1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．
分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．
证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．
显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC， CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 二、倍长中线（线段）造全等
2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
解：延长FD于K,使得DK=DF
∵DE⊥DF ∴∠EDK=∠EDF=90º 又∵DK=DF ED为公共边 ∴⊿EDK≌⊿EFD ∴EK=EF
三、作平行线
3．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．
AEFBDC 证明：作DH∥AE交BC于H． ∴∠DHB=∠ACB， ∵AB=AC，∴∠B=∠ACB ∴∠DHB=∠B，DH=BD ∵CE=BD ∴DH= CE 又DH∥AE，∠HDF=∠E ∠DFH=∠EFC（对顶角）
∴△ DFH≌△EFC（AAS） ∴DF=EF
四、补全图形
4．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．
证明：延长AD、BC相交于F． 由BD为∠ABC的平分线，BD⊥AF．
易证△ADB≌△FDB ∴FD= AD=a AF=2a ∠F=∠BAD 又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90° ∴∠ABD=∠FAC
∵BD为∠ABC的平分线 ∴∠ABD=∠CBE ∴∠FAC=∠CBE，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC ∴△ACF≌△BCE（ASA） ∴BE=AF=2a
五、利用角的平分线对称构造全等
5．如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD．
证明：在BC上截取BE=BA，连接DE． 由BD平分∠ABC，易证△ABD≌△EBD ∴AD=DE ∠A=∠BED
又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180° ∴∠DEC=∠C，∴DE=CD ∴AD=CD 七、图形变换 轴对称
1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.
平移
2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.
AB旋转
DEC
1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
ADFBEC
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