学习目标 教材考点 任意角的概念 学习目标 理解任意角的概念，能区分各类角 掌握终边相同的角的含义及其表示方法 掌握象限角的概念并能用集合表示各类象限角及区域角 核心素养 数学抽象 终边相同的角 数学抽象、逻辑推理 象限角与区域角的表示 数学抽象、直观想象 知识梳理 1．任意角 (1)角的表示
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
(2)角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
名称 正角 定义 按逆时针方向旋转形成的角 图示 负角 零角 按顺时针方向旋转形成的角 一条射线没有做任何旋转形成 1 / 8
的角 2．象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
名师导学 知识点1 任意角的概念
【例】(多选)下列说法正确的是( ) A．锐角都是第一象限角 B．第一象限角一定不是负角
C．小于180°的角是钝角、直角或锐角
D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
[解析] 锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；
－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；
0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误： 由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．
2 / 8
[答案] AD
反思感悟
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可． 变式训练
经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是( ) A．60°，720° C．－30°，－360°
B．－60°，－720° D．－60°，720°
2
×360°＝12
解析：选B.钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而
60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
知识点2 终边相同的角
【例】在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角β. (1)最大的负角；
(2)[360°，720°)内的角．
【解】 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)． (1)由－360° 3 / 8 反思感悟 (1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤 ①写出在[0°，360°)内相应的角； ②由终边相同的角的表示方法写出角的集合； ③根据条件能合并一定合并，使结果简洁． (2)终边相同的角常用的三个结论 ①终边相同的角之间相差360°的整数倍； ②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍； ③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 变式训练 1．(2021·吉林省实验中学高一月考)将－880°化为α＋k×360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( ) A．160°＋(－3)×360° C．160°＋(－2)×360° B．200°＋(－2)×360° D．200°＋(－3)×360° 解析：选D 易知－880°＝200°＋(－3)×360°，故选D. 2．在直角坐标系中写出下列角的集合： (1)终边在x轴的非负半轴上； (2)终边在y＝x(x≥0)上． 解：(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}． (2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}． 知识点3 象限角 4 / 8 【例】(1)(多选)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是( ) A．① C．③ B．② D．④ [解析] 第二象限角α需满足k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角．故选A、B、C. [答案] ABC (2)已知α是第二象限角，求角所在的象限． 2[解] ∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α ∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)． 222 当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得 n·360°＋45°< α这表明是第一象限角； 2 当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得 αn·360°＋225°< α这表明是第三象限角． 2 α∴为第一或第三象限角． 2 反思感悟 5 / 8 α 1．给定一个角判断它是第几象限角的思路 判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k·360°(其中k∈Z，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可． 2．分角、倍角所在象限的判定思路 (1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略； (2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角． 变式训练 1．－1 060°的终边落在( ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 解析：选A 因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的终边落在第一象限． 2．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角 解析：选C 因为α是第四象限角，则角α应满足： k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z， 所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，则－k·360°＋180°＜180°－α＜－k·360°＋270°，k∈Z， 当k＝0时，180°＜180°－α＜270°，故180°－α为第三象限角． 6 / 8 当堂测评 1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( ) A．45° C．180° B．90° D．270° 解析：选B.根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上． 2．下列各角中与330°角终边相同的角是( ) A．510° C．－150° B．150° D．－390° 解析：选D.－390°＝330°－720°，所以与330°角终边相同的角是－390°. 3．与2 019°角终边相同的最小正角是________角；与2 019°角终边相同的最大负角是________． 解析：因为与2 019°角终边相同的角是2 019°＋k·360°(k∈Z)，所以当k＝－5时，与2 019°角终边相同的最小正角是219°角． 当k＝－6时，与2 019°角终边相同的最大负角是－141°. 答案：219° －141° 4．若角α的终边与75°角的终边关于x轴对称，且－360°<α<360°，则角α的值为____________． 解析：如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于x轴对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°<α<360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°. 7 / 8 答案：－75°或285° 5．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°. 解：(1)因为－150°＝－360°＋210°， 所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角． (2)因为650°＝360°＋290°， 所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角． 8 / 8 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容