3﹣5k， ∵NP＝3， ∴RN＝3﹣12k，
∵QR＝QG+GR，MQ＝GQ，GR＝NR， ∴13k＝3﹣5k+3﹣12k， 解得，k=5， ∴PQ＝1，MQ＝2， ∵CE＝BE＝2， ∴CE＝MQ， ∵CK＝BQ，
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5
1
∴Rt△BMQ≌Rt△KEC（HL）， ∴BM＝EK＝3，
∴DK＝DE+EK＝4+3＝7．
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