全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）

5x22y2z21．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则2的值等于 ( ).

2x3y210z2(A) 119(B) (C) 15(D) 13 222．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( ).

(A) 2.4元 (B)2.8元 (C) 3元(D) 3.2元

3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）.

(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°

C D E B A G A F D C O B （第3题图）

（第4题图）

4．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）.

(A)2个(B)3个(C)4个(D) 6个

5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).

(A)1种 (B)2种 (C)4种(D) 0种

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

1 / 14

6．已知x13，那么

1112. x2x4x211714，y1，z，则xyz的值为.

zx3y7．若实数x，y，z满足x

8．观察下列图形：

①②③④

根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为.

9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，∠A=60º CD=4m，BC=4622m，则电线杆AB的长为_______m.

B C D A （第9题图）

10．已知二次函数yax2bxc（其中a是正整数）的图象经 过点A（－1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为. 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.

解：

2 / 14 B C E O P A D

12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千M/小时，而汽车每行驶1千M需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：

3 / 14

14 13 (第11题图)

6 C A 15 11 D 10 17 E 12 O 5 18 F 7 B G 9 H (第12题图)

13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.

CD2BD2ADBD（1）当点D在斜边AB内部时，求证：. 2BCAB（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4. （1）求a，b，c中的最大者的最小值； （2）求abc的最小值.

4 / 14

C B D A (第13 B题图)

注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。

13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x22(k2)xk0（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2PB2PC2的值.

解：

5 / 14

(第13A题图)

A O P B C

14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式

(ad)(bc)>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(ad)(bc)≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(ad)(bc)≤0？请说明理由. 解：（1）

6 1 2

5 4 3 （2）

6 / 14

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试卷

参考答案与评分标准

一、选择题（每小题6分，满分30分）

1．D

由2．D

4x3y6z0,x3z, 解得 代入即得.

x2y7z0,y2z.因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）. 3．C

如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°， 而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

A G A B D C O F M C N B

4．D

D E (第3题图) (第4题图) 显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。

（1）若AB=9，当CD=x时，92x2(15)2，x35；

当CD=5时，9252(x1)2，x2141； 当CD=1时，9212(x5)2，x455.

（2）若AB=x，当CD=9时，x292(15)2，x313；

当CD=5时，x252(19)2，x55；

当CD=1时，x212(59)2，x197.

故x可取值的个数为6个.

5．B

设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，

n(n1)100，即k+1，k+2，…，k+（n－1），由题意可知kn2n2kn1200.

因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n=5或n=8. 当n=5时，k=18；当

7 / 14

n=8时，k=9.共有两种不同方案.

6．3. 2111413332222＝。 x2x4x2x4x4x4(13)2427．1. 7111z3xx7x3， 因为4xxxx171yz14x311z3x所以 4(4x3)x(4x3)7x3，

3. 271725132从而 z，y11.

3x333z55325于是 xyz1.

2538．161. 根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为

解得 x1+4+3×4+324+334=1+4+12+36+108=161（个）. 9．62.

如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.

因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以

CF=DF=22m，

B C F E A D EF=DFtan60°=26（m）. 因为

(第9题图) AB33tan3062（m）. ，所以ABBEBE3310.－4.

由于二次函数的图象过点A（－1，4），点B（2，1），所以

abc4, 4a2bc1,ba1,解得 

c32a.8 / 14

因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以b24ac0，

(a1)24a(32a)0，即(9a1)(a1)0，由于a是正整数，故

a1，

所以a≥2. 又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足 题意，故b+c的最大值为－4.

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC 是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.

解：DP=PE. 证明如下：

因为AB是⊙O的直径，BC是切线， 所以AB⊥BC.

由Rt△AEP∽Rt△ABC，得

EPAE.①……（6分） BCABA D P E O B C (第11题图) 又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC. EDAEAE2AE故②……（12分） BCOB1ABAB2由①，②得 ED=2EP. 所以 DP=PE.……（15分）

12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千M/小时，而汽车每行驶1千M需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：从A城出发到达B城的路线分成如下两类：

（1）从A城出发到达B城，经过O城. 因为从A城到O城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间为22小时. 所以，此类路线所需 最短时间为26+22=48（小时）. ……（5 分）

（2）从A城出发到达B城，不经过O城. 这时从A城到达B城，必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49小时. ……（10分）

综上，从A城到达B城所需的

14 13 C A 15 11 6 D 17 E 10 12 O 5 18 F 9 / 14 7 B G 9 H 最短时间为48小时，所走的路线为： A→F→O→E→B.……（12分） 所需的费用最少为：

80×48×1.2=4608（元）…（14分）

答：此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B，所需的费用最少为4608元 ……（15分）

13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.

CD2BD2ADBD（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.

BC2AB(第12题图) （2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

解：（1）作DE⊥BC，垂足为E. 由勾股定理得

E C CD2BD2(CE2DE2)(BE2DE2)CEBE(CEBE)BC.CD2BD2CEBECEBE所以 .

BCBCBCBC222

B D A 因为DE∥AC，所以

CEADBEBD,. BCABBCABCD2BD2ADBDADBD故 .……（10分） ABABABBC2（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有

AD=0，CD=AC，BD=AB.

CD2BD2AC2AB2BC21， 所以

BC2BC2BC2ADBDAB1. ABAB从而第（1）小题中的等式成立. ……（13分）

（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立. 作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则

E C 10 / 14

B A D CD2BD2CE2BE2BC2BC2

CEBE2CE1,BCBC而

ADBDAB1, ABABCD2BD2ADBD所以 . ……（15分）

ABBC2〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清 者不扣分）.

14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.

（1）求a，b，c中的最大者的最小值； （2）求abc的最小值.

解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，

且b+c=2-a，bc4. a40的两实根， a于是b，c是一元二次方程x2(2a)x(2a)244≥0， aa34a24a16≥0，(a24)(a4)≥0. 所以a≥4. ……（8分）

又当a=4，b=c=-1时，满足题意.

故a，b，c中最大者的最小值为4. ……（10分） （2）因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.

1）若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这

与a+b+c=2矛盾.

2）若a，b，c为或一正二负，设a>0，b<0，c<0，则

abcabca(2a)2a2，

由（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故abc的最小值为6.……（15分）

13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的

A 11 / 14

P B O C 二次方程x22(k2)xk0（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点. 若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求

PA2PB2PC2的值.

解：设方程x22(k2)xk0的两个根 为x1，x2，x1≤x2.由根与系数的关系得

x1x242k， ① x1x2k.②

由题设及①知，x1，x2都是整数. 从①，②消去k，得

(第13A图) 2x1x2x1x24， (2x11)(2x21)9.

由上式知，x24，且当k=0时，x24，故最大的整数根为4. 于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.

因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4.……（6分） 连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，

PAPC。 PBPA故 PA2PB(PBBC)③……（10分）

（1）当BC=1时，由③得，PA2PB2PB，于是

PB2PA2(PB1)2，矛盾！

（2）当BC=2时，由③得，PA2PB22PB，于是

PB2PA2(PB1)2，矛盾！

（3）当BC=3时，由③得，PA2PB23PB，于是

(PAPB)(PAPB)3PB，

由于PB不是合数，结合PAPBPAPB，故只可能

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PAPB1,PAPB3,PAPB3PB,PAPBPB,PA2,解得 

PB1.此时 PA2PB2PC221.

PAPBPB, PAPB3,（4）当BC=4，由③得，PA2PB24PB，于是

(PB1)2PB24PBPA2(PB2)2，矛盾. 综上所述

PA2PB2PC221.……（15分）

14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式

(ad)(bc)>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(ad)(bc)≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(ad)(bc)≤0？请说明理由.

解：（1）答案是肯定的.具体操作如下：

6 5 1 2 6 1 3 6 1 3 (1－4)(2－3)>0 交换2，3 3 4 5 4 2 (3－5)(2－4)>0 交换2，4 5 2

4 6 1 4 6 1 4 (1－2)(3－4)>0 交换3，4 5 2 3 (3－6)(2－5)>0 交换2，5 2 5 3 ……（5

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分）

（2）答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ……（7分）

开始时，P0=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，经过k（k≥0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk，此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(ad)(bc)>0，即ab+cd>ac+bd，交换b，c的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk1，有

Pk1Pk(accbbd)(abbccd)acbdabcd0. 所以Pk1Pk1，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有(ad)(bc)≤0.……（15分）

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