一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. √5
B. √12 C. √0.2 D. √27 【答案】A
【解析】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、√12=12√2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、√0.2=√1=145√5，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、√27=3√3，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．
2. 下列各组线段a、b、c中，能组成直角三角形的是( )
A. 𝑎=4，𝑎=5，𝑎=6 B. 𝑎=1，𝑎=√3，𝑎=2 C. 𝑎=1，𝑎=1，𝑎=3 D. 𝑎=5，𝑎=12，𝑎=12 【答案】B
【解析】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵12+√32=22，∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵12+12≠32，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵52+122≠122，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3. 下列各式中，y不是x的函数的是( )
A. 𝑎=|𝑎| B. 𝑎=𝑎 C. 𝑎=−𝑎+1 D. 𝑎=±𝑎 【答案】D
【解析】解：A、𝑎=|𝑎|对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故A错误； B、𝑎=𝑎对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故B错误；
C、𝑎=−𝑎+1对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故C错误； D、𝑎=±𝑎对于x的每一个取值，y都有两个值，故D正确； 故选：D．
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
主要考查了函数的定义.函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
4. 用配方法解方程𝑎2−4𝑎−2=0变形后为( )
A. (𝑎−2)2=6 B. (𝑎−4)2=6 C. (𝑎−2)2=2 D. (𝑎+2)2=6 【答案】A
【解析】解：把方程𝑎2−4𝑎−2=0的常数项移到等号的右边，得到𝑎2−4𝑎=2 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到𝑎2−4𝑎+4=2+4 配方得(𝑎−2)2=6． 故选：A．
在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的平方． 配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边； (2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5. 一次函数𝑎=𝑎+2的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D
【解析】解：∵𝑎=1>0，图象过一三象限，𝑎=2>0，图象过第二象限， ∴直线𝑎=𝑎+2经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D．
根据k，b的符号确定一次函数𝑎=𝑎+2的图象经过的象限．
本题考查一次函数的𝑎>0，𝑎>0的图象性质.需注意x的系数为1．
6. 一元二次方程𝑎2−8𝑎+20=0的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A
【解析】解：∵△=(−8)2−4×20×1=−16<0， ∴方程没有实数根． 故选：A．
先计算出△，然后根据判别式的意义求解．
本题考查了一元二次方程𝑎𝑎2+𝑎𝑎+𝑎=0(𝑎≠0)的根的判别式△=𝑎2−4𝑎𝑎：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
7. 已知正比例函数𝑎=𝑎𝑎(𝑎<0)的图象上两点𝑎(𝑎1,𝑎1)、𝑎(𝑎2,𝑎2)，且𝑎1<𝑎2，下列说法正
确的是( ) A. 𝑎1>𝑎2 B. 𝑎1<𝑎2 C. 𝑎1=𝑎2 D. 不能确定 【答案】A
【解析】解：∵一次函数𝑎=𝑎𝑎中，𝑎<0，
∴函数图象经过二、四象限，且y随x的增大而减小， ∵𝑎1<𝑎2， ∴𝑎1>𝑎2． 故选：A．
先根据题意判断出一次函数的增减性，再根据𝑎1<𝑎2即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是( )
A. 10 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C
1
【解析】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8， ∴这个菱形的面积是：12×6×8=24．
故选：C．
由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案． 此题考查了菱形的性质.菱形的面积等于对角线积的一半是解此题的关键．
9. 已知一次函数𝑎=𝑎𝑎+𝑎的图象如图所示，当𝑎<2时，y的取值范围是( )
A. 𝑎<−4 B. −4<𝑎<0 C. 𝑎<2 D. 𝑎<0 【答案】D
【解析】解：将(2,0)、(0,−4)代入𝑎=𝑎𝑎+𝑎中， 得：{−0=42𝑎=+𝑎𝑎，解得：{𝑎𝑎==2−4，
∴一次函数解析式为𝑎=2𝑎−4． ∵𝑎=2>0，
∴该函数y值随x值增加而增加， ∴𝑎<2×2−4=0． 故选：D．
由函数图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，再根据函数的性质找出函数的单调性，代入𝑎<2即可得出结论．
本题考查了待定系数法求出函数解析式以及一次函数的性质，解题的关键是找出该一次函数的单调性.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．
10. 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点.若𝑎𝑎=8，
𝑎𝑎=3，则线段OB的长为( ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠𝑎=90∘，
∵𝑎是矩形ABCD的对角线AC的中点，𝑎𝑎//𝑎𝑎， ∴𝑎𝑎是△𝑎𝑎𝑎的中位线， ∵𝑎𝑎=3， ∴𝑎𝑎=6，
∵𝑎𝑎=𝑎𝑎=8，
∴𝑎𝑎=√𝑎𝑎2+𝑎𝑎2=10， ∴𝑎𝑎=12𝑎𝑎=5． 故选：A．
已知OM是△𝑎𝑎𝑎的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长．
11. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商
场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价( ) A. 5元 B. 10元 C. 20元 D. 10元或20元 【答案】C
【解析】解：设每件衬衫应降价x元，则每天可销售(20+2𝑎)件， 根据题意得：(40−𝑎)(20+2𝑎)=1200， 解得：𝑎1=10，𝑎2=20． ∵扩大销售，减少库存， ∴𝑎=20． 故选：C．
设每件衬衫应降价x元，则每天可销售(20+2𝑎)件，根据每件的利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为(2,0)，
点B的坐标为(0,1)，点C在第一象限，对角线BD与x轴平行.直线𝑎=𝑎+3与x轴、y轴分别交于点E，𝑎.将菱形ABCD沿x轴向左平移m个单位，当点D落在△𝑎𝑎𝑎的内部时(不包括三角形的边)，m的值可能是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C
【解析】解：∵菱形ABCD的顶点𝑎(2,0)，点𝑎(1,0)， ∴点D的坐标为(4,1)， 当𝑎=1时，𝑎+3=1， 解得𝑎=−2，
∴点D向左移动2+4=6时，点D在EF上，
∵点D落在△𝑎𝑎𝑎的内部时(不包括三角形的边)， ∴4<𝑎<6，
∴𝑎的值可能是5． 故选：C．
根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点D的坐标，再根据直线解析式求出点D移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可．
本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，比较简单，求出m的取值范围是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 若√𝑎−2在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 【答案】𝑎≥2
【解析】解：由题意得：𝑎−2≥0， 解得：𝑎≥2，
故答案为：𝑎≥2．
根据二次根式有意义的条件可得𝑎−2≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
14. 将直线𝑎=−2𝑎+4向下平移5个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】𝑎=−2𝑎−1
【解析】解：直线𝑎=−2𝑎+4向下平移5个单位长度后：𝑎=−2𝑎+4−5，即𝑎=−2𝑎−1． 故答案为：𝑎=−2𝑎−1．
直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
15. 已知关于x的方程𝑎2−𝑎𝑎−6=0的一个根为𝑎=3，则实数k的值为______． 【答案】1
【解析】解：∵𝑎=3是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得32−3𝑎−6=0，解此方程得到𝑎=1．本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解． 本题逆用一元二次方程解的定义易得出k的值．
16. 如图是某地区出租车单程收费𝑎(元)与行驶路程𝑎(𝑎𝑎)之间的函
数关系图象，根据图象回答下列问题： (Ⅰ)该地区出租车的起步价是______元； (Ⅱ)求超出3千米，收费𝑎(元)与行驶路程𝑎(𝑎𝑎)(𝑎>3)之间的函数关系式______． 【答案】8；𝑎=2𝑎+2
【解析】解：(Ⅰ)该城市出租车3千米内收费8元， 即该地区出租车的起步价是8元； 故答案为：8；
(Ⅱ)依题意设y与x的函数关系为𝑎=𝑎𝑎+𝑎， ∵𝑎=3时，𝑎=8，𝑎=8时，𝑎=18； ∴{8𝑎3𝑎++𝑎𝑎=8=18， 解得{𝑎𝑎==22；
所以所求函数关系式为：𝑎=2𝑎+2(𝑎>3)． 故答案为：𝑎=2𝑎+2．
(Ⅰ)利用折线图即可得出该城市出租车3千米内收费8元， (Ⅱ)利用待定系数法求出一次函数解析式即可．
此题主要考查了一次函数的应用，根据待定系数法求出一次函数的解析式是解题关键．
17. 如图，在△𝑎𝑎中，𝑎𝑎=𝑎𝑎，点D、E分别是边AB、AC的中点.延长DE到点
F，使𝑎𝑎=𝑎𝑎，得四边形𝑎𝑎𝑎𝑎.若使四边形ADCF是正方形，则应在△𝑎𝑎𝑎中再添加一个条件为______． 【答案】∠𝑎𝑎𝑎=90∘
【解析】解：∠𝑎𝑎𝑎=90∘时，四边形ADCF是正方形， 理由：∵𝑎是AC中点， ∴𝑎𝑎=𝑎𝑎， ∵𝑎𝑎=𝑎𝑎，
∴四边形ADCF是平行四边形， ∵𝑎𝑎=𝑎𝑎，𝑎𝑎=𝑎𝑎， ∴𝑎𝑎=12𝑎𝑎，
∴𝑎𝑎=𝑎𝑎， ∵𝑎𝑎=𝑎𝑎， ∴𝑎𝑎=𝑎𝑎，
∴四边形ADCF是矩形，
点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴𝑎𝑎//𝑎𝑎， ∵∠𝑎𝑎𝑎=90∘， ∴∠𝑎𝑎𝑎=90∘， ∴矩形ADCF是正方形．
故答案为：∠𝑎𝑎𝑎=90∘．
先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明𝑎𝑎=𝑎𝑎即可，再利用∠𝑎𝑎𝑎=90∘得出答案即可．
本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、正方形的判定；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C，D均为格点．
(Ⅰ)∠𝑎𝑎𝑎的大小为______(度)；
(Ⅱ)在直线AB上存在一个点E，使得点E满足∠𝑎𝑎𝑎=45∘，请你在给定的网格中，利用不带刻度的直尺作出∠𝑎𝑎𝑎． 【答案】90
【解析】解：(Ⅰ)如图，∵△𝑎𝑎𝑎是等腰直角三角形，
∴∠𝑎𝑎𝑎=90∘
故答案为90；
(Ⅱ)构造正方形BCDE，∠𝑎𝑎𝑎即为所求；
3
(Ⅰ)如图，根据△𝑎𝑎𝑎是等腰直角三角形，即可解决问题； (Ⅱ)构造正方形BCDE即可；
本题考查作图−应用与设计，解题的关键是寻找特殊三角形或特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分） 19. 计算下列各题：
(Ⅰ)√12+3√2×√6；
(Ⅱ)(√5+√2)(√5−√2)−(√3+√2)2． 【答案】解：(Ⅰ)原式=2√3+3√3=5√3；
(Ⅱ)原式=(√5)2−(√2)2−(5+2√6)
=5−2−5−2√6
=−2−2√6．
【解析】(Ⅰ)先化简二次根式、计算乘法，再合并同类二次根式即可得；
(Ⅱ)先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、合并同类二次根式即可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
20. 某校运动会需购买A、B两种奖品共100件，其中A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元，
且购买的A种奖品的数量不大于B种奖品的3倍 设购买A种奖品x件． (Ⅰ)根据题意，填写下表： 购买A种奖品的数量/件 30 70 x 购买A种奖品的费用/元 300 ______ ______ 购买B种奖品的费用/元 ______ 450 ______ (Ⅱ)设购买奖品所需的总费用为y元，试求出总费用y与购买A种奖品的数量x的函数解析式； (Ⅲ)试求A、B两种奖品各购买多少件时所需的总费用最少？此时的最少费用为多少元？ 【答案】700；10x；1050；1500−15𝑎 【解析】解：(Ⅰ)由题意可得， 当购买A种奖品30件时，购买A种奖品的费用是30×10=300(元)，购买B种奖品的费用是15×(100−30)=1050(元)，
当购买A种奖品70件时，购买A种奖品的费用是70×10=700(元)，购买B种奖品的费用是15×(100−70)=450(元)，
当购买A种奖品x件时，购买A种奖品的费用是30𝑎(元)，购买B种奖品的费用是15×(100−𝑎)=(1500−15𝑎)(元)，
故答案为：700、10x、1050、1500−15𝑎； (Ⅱ)由题意可得，
𝑎=10𝑎+15(100−𝑎)=−5𝑎+1500，
即总费用y与购买A种奖品的数量x的函数解析式是𝑎=−5𝑎+1500； (Ⅲ)∵购买的A种奖品的数量不大于B种奖品的3倍， ∴𝑎≤3(100−𝑎)， 解得，𝑎≤75，
∵𝑎=−5𝑎+1500，
∴当𝑎=75时，y取得最小值，此时𝑎=−5×75+1500=1125，100−𝑎=25，
答：购买的A种奖品75件，B种奖品25件时，所需的总费用最少，最少费用是1125元． (Ⅰ)根据题意和表格中的数据可以将表格中缺失的数据补充完整； (Ⅱ)根据题意可以写出y与x的函数关系式；
(Ⅲ)根据题意可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分） 21. 解下列方程：
(Ⅰ)𝑎2+3=2√3𝑎
(Ⅱ)𝑎(𝑎−2)+𝑎−2=0．
【答案】解：(𝑎)移项得：𝑎2−2√3𝑎+3=0， 配方得：(𝑎−√3)2=0， 开方得：𝑎−√3=0， 即𝑎1=𝑎2=√3；
(𝑎𝑎)𝑎(𝑎−2)+𝑎−2=0， (𝑎−2)(𝑎+1)=0， 𝑎−2=0，𝑎+1=0， 𝑎1=2，𝑎2=−1．
【解析】(𝑎)移项，配方，开方，即可求出答案；
(𝑎𝑎)先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
22. 如图，在𝑎𝑎△𝑎𝑎𝑎中，
∠𝑎𝑎𝑎=90∘，𝑎𝑎=3，𝑎𝑎=4，在边BC上有一点M，将△𝑎𝑎𝑎沿直线AM折叠，点B恰好落在AC延长线上的点D处． (Ⅰ)𝑎𝑎的长=______； (Ⅱ)𝑎𝑎的长=______； (Ⅲ)求CM的长． 【答案】5；1
【解析】解：(Ⅰ)∵∠𝑎𝑎𝑎=90∘，𝑎𝑎=3，𝑎𝑎=4
∴𝑎𝑎=5
(Ⅱ)∵折叠
∴𝑎𝑎=𝑎𝑎=5且𝑎𝑎=4
∴𝑎𝑎=1
(Ⅲ)连接DM
∵折叠∴𝑎𝑎=𝑎𝑎
在𝑎𝑎△𝑎𝑎𝑎中，𝑎𝑎2=𝑎𝑎2+𝑎𝑎2
∴(3−𝑎𝑎)2=1+𝑎𝑎2
∴𝑎𝑎=43
(Ⅰ)由勾股定理可得AB的长．
(Ⅱ)由折叠可得𝑎𝑎=𝑎𝑎，即可求CD的长．
(Ⅲ)在直角三角形CDM中，根据勾股定理可得方程，可求出CM的长．
本题考查了折叠问题，勾股定理的运用，关键是灵活运用折叠的性质解决问题．
23. 在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且𝑎𝑎=𝑎𝑎．
(Ⅰ)如图①，求证四边形AECF是平行四边形；
(Ⅱ)如图②，若∠𝑎𝑎𝑎=90∘，且四边形AECF是边长为6的菱形，求BE的长． 【答案】解：(𝑎)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝑎𝑎//𝑎𝑎， ∵𝑎𝑎=𝑎𝑎，
∴四边形AECF是平行四边形； (𝑎𝑎)如图：
∵四边形AECF是菱形， ∴𝑎𝑎=𝑎𝑎， ∴∠1=∠2，
∵∠𝑎𝑎𝑎=90∘，
∴∠2+∠3=90∘∠1+∠𝑎=90∘， ∴∠3=∠𝑎， ∴𝑎𝑎=𝑎𝑎， ∵𝑎𝑎=6， ∴𝑎𝑎=6．
【解析】(𝑎)根据平行四边形的性质得出𝑎𝑎//𝑎𝑎，根据平行四边形的判定推出即可； (𝑎𝑎)根据菱形的性质求出𝑎𝑎=6，𝑎𝑎=𝑎𝑎，求出𝑎𝑎=𝑎𝑎即可．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
24. 如图，在𝑎𝑎△𝑎𝑎𝑎中，∠𝑎𝑎𝑎=90∘，∠𝑎=30∘，𝑎𝑎=12𝑎𝑎，点E从点A出发沿AB以每
秒lcm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒(0<𝑎<6)，过点D作𝑎𝑎⊥𝑎𝑎于点F． (𝑎)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；
(Ⅱ)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；
(Ⅲ)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．
【答案】解：(𝑎)由题意得，𝑎𝑎=𝑎，𝑎𝑎=2𝑎， 则𝑎𝑎=𝑎𝑎−𝑎𝑎=12−2𝑎， ∵𝑎𝑎⊥𝑎𝑎，∠𝑎=30∘， ∴𝑎𝑎=12𝑎𝑎=𝑎；
(Ⅱ)∵∠𝑎𝑎𝑎=90∘，𝑎𝑎⊥𝑎𝑎， ∴𝑎𝑎//𝑎𝑎，
∵𝑎𝑎=𝑎，𝑎𝑎=𝑎， ∴𝑎𝑎=𝑎𝑎，
∴四边形AEFD是平行四边形；
(Ⅲ)当𝑎=3时，四边形EBFD是矩形，
理由如下：∵∠𝑎𝑎𝑎=90∘，∠𝑎=30∘， ∴𝑎𝑎=12𝑎𝑎=6𝑎𝑎，
∵𝑎𝑎//𝑎𝑎，
∴𝑎𝑎=𝑎𝑎时，四边形EBFD是平行四边形，即6−𝑎=𝑎， 解得，𝑎=3， ∵∠𝑎𝑎𝑎=90∘， ∴四边形EBFD是矩形，
∴𝑎=3时，四边形EBFD是矩形．
【解析】(𝑎)根据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，根据直角三角形的性质表示出DF；(Ⅱ)根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明； (Ⅲ)根据矩形的定义列出方程，解方程即可．
本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，直线𝑎𝑎=−11：2𝑎+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，且与直线𝑎2：
𝑎=𝑎于点C．
(Ⅰ)如图①，求出B、C两点的坐标；
(Ⅱ)若D是线段OC上的点，且△𝑎𝑎𝑎的面积为4，求直线BD的函数解析式．
(Ⅲ)如图②，在(Ⅱ)的条件下，设P是射线BD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5
【答案】解：(Ⅰ)对于直线：𝑎=−2𝑎+4，令𝑎=0，得到𝑎=4， ∴𝑎(0,4)，
8𝑎=𝑎𝑎=3由{𝑎=−1𝑎+4，解得{8，
2𝑎=31∴𝑎(,).
(Ⅱ)∵点D在直线𝑎=𝑎上，设𝑎(𝑎,𝑎)， ∵△𝑎𝑎𝑎的面积为4， ∴2×4×𝑎=4， 解得𝑎=2， ∴𝑎(2,2)．
设直线BD的解析式为𝑎=𝑎𝑎+𝑎，则有{2𝑎+𝑎=2， 解得{𝑎=4，
∴直线BD的解析式为𝑎=−𝑎+4．
(Ⅲ)如图②中，
𝑎=−1𝑎=418833
①当OB为菱形的边时，𝑎𝑎=𝑎𝑎=4，可得𝑎(2√2,4−2√2)，𝑎(2√2,−2√2). ②当𝑎′𝑎为菱形的对角线时，四边形𝑎𝑎𝑎′𝑎′是正方形，此时𝑎(4,4)． ③当OB为菱形的边时，点𝑎″与D重合，P、Q关于y轴对称，𝑎″(−2,2)， 综上所述，满足条件的Q的坐标为(2√2,−2√2)或(−2,2)或(4,4)．
【解析】(Ⅰ)利用待定系数法求出点B坐标，利用方程组求出点C坐标即可；
(Ⅱ)设𝑎(𝑎,𝑎)，构建方程求出m即可解决问题，再利用待定系数法求出直线的解析式；
(Ⅲ)分三种情形分别求解即可解决问题；
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，菱形的性质，三角形的面积等知识点，解此题的关键是熟练地运用知识进行计算.此题是一个综合性很强的题目．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容