有关抽象函数的全面探析

第４卷　（２０１０年）　第８期第７５—７６页　中学课程辅导・教学研究　Ｓｅｃｏｎｄａｒｙ　Ｓｃｈｏｏｌ　Ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ　Ｃｏａｃｈｉｎｇ・Ｔｅａｃｈｉｎｇ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｖｏｌ　４．（２０ｌ　ｏ）　Ｎｏ．８　Ｐ７５一Ｐ７６　有关抽象函数昀茔面搽析　刘小燕①刘永铨②　摘要：抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生的数学基础知识，更能考　查学生的数学综合能力。　关键词：抽象函数；定义域；值域；对称性　中图分类号：Ｇ６３３．６　文献标识码：Ａ　文章编号：１９９２—７７１１（２０１０）０８－００７５－０２　抽象函数是一个重要的数学概念。我们把没有给出　点评：１．已知ｆ（ｘ）的定义域为［０，ｂ］，则ｆＥｇ（ｘ）】的　定义域由０≤ｇ（　）≤６，解出　即可得解；　具体解析式，其一般形式为ｙ＝ｆ（ｘ），且无法用数字和字　母表示的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常　将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像　集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和　接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能　力。　２．已知ｆ［ｇ（ｘ）］的定义域为［０，ｂ】，则ｆ（ｘ）的定义域　即是ｇ（　）在　∈［口，ｂ】上的值域。　二、抽象函数的值域　解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法　则决定。　解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象　思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考　例２若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋１）的值域为［一ｌ，１］，求ｙ＝（３ｘ＋２）　的值域。　题中不断出现，在２００９年的全国各地高考试题中，抽象　函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手　解析：因为函数ｙ＝ｆ（３ｘ＋２）中的定义域与对应法则　与函数ｙ＝ｆ（ｘ＋１）的定义域与对应法则完全相同，故函数　无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要　考查的内容及其解法。　一ｙ＝ｆ（３ｘ＋２）的值域也为［一１，１］。　三、抽象函数的奇偶性　一、抽象函数的定义域　般地，抽象函数：ｙ－－ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）、ｒ－－ｆ［ｇ（　）］的奇偶性　例１已知函数ｆ（ｘ）的定义域为［１，３］，求函数　）＝　＋口）　一０）（口＞０）的定义域。　ｆ　１≤　＋口≤３　ｆ　１－ａ＜￣ｘ≤３一ａ　如下表：　函数　）　偶函数　偶函数　奇函数　奇函数　ｇ（ｘ）　奇函数　奇函数　偶函数　偶函数　ｆ（ｘ）・ｇ　）　Ｉ厂［ｇ　）］　偶函数　奇函数　奇函数　偶函数　偶函数　偶函数　偶函数　奇函数　解析：由｛　＝＝＞｛　由ａ＞Ｏ　１　２　３　４　【１≤　一０≤３　【１＋口≤　≤３＋ａ　知只有当０＜ａ＜ｌ时，不等式组才有解，具体为｛　Ｉ　ｌ＋　ａ＜ｘ≤３－ａ；否则不等式组的解集为空集，这说明当且　仅当０＜ａ＜ｌ时，ｇ（ｘ）才能是　的函数，且其定义域为　（１＋ａ，３一ａ］。　四、抽象函数的对称性　例３已知函数ｙ＝ｆ（２ｘ＋１）是定义在Ｒ上的奇函数，　作者简介：刘小燕，任教于广西钦州市第三中学，刘永铨，任教于北海市第七中学。　园Ｉ　刘小燕①刘永铨②　有关抽象函数的全面探析　函数ｙ＿ｇ（　）的图像与函数　则ｇ（　）＋ｇ（　）的值为（）　Ａ、２　Ｂ、０　Ｃ、１　）的图像关于ｙ＝ｘ对称，　（ｎ≠６）对称，则ｒ＝ｆ（　）是以Ｔ＝２（ｂ—ａ）为周期的周期函　数。　Ｄ、不能确定　，　定理４．若函数　＿，（　）的图像关于点（０，０）与点（６，Ｏ），　（ａ＃ｂ）对称，则ｙ　（　）是以Ｔ＝２（ｂ－ａ）为周期的周期函　数。　解析：由　＋１）求得其反函数为），：　１　Ｉｆ－ｌ（　）一１ｊ・．。ｙ＝ｆ（２ｘ＋１）是奇函数’．．．ｙ＝　１　）一１】也是奇函数，　定理５．若函数　）的图像关于直线　与点（６，０），　’．．　÷　（－ｘ）－ｉ］。．　．　（　）＝２　１，．ｔ１（　）－２（　）＋１，而函　（口≠６）对称，则ｙ　（　）是以Ｔ＝４（ｂ—ａ）为周期的周期函　数。　数ｙ＝ｇ（ｘ）的图像与函数ｙ　）的图像关于ｙ＝ｘ对称，　性质１：若函数　）满足，（ｎ—　）　Ⅱ＋　）及　６一　）＝　‘．．ｇ（　）＋ｇ（　）＝ｆ－　（　）＋ｆ－　（　）＝（２ｙ十１）＋［２（．，，）＋１］－－２，故选Ａ。　６　）（ａ＃ｂ，ａｂ≠０），则函数，（　）有周期２（ａ－ｂ）。　五、抽象函数的周期性　性质２：若函数，（　）满足，（０　）＝－ｆ（ａ＋ｘ）￣ｆ（ｂ－ｘ）　例４、（２００９全国卷Ｉ理）函数的定义域为Ｒ，若ｆ（ｘ＋１）　＝　ｂ＋ｘ），（口≠６，ａｂ≠０），则函数有周期２（ａ－ｂ）。　与ｆ（ｘ一１）都是奇函数，则（　）　特别：若函数厂（　）满足　ｎ　）　口慨）（口≠Ｄ）且厂（　）　（Ａ）　）是偶函数　（Ｂ）　）是奇函数　是偶函数，则函数Ｉ厂（　）有周期　。　（Ｃ）　）　计２）　（Ｄ）　＋３）是奇函数　性质３：若函数　）满足，（ａ—　）　０帆）及，（ｂ－ｘ）＝　解：‘．’　ｘ＋１）与Ａｘ－１）都是奇函数　６　）（０≠６，ａｂ≠０），则函数有周期４（　６）。　‘．．，（－ｘ＋１）＝　ｘ＋１），　一１）＝　ｘ－１），　特别：若函数，（　）满足　。　）　。帆）（ｏ≠Ｏ）且，（　）　函数＿厂（　）关于点（１，０），及点（一１，Ｏ）对称，函数ｆ（ｘ）　是奇函数，则函数　）有周期　。　是周期Ｔ＝２［１一（一１）］＿４的周期函数。　从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广．能　‘．．／　－ｘ－ｌ＋４）＝＿：厂（　一１＋４），／　－ｘ＋３）＝一ｆ（ｘ＋３）　力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有　即ｆ（ｘ＋３）是奇函数。故选Ｄ　关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。　定理１．若函数　）定义域为Ｒ，且满足条件／（　）＝　，（　—ｂ），则），＿，（　）是以Ｔ＝ａ＋ｂ为周期的周期函数。　参考文献：　定理２．若函数　）定义域为　，且满足条件　＋　［１】陈诚．抽象函数问题分类解析【Ｊ］．数理化学习，２００８（８）　ａ）＝－ｆ　一ｂ），则ｙ＝ｆ（ｘ）是以Ｔ＝２（ａ＋ｂ）为周期的周期函　数。　（作者单位：①广西钦州市第三中学５３００００；　定理３．若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像关于直线　＝口与ｘ＝ｂ　②广西北海市第七中学５３６０００）　Ａ　Ｆｕｌｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ＬＩＵ　Ｘｉａｏｙａｎ　Ｌｉｕ　Ｙｏｎｇｑｕａｎ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｂｓｔｒａｃｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ａ　ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ　ｍｏｒｅ　ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｃａｎ　ｎｏｔ　ｏｎｌｙ　ｃｈｅｃｋ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｂａｓｉｃ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ，ｂｕｔ　ａｌｓｏ　ｃｈｅｃｋ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ　ａｂｉｌｉｔｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ａｂｓｔｒａｃｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎａｌ　ｄｏｍａｉｎ；ｒａｎｇｅ；ｓｙｍｍｅｔｒｙ　中学课程辅导・教学研究