1．(本小题满分12分)(2019江西临川一中考前模拟)已知正项数列{an}的前n项和为
*
Sn,满足2Sn＋1＝2a2n＋an(n∈N)．
(1)求数列{an}的通项公式；
1111*
(2)已知对于n∈N,不等式＋＋＋…＋ 21 Sn1．解：(1)当n＝1时,2a1＋1＝2a＋a1,又an＞0,∴a1＝1. 2 当n≥2时,2Sn＋1＝2an＋an(n∈N*), 2 2Sn－1＋1＝2an－1＋an－1(n∈N*), 作差整理得an＋an－1＝2(an＋an－1)(an－an－1), 1 ∵an＞0,故an＋an－1＞0,∴an－an－1＝, 2n＋1 故数列{an}为等差数列,∴an＝. 2 n（n＋3）14411 (2)由(1)知Sn＝,∴＝＝(－), 4Snn（n＋3）3nn＋3 1111从而＋＋＋…＋ S1S2S3Sn411111111111＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＋(－)] 342536nn＋3n－2n＋1n－1n＋241111141111122＝(1＋＋－－－)＝(－－－)＜. 323n＋1n＋2n＋336n＋1n＋2n＋39 2222∴M≥,故M的最小值为. 99 2．(本小题满分12分) (2019广东肇庆三模)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,侧面ABB1A1 是菱形,∠BAA1＝60°,E是棱BB1的中点,CA＝CB,F在线段AC上,且AF＝2FC. 1 2020高考数学冲刺复习教学案 (1)求证：CB1∥平面A1EF. (2)若CA⊥CB,平面CAB⊥平面ABB1A1,求二面角F－A1E－A的余弦值． 2．(1)证明：连接AB1交A1E于点G,连接FG. AGAA1 ∵△AGA1∽△B1GE,∴＝＝2. GB1EB1 AFAFAG又∵＝2,∴＝,∴FG∥CB1. FCFCGB1 又CB1⊄平面A1EF,FG⊂平面A1EF,∴CB1∥平面A1EF. (2)解：过C作CO⊥AB于点O. ∵CA＝CB,∴O是线段AB的中点． ∵平面CAB⊥平面ABB1A1,平面CAB∩平面ABB1A1＝AB, ∴CO⊥平面ABA1.连接OA1,BA1. ∵△ABA1是等边三角形,O是线段AB的中点,∴OA1⊥AB. →→→ 如图,以O为原点,OA,OA1,OC分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系, 12 不妨设AB＝2,则A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,1),B(－1,0,0),F(,0,)． 33 33331→→→→ 由AA1＝BB1,得B1(－2,3,0),则BB1的中点E(－,,0),A1E＝(－,－,0),A1F＝(, 22223 2 2020高考数学冲刺复习教学案 2－3,)． 3 设平面A1FE的一个法向量为n1＝(x1,y1,z1), x12 －3y1＋z1＝0，→33A1F·n1＝0， 则即 →33A1E·n1＝0，－x1－y1＝0， 22x1＝－1， 得方程的一组解为y1＝3，即n1＝（－1，3，5）. z1＝5， 设平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,0,1), n1·n2529 则cos〈n1,n2〉＝＝, |n1||n2|29 529 ∴二面角F－A1E－A的余弦值为. 29 3.(本小题满分12分) (2019山东潍坊三模)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关,经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感．某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度,得到下表的一组数据． 时间t/min 0 1 2 3 4 水温y/℃ 85 79 75 71 68 (1)从表中所给的5个水温数据中任取2个,记X表示这2个数据中高于72 ℃的个数,求X的分布列和数学期望． (2)在25 ℃室温下,设茶水温度从85 ℃开始,经过x min后的温度为y ℃,根据这些数 ^x据的散点图,可用回归方程y＝ka＋25(k∈R,0 3 ^ 1 nni＝1 yi－25 (i＝ yi－1－25 2020高考数学冲刺复习教学案 (ii)刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳饮用口感？(保留整数,参考数11 据：23.3≈7,29.8≈12) 0.920.92 3．解：(1)由题意可知,高于72 ℃的数据有3个,随机变量X可能的取值为0,1,2. 2112C21C2C33C33 P(X＝0)＝2＝,P(X＝1)＝2＝,P(X＝2)＝2＝, C510C55C510 分布列如下： X 0 1 2 133P 105101336∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 105105 (2)(i)根据实际情况可知,当x＝0时,y＝85,代入回归方程得到k＝60,从而求出回归方程． 计算每分钟(y－25)的值与上一分钟(y－25)值的比值,可知： xi 0 1 2 3 4 yi－25 60 54 50 46 43 yi－25 0.90 0.93 0.92 0.93 yi－1－25^1 ∴a＝(0.90＋0.93＋0.92＋0.93)＝0.92, 4 ^ 故回归方程为y＝60×0.92x＋25. ^ (ii)将y＝60代入y＝60×0.92x＋25,得 7 60×0.92x＋25＝60,∴0.92x＝, 127 两边取对数,得x＝log0.92＝log0.927－log0.9212, 12 11 由参考数据知≈7,≈12. 0.9223.30.9229.8 ∴log0.927＝－23.3,log0.9212≈－29.8, ∴x≈6.5,∴泡制一杯最佳口感的茶水所需时间大约为7 min. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 (2019河南郑州第三次质量预测)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x＝－2－t，2(t为参数),曲线C1：y＝1－x.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极建轴立极y＝1＋t π 坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ＝42sin(α－)． 4 →→ (1)若直线l与x轴、y轴的交点分别为A,B,点P在C1上,求BA·BP的取值范围； (2)若直线l与C2交于M,N两点,点Q的直角坐标为(－2,1),求||QM|－|QN||的值． 4．解：(1)由题意可知,直线l的普通方程为x＋y＋1＝0, ∴A(－1,0),B(0,－1)． C1的方程可化为x2＋y2＝1(y≥0), 4 2020高考数学冲刺复习教学案 设点P的坐标为(cos θ,sin θ),0≤θ≤π, π→→ ∴BA·BP＝－cos θ＋sin θ＋1＝2sin(θ－)＋1∈[0,2＋1]． 4 (2)曲线C2的直角坐标方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8. 2 x＝－2－m， 2 直线l的标准参数方程为(m为参数), 2 y＝1＋m 2 代入C2得m2－2m－7＝0. 设M,N两点对应的参数分别为m1,m2, m1＋m2＝2,m1m2＝－7＜0,故m1,m2异号, ∴||QM|－|QN||＝||m1|－|m2||＝|m1＋m2|＝2. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 (2019晋冀鲁豫中原名校第三次联考)已知函数f(x)＝x－|x＋1|－|x－1|. (1)求不等式f(x)≤0的解集A； (2)在(1)的条件下,若a,b∈A,求证：2|a＋b|≤|ab＋4|. 5．(1)解：①当x＜－1时,不等式f(x)≤0可化为x2＋(x＋1)－(1－x)≤0, 解得－2≤x≤0,故有－2≤x＜－1. ②当－1≤x≤1时,不等式f(x)≤0可化为x2－(x＋1)－(1－x)≤0,解得－2≤x≤2, 故有－1≤x≤1. ③当x＞1时,不等式f(x)≤0可化为x2－(x＋1)－(x－1)≤0,解得0≤x≤2,故有1＜x≤2. 综上,不等式f(x)≤0的解集A为{x|－2≤x≤2}． (2)证明：由|ab＋4|2－4|a＋b|2＝(a2b2＋8ab＋16)－4(a2＋2ab＋b2) ＝a2b2－4a2－4b2＋16＝(a2－4)(b2－4)． ∵a,b∈A,∴a2≤4,b2≤4,∴a2－4≤0,b2－4≤0, ∴(a2－4)(b2－4)≥0. ∴|ab＋4|2≥4|a＋b|2,故不等式2|a＋b|≤|ab＋4|成立． 2 [70分] 解答题标准练(一) 1.(2019·广州模拟)已知{an}是等差数列,且lg a1＝0,lg a4＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项,求k的值及数列{an＋bn}的前n项和. 解 (1)数列{an}是等差数列,设公差为d, 且lg a1＝0,lg a4＝1. 5 2020高考数学冲刺复习教学案 a1＝1，则 a＋3d＝10，1 解得d＝3, 所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)若a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项, 则a2a6, k＝a1· 根据等差数列的通项公式得到ak＝3k－2, 代入上式解得k＝2；a1,a2,a6是等比数列{bn}的前3项,a1＝1,a2＝4, 所以等比数列{bn}的公比为q＝4. 由等比数列的通项公式得到bn＝4n－1. 则an＋bn＝3n－2＋4n－1, 故Sn＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n－2＋4n－1) n3n－14n－1＝＋ 24－1311 ＝n2－n＋(4n－1). 223 2.(2019·马鞍山质检)如图,半圆柱O′O中,平面ABB′A′过上、下底面的圆心O′,O,点C,D ¼. ACB'D分别在半圆弧AB,A′B′上,且» (1)求证：CD∥平面ABB′A′； 6 2020高考数学冲刺复习教学案 (2)若2AC＝AB＝AA′,求二面角C－AD－B的余弦值. AB的中点M, (1)证明 如图,取» ∵OO′⊥平面ABC, ∴OA,OM,OO′两两垂直, 以O为坐标原点,OA,OM,OO′所在直线分别为x,y,z轴,建立空间 直角坐标系O－xyz,连接OC, 设OA＝1,AA′＝t,∠AOC＝θ(0<θ<π), 则A(1,0,0),B(－1,0,0),C(cos θ,sin θ,0),D(－cos θ,sin θ,t), →→ 于是CD＝(－2cos θ,0,t),而平面ABB′A′的一个法向量为OM＝(0,1,0), →→由于CD·OM＝0,CD⊄平面ABB′A′, 所以CD∥平面ABB′A′. (2)解 设OA＝1,∵2AC＝AB＝AA′, 1313→ 则C，，0,D－，，2,CD＝(－1,0,2), 22221313→→ AC＝－，，0,BD＝，，2, 2222设平面CAD的法向量n1＝(x1,y1,z1), 7 2020高考数学冲刺复习教学案 则13→ AC·n＝－x＋y＝0，22 1 1 1 →CD·n1＝－x1＋2z1＝0， 不妨设x1＝23,得n1＝(23,2,3), 设平面BAD的法向量n2＝(x2,y2,z2), 13→·n＝x＋y＋2z＝0，BD22 则→·n＝2x＝0，BA 2 2 2 2 2 2 不妨设y2＝4,得n2＝(0,4,－3), 所以cos〈n1,n2〉＝ n1·n255 ＝＝, |n1|·|n2|19·1919 又由图可知,二面角C－AD－B为锐角, 5 故二面角C－AD－B的余弦值为. 19 3.(2019·武邑调研)已知定点N(5,0),动点P是圆M：(x＋5)2＋y2＝36上的任意一点,线段NP的垂直平分线与半径MP相交于点Q. (1)求|QM|＋|QN|的值,并求动点Q的轨迹C的方程； (2)若圆x2＋y2＝4的切线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB面积的最大值. 解 (1)由已知条件得|QN|＝|QP|, 又|QM|＋|QP|＝6,∴|QM|＋|QN|＝6>25,为定值. 根据椭圆定义得,动点Q的轨迹是以点M,N为焦点的椭圆. 且2a＝6,即a＝3,c＝5,则b＝2, x2y2 ∴动点Q的轨迹C的方程为＋＝1. 94(2)由题可知直线l不可能与x轴平行, 则可设切线方程为x＝ty＋m, 由直线与圆相切,得∴m2＝4(1＋t2). |m|1＋t2 ＝2, 8 2020高考数学冲刺复习教学案 x＝ty＋m，由x2y2 9＋4＝1， 消去x得(4t2＋9)y2＋8tmy＋4m2－36＝0, Δ＝(8tm)2－4(4t2＋9)(4m2－36) ＝144(4t2－m2＋9)＝144×5>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 4m2－36∴y1＋y2＝2,y1y2＝2. 4t＋94t＋9∴|AB|＝＝＝ 1＋t2|y1－y2| －8tm 1＋t2·y1＋y22－4y1y2 1251＋t2·2＝4t＋941251＋t2＋5 5 ≤ 125＝3, 451＋t2 当且仅当41＋t2＝ 1＋t2 , 1 即t2＝时等号成立. 4此时|m|＝5,|AB|max＝3, 1 又∵S△AOB＝×2×|AB|＝|AB|≤3, 2 1 ∴当|m|＝5,|t|＝时,△AOB的面积最大,最大值为3. 2 4.(2019·山东师范大学附属中学模拟)某读书协会共有1 200人,现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间(分钟),其中某一周的数据记录如下：75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这20个数据按组距30进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间为x分钟). 组别 A B C 时间分组 30≤x<60 60≤x<90 90≤x<120 频数 2 10 m 男性人数 1 4 a 女性人数 1 6 1 9 2020高考数学冲刺复习教学案 D E 120≤x<150 150≤x<180 2 n 1 2 1 b (1)写出m,n的值,请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长,以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数； (2)该读书协会拟发展新成员5人,记新成员中每周阅读时长在[60,90)之间的人数为X,以上述统计数据为参考,求X的分布列和期望； (3)以这20人为样本完成下面的2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？ 男 女 总计 附：K2＝ nad－bc2 . a＋cb＋da＋bc＋d P(K2≥k0) k0 解 (1)m＝4,n＝2, 该读书协会中人均每周的课外阅读时长为 210422 45×＋75×＋105×＋135×＋165×＝93(分钟), 2020202020由样本估计总体,一周阅读时长不少于90分钟的人数为 4＋2＋21 200×＝480. 2015，, (2)X～B2由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,4,5. 0.10 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 每周阅读时间不少于120分钟 每周阅读时间少于120分钟 总计 15＝1,P(X＝1)＝C115＝5, 且P(X＝0)＝C055 23223215＝10＝5, P(X＝2)＝C25 2321615＝10＝5, P(X＝3)＝C35 23216 10 2020高考数学冲刺复习教学案 15＝5,P(X＝5)＝C515＝1, P(X＝4)＝C455232232 所以X的分布列如下： X P 1 E(X)＝5×＝2.5. 2(3)2×2列联表如下： 男 女 总计 203×8－1×82k＝≈0.808<2.706,所以没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别 4×16×11×9有关”. 5.设函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)(a∈R). (1)当a＝1时,求f(x)的单调区间； (2)若f(x)≥0对任意x∈[1,＋∞)恒成立,求实数a的取值范围； ππ1 0，时,试比较ln(tan θ)与tanθ－的大小,并说明理由. (3)当θ∈242解 (1)当a＝1时,f(x)＝(x＋1)ln x－(x－1), 1 f′(x)＝ln x＋, x x－11 设g(x)＝ln x＋(x>0),则g′(x)＝2, xx当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减, 当x∈(1,＋∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, g(x)min＝g(1)＝1>0, ∴f′(x)>0.故f(x)在区间(0,＋∞)上单调递增, 每周阅读时间不少于120分钟 3 1 4 每周阅读时间少于120分钟 8 8 16 总计 11 9 20 0 1 321 5 322 5 163 5 164 5 325 1 32 11 2020高考数学冲刺复习教学案 无单调递减区间. 1 (2)f′(x)＝ln x＋＋1－a＝g(x)＋1－a, x由(1)可知g(x)在区间[1,＋∞)上单调递增, 则g(x)≥g(1)＝1, 即f′(x)在区间[1,＋∞)上单调递增,且f′(1)＝2－a, ①当a≤2时,f′(x)≥0, f(x)在区间[1,＋∞)上单调递增, ∴f(x)≥f(1)＝0满足条件； ②当a>2时,设h(x)＝ln x＋1 x＋1－a(x≥1), 则h′(x)＝11x－1 x－x2＝x2≥0(x≥1), ∴h(x)在区间[1,＋∞)上单调递增, 且h(1)＝2－a<0,h(ea)＝1＋e－a>0, ∴∃x0∈[1,ea],使得h(x0)＝0, ∴当x∈[1,x0)时,h(x)<0,f(x)单调递减, 即当x∈[1,x0)时,f(x)≤f(1)＝0,不满足题意. 综上所述,实数a的取值范围为(－∞,2]. (3)由(2)可知,取a＝2, 当x>1时,f(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)>0, 即1 2ln x>x－1x＋1, 当0 12 2020高考数学冲刺复习教学案 π ∴当0<θ<时,0 θ－； ln(tan θ) θ－； 当θ＝时,tan θ＝1,ln(tan θ)＝tan442ππ 当<θ<时,tan θ>1, 42π1 θ－. ln(tan θ)>tan42 ππ1 0，时,ln(tan θ) ，时,ln(tan θ)>tanθ－. 当θ∈4224π 2，,以极点为坐标原6.在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ,点P的极坐标为4点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系. (1)求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标； (2)过点P的直线l与曲线C相交于A,B两点,若|PA|＝2|PB|,求|AB|的值. 解 (1)由ρ＝6sin θ,得ρ2＝6ρsin θ, 又x＝ρcos θ,y＝ρsin θ, ∴x2＋y2＝6y, 即曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9, 点P的直角坐标为(1,1). (2)设过点P的直线l的参数方程是 x＝1＋tcos θ， (t为参数), y＝1＋tsin θ 将其代入x2＋y2＝6y, 得t2＋2(cos θ－2sin θ)t－4＝0, 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2, ∴t1t2＝－4, 13 2020高考数学冲刺复习教学案 ∵|PA|＝2|PB|,∴t1＝－2t2, ∴t1＝22,t2＝－2或t1＝－22,t2＝2, ∴|AB|＝|t1－t2|＝32. 7.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|. (1)解不等式：f(x)≤x＋3； (2)若不等式|m|·f(x)≥|m＋2|－|3m－2|对任意m∈R恒成立,求x的取值范围. x≥2，解 (1)①由得2≤x≤6； 2x－3≤x＋3，1 3－2x≤x＋3， 由①②③可得x∈[0,6]. (2)①当m＝0时,0≥0,∴x∈R； ②当m≠0时, 22 ＋1－－3对∀m∈R,m≠0恒成立, 即f(x)≥mm 2＋1－2－3≤2＋1－2－3＝4, mmmm ∴f(x)＝|x－1|＋|x－2|≥4, 7 当x≥2时,2x－3≥4,解得x≥； 2当1 17 －∞，－∪，＋∞. 综上,x的取值范围为22 数学的核心素养引领复习 14 2020高考数学冲刺复习教学案 一、数学抽象、直观想象 素养1 数学抽象 通过由具体的实例概括一般性结论,看我们能否在综合的情境中学会抽象出数学问题,并在得到数学结论的基础上形成新的命题,以此考查数学抽象素养. 例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x＋1)＝2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)＝x(x－8 1).若对任意x∈(－∞,m],都有f(x)≥－,则m的取值范围是( ) 99－∞， A.4 5－∞， C.2答案 B 11 解析 当－1 1 2x＋1x，－1 …， 由此作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知当 15 2020高考数学冲刺复习教学案 878 2 注在图中.要使对任意x∈(－∞,m]都有f(x)≥－,必有m≤,即实数m的取值范围是 93 －∞，7,故选B. 3 1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息： 16 2020高考数学冲刺复习教学案 ①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h； ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样. 其中,正确信息的序号是________. 答案 ①②③ 解析 看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误. 素养2 直观想象 通过空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析,通过想象对复杂的数学问题进行直观表达,看我们能否运用图形和空间想象思考问题,感悟事物的本质,形成解决问题的思路,以此考查直观想象素养. 例2 (2019·全国Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( ) 17 2020高考数学冲刺复习教学案 A.BM＝EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM＝EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 答案 B 解析 取CD的中点O,连接ON,EO,因为△ECD为正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD＝CD,所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2,则EO＝3,ON＝1,所以EN2＝EO2＋ON2＝4,得EN＝2.过M作CD的垂线,垂足为P,连接BP,则MP＝ 322333 ,CP＝,所以BM2＝MP2＋BP2＝2＋＋2＝7,得BM＝7,所以BM≠EN.连接2222 BD,BE,因为四边形ABCD为正方形,所以N为BD的中点,即EN,MB均在平面BDE内,所以直线BM,EN是相交直线. 18 2020高考数学冲刺复习教学案 2.(2018·北京)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( 19 ) 2020高考数学冲刺复习教学案 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 由三视图得到空间几何体,如图所示, 则PA⊥平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,PA＝AB＝AD＝2,BC＝1, 所以PA⊥AD,PA⊥AB,PA⊥BC. 又BC⊥AB,AB∩PA＝A, AB,PA⊂平面PAB, 所以BC⊥平面PAB. 又PB⊂平面PAB, 所以BC⊥PB. 在△PCD中,PD＝22,PC＝3,CD＝5, 所以△PCD为锐角三角形. 所以侧面中的直角三角形为△PAB,△PAD,△PBC,共3个.故选C. 20 2020高考数学冲刺复习教学案 二、逻辑推理、数学运算 素养3 逻辑推理 通过提出问题和论证命题的过程,看我们能否选择合适的论证方法和途径予以证明,并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程,以此考查逻辑推理素养. 例3 (2019·全国Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( ) A.甲、乙、丙 C.丙、乙、甲 答案 A 解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确,则乙、丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误,则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,再假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从而乙的预测也正确,与事实矛盾；若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误.综上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙. B.乙、甲、丙 D.甲、丙、乙 21 2020高考数学冲刺复习教学案 x22 3.(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C：－y＝1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的 3两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|等于( ) 3 A. B.3 C.23 D.4 2答案 B 1 解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± x. 3设两渐近线的夹角为2α,则有tan α＝所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°. 13 ＝, 33 又△OMN为直角三角形,由于双曲线具有对称性,不妨设MN⊥ON,如图所示. 在Rt△ONF中,|OF|＝2, 22 2020高考数学冲刺复习教学案 则|ON|＝3. 则在Rt△OMN中,|MN|＝|ON|·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 素养4 数学运算 通过各类数学问题特别是综合性问题的处理,看我们能否做到明确运算对象,分析运算条件,选择运算法则,把握运算方向,设计运算程序,获取运算结果,以此考查数学运算素养. 例4 (2019·全国Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|＝2|b|,且(a－b)⊥b,则a与b的夹角为( ) ππ2π5πA. B. C. D. 6336答案 B 解析 设a与b的夹角为α,∵(a－b)⊥b,∴(a－b)·b＝0,∴a·b＝b2,∴|a|·|b|cos α＝|b|2,又|a|＝1π 2|b|,∴cos α＝,∵α∈[0,π],∴α＝,故选B. 23 4.(2018·全国Ⅲ)设a＝log0.20.3,b＝log20.3,则( ) A.a＋b ∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4, abab∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0, B.ab 2020高考数学冲刺复习教学案 a＋b∴0<<1,∴ab 三、数学建模、数据分析 素养5 数学建模 通过实际应用问题的处理,看我们是否能够运用数学语言清晰、准确地表达数学建模的过程和结果,以此考查数学建模素养. 例5 (2019·全国Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5－15－1,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外, ≈0.618，称为黄金分割比例22 5－1 .若某人满足上述两个黄2 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( ) 24 2020高考数学冲刺复习教学案 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 答案 B 解析 若头顶至咽喉的长度为26 cm,则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618) ÷0.618≈178(cm),此人头顶至脖子下端的长度为26 cm,即头顶至咽喉的长度小于26 cm,所以其身高小于178 cm,同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm),故其身高可能是175 cm,故选B. 5.(2019·北京)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. (1)当x＝10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元； (2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值 25 2020高考数学冲刺复习教学案 为________. 答案 130 15 解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60＋80＝140(元),又140>120,所以优惠10元,顾客实际需要付款130元. (2)设顾客一次购买的水果总价为m元,由题意知,当0 88 素养6 数据分析 通过对概率与统计问题中大量数据的分析和加工,看我们能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律,进而分析随机现象的本质特征,发现随机现象的统计规律,以此考查数据分析素养. 例6 (2019·全国Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 解 (1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15,故 a＝0.35. 26 2020高考数学冲刺复习教学案 b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00. 6.某市一水电站的年发电量y(单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x(单位：毫米)有如下统计数据： 降雨量x (毫米) 发电量y (亿千瓦时) (1)若从统计的5年中任取2年,求这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率； (2)由表中数据求得线性回归方程为y＝0.004x＋a,该水电站计划2019年的发电量不低于8.6 亿千瓦时,现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1 800 毫米,请你预测2019年能否完成发电任务？ 解 (1)从统计的5年发电量中任取2年,基本事件为 {7.4,7.0},{7.4,9.2},{7.4,7.9},{7.4,10.0},{7.0,9.2},{7.0,7.9},{7.0,10.0},{9.2,7.9},{9.2,10.0},{7.9,10.0},共10个； 其中这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的基本事件为{9.2,7.9},{9.2,10.0},{7.9,10.0},共3个. 3 所以这2年发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率为P＝. 10 27 ^ ^ 2013年 1 500 7.4 2014年 1 400 7.0 2015年 2016年 1 900 9.2 1 600 7.9 2017年 2 100 10.0 2020高考数学冲刺复习教学案 1 500＋1 400＋1 900＋1 600＋2 100 (2)因为x＝ 58 500＝＝1 700, 5 7.4＋7.0＋9.2＋7.9＋10.0y＝ 541.5＝＝8.3. 5 又直线y＝0.004x＋a过点(x,y), 所以8.3＝0.004×1 700＋a, 解得a＝1.5, 所以y＝0.004x＋1.5. 当x＝1 800时,y＝0.004×1 800＋1.5＝8.7>8.6, 所以预测该水电站2019年能完成发电任务. ^ ^^ ^ ^ ^ 28 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容