2019年普通高等学校招生全国统一考试(数学)文及答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）直线(1a)xy10与圆xy2x0相切，则a的值为 （A）1,1 （B）2.2 （C）1 （D）1

22（2）复数(1233i)的值是 2（A）i （B）i （C）1 （D）1 （3）不等式(1x)(1|x|)0的解集是

（A）{x|0x1} （B）{x|x0且x1} （C）{x|1x1} （D）{x|x1且x1} （4）函数ya在[0,1]上的最大值与最小值这和为3，则a＝ （A）

x11 （B）2 （C）4 （D） 24（5）在(0,2)内，使sinxcosx成立的x的取值范围是

5553,)(,) （B）(,) （C）(,) （D）(,)(,) 424444442k1k1（6）设集合M{x|x,kZ}，N{x|x,kZ}，则

2442（A）MN （B）MN （C）MN （D）MN

（A）(（7）椭圆5xky5的一个焦点是(0,2)，那么k

22

（A）1 （B）1 （C）5 （D）5

（8）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A）

3433 （B） （C） （D） 4555（9）0xya1，则有

（A）loga(xy)0（B）0loga(xy)1（C）1loga(xy)2 （D）loga(xy)2 （10）函数yxbxc（[0,)）是单调函数的充要条件是 （A）b0 （B）b0 （C）b0 （D）b0 （11）设(0,24)，则二次曲线x2ctgy2tg1的离心率取值范围

1222) （C）(,2) （D）(2,) 22（A）(0,) （B）(,12（12）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A）8种 （B）12种 （C）16种 （D）20种

第II卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．

（13）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间。我国农村人均居住面积如图所示，其中，从 年2000年的五年间增长最快。 （14）函数y22x（x(1,)）图象与其反函数图象的交点为 1x7（15）(x1)(x2)展开式中x3的系数是

（16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)。 能使这抛物线方程为y10x的条件是第 （要求填写合适条件的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b

（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式；

（18）甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动。甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙

2

每分钟走5米。

（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？

（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？

（19）四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PB平面ABCD。

（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样变化。面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90

（20）设函数f(x)x|x2|1，xR （1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的最小值。

（21）已知点P到两定点M(1,0)、N(1,0)距离的比为2，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。 （22）（本小题满分12分，附加题满分4分）

（I）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。

2

参考答案

一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 B 7 B 8 C 9 D 10 A 11 D 12 B 二、填空题 （13）1995 （14）(0,0),(1,1) （15）1008 （16）②⑤ 三、解答题

（17）解：（1）由图示，这段时间的最大温差是301020℃ （2）图中从6时到14时的图象是函数yAsin(x)b的半个周期

12146，解得 2811由图示，A(3010)10 b(1030)20

22∴

这时，y10sin(8x)20

3 43综上，所求的解析式为y10sin(x)20（x[6,14]）

84（18）解：（1）设n分钟后第1次相遇，依题意，有

n(n1)2n5n70，整理得n213n1400，解得n7，n20（舍）

2将x6,y10代入上式，可取第1次相遇是在开始后7分钟．

（2）设n分钟后第2次相遇，依题意，有

2nn(n1)5n370，整理得n213n4200，解得n15，n28（舍） 2第2次相遇是在开始后15分钟．

（19）解（1）∵PB平面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影，∴PADA ∴PAB是面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，PAB60

而PB是四棱锥PABCD的高，PAABtg603a

∴VPABCD1333aa2a 33（2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等

三角形．

作AEDP，垂足为E，连结EC，则ADECDE．

∴AEEC，CED90，故CFA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角． 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EOAC．

2aOAAEADa 2

AE2EC2(2OA)2(AE2OA)(AE2OA)0 在△AEC中，cosAEC22AEECAE所以，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90

（20）解：（I）f(2)3,f(2)7，由于f(2)f(2)，f(2)f(2) 故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

2xx3 x2（2）f(x)

2xx1 x2由于f(x)在[2,)上的最小值为f(2)3，在(,2)内的最小值为f()故函数f(x)在(,)内的最小值为

123 43 4|PM|2，即

|PN|（21）解：设P的坐标为(x,y)，由题意有

(x1)2y22(x1)2y2，整理得x2y26x10

因为点N到PM的距离为1，|MN|2

所以PMN30，直线PM的斜率为3 3直线PM的方程为y3(x1) 3将y3(x1)代入x2y26x10整理得x24x10 3解得x23，x23

则点P坐标为(23,13)或(23,13)

(23,13)或(23,13)

直线PN的方程为yx1或yx1．