软件时空专栏
中图分类号:TP311
改进欧拉法在电力系统暂态分析中的应用和软件设计
The Application and Software Design of Improved Euler Algorithm in Transient
Stability Analysis of Power System
赵艳雷 童建忠
ZHAO,Yanlei TONG,Jianzhong
中国科学院电工研究所
Institute of Electrical Engineering Chinese Academy of Sciences
摘要:本文简要介绍了改进欧拉法的原理并举例说明了其在电力系统暂态分析中的软件设计方法和应用.
Abstract: The paper briefly introduces the principle of improved Euler algorithm and illustrates the method of software design and application in transient stability analysis of power system by an example. 关键词: 改进欧拉法 电力系统 暂态稳定
Keyword: improved Euler algorithm power system transient stability
1.前言 电力系统暂态稳定性分析直接关系到电力系统的运行安全,而发电机的摇摆(δ−t)曲线是分析电力系统暂态稳定性和求取故障极限切除时间的重要依据之一。求取(δ−t)曲线的实质就是解发电机的转子运动方程，改进欧拉法是一种非常适合计算机运算的转子运动方程求解方法。
2.改进欧拉法的原理分析
计算机所使用的常微分方程初值问题的数值解法，就是对于一阶的微分方程式
x=f(x)不是直接求其解析解，而是从已知的初值开始，离散地逐点求出对应时间t0,t1,...tn...的函数x的近似值x0,x1,...xn...。一般t0,t1,...tn...取成等步长的，即t1−t0=h;t2−t1=h....，当然步长也可以是变化的。当步长选择的足够小时，计算结果有
足够的准确度。如果采用的计算方法是由x0算门x1，然后由x1算x2，如此递推地算出各个时间的函数值，称为单步法。改进欧拉法就是一种单步欧拉法，它的具体步骤如下:(假设已知xn求xn+1)
(1) 计算tn时xn的变化率xn=f(xn)；
•
•
(2)假定在tn−>tn+1区间内，x以变化率xn增长，则tn+1时，x的初步估计值为
•
xn+1
(0)
=xn+xnh
•
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(3)据初步估计值xn+1
•
(0)
算出tn+1时x的变化率
(0)
xn+1
•
(0)
=f(xn+1)
(0)
（4）用其xn和xn+1 xn+1
(1)
•
的平均值来计算tn+1时x的进一步估计值
•(0)1•
=xn+(xn+xn+1)h
2
(5)根据算出时的变化率
•
x n+1
•
(1)
=f(xn+1)
•
(1)
(1)
(6)再用其xn和xn+1
的平均值来计算
tn+1时x的进一步估计值
xn+1
(2)
•(1)1•
=xn+(xn+xn+1)h
2
以此规律计算直到前后两次估计值满足误差要求为止。
在实际应用中步长的选取要根据计算机的有效位数，运算速度等客观情况，一般在稳定计算中h取0.01s左右。
3.用改进欧拉法求取简单电力系统摇摆曲线的程序设计
对于简单电力系统中，发电机转子运动方程为含有两个一阶微分方程的方程组。只要对其同时进行求解计算即可。发生短路故障后故障期间发电机转子的运动方程为:
dδ=(ω−1)•ω0dt
(1)
1dωE′V
sinδ)=(PT−
dtTjXII
故障时发电机的最大功率PIIM=起始条件:t=0,ω=1,δ=δ0, 短路故障切除后的转子运动方程为:
E′V
。 XII
dδ=(ω−1)•ω0dt
(2)
1dωE′V
sinδ)=(PT−
dtTjXIII
故障切除后发电机的最大功率为: PIIIM=
E′V
XIII
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起始条件:t=tc,δ=δc,ω=ωc，其中行tc为给定的切除时间，δc,ωc为与tc时刻对应的
δ 和ω。用改进欧拉法计算简单系统摇摆曲线的程序流程图如图1。
4. δ−t曲线在系统暂态稳定分析中的应用
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当对上述方程组(1)求解得到曲线δ−t后，就可以由曲线找到与切除极限角相应的极限切除时间。如果已知故障切除时间tc，要判断系统的稳定性，则可先从0时刻起对方程组(1)求解，到tc时刻再对方程组(2)求解得到δ−t曲线，然后通过δ随时间的变化情况判断系统的暂态稳定性。一般讲，在计算几秒的过程中如果δ−t曲线始终不超调，而且振幅越来越小，或假设系统无阻尼情况下计算得到等幅振荡的曲线，则系统是稳定的。
PT=P0=1,δ0=34.53,Tj=8.18s,突然短例如某电力系统(假设无阻尼)稳定运行时，
路后，PIIM=0.54,PIIIM=1.35。切除故障时间:(1)0.lOs,(2)0.5s，(3)0.20s。(参数为标么值)可用上述方法设计程序得到三种不同切除故障时间对应的δ−t曲线。部分程序 (VB)
代码如下:
变量和常量的定义及声明略
'某一时段开始时δ,ω的变化率
QO1=(WOO-l)*360*f
W0l=(PO-P*(Sin(3.14159*QOO/180)))/Tj
'某一时段末δ,ω的估计值
Q10=Q00+Q01*h W10=W00+W01*h
'某一时段末对应于δ,ω估计值的平均变化率
Q11=(W10-1)*360*f
W11=(P0-P*(Sin(3.14159*Q10/180))))/Tj
'某一时段中δ,ω的平均变化率
Q111=0.5*(Q01+Q11) W111=0.5*(W01+W11)
'某一时段末δ,ω的值
Q1=Q00+Q111*h W1=W00+W111*h
'本时段末的值作为下一时段计算的初始值
W00=W1 Q00=Q1
运行程序得到图2中的三条曲线。
由图2可以直观的判断系统的暂态稳定性：当故障后0.2S切除故障对应的δ迅速增大到
180ο，系统一定不稳定；另外两条取δ−t曲线在5S内基本是等幅振荡，因求δ−t曲线
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是在假设无阻尼的条件下，而实际运行是系统都存在阻尼，所以实际运行是δ−t曲线振幅会越来越小，系统是暂态稳定的。 参考文献
（1）李光琦 电力系统暂态分析 西安：水利电力出版社 1984
作者简介
赵艳雷,男,1976年10月出生,中国科学院电工研究所在读博士生,专业:电气工程,电话:(010)62553268,通讯地址:北京市海淀区中关村北二条6号中科院电工研究所前沿部, E-mail:zhaoyanlei761022@sina.com
童建忠,男,中国科学院电工研究所研究员,主要研究方向为新型发电技术和新型电力储能技术.
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