上海市实验中学2019-2020年高一上学期期中质量检测试题考试 数学(含解析)

上海市实验中学2019-2020年高一上学期期中质量检测试题考试

数学

一、填空题

1.设集合M0,1,2,Nx|x3x20，则M2N_____

【答案】1,2 【解析】 【分析】

求出集合Nx1x2，由集合的基本运算“交”即可求解。 【详解】由Nx|x3x20x1x2，M0,1,2，

2所以MN1,2。

.故答案为：1,2

【点睛】本题考查了集合的基本运算“交”，属于基础题。

2.已知xR，命题“若2x5，则x27x100”的否命题是______. 【答案】若x2或x≥5，则x27x100 【解析】 【分析】

根据四种命题的形式，直接写其否命题.

【详解】原命题的否命题是“若x2或x≥5，则x27x100” 故答案为：若x2或x≥5，则x27x100

【点睛】本题考查四种命题的书写形式，属于基础题型，若原命题是“若p则q” 那么否命题：“若p则q”，逆命题：“若q则p”，逆否命题：“若q则p”. 3.函数fxx1的定义域为_____________. x2【答案】xx1且x2



【解析】

要使函数有意义需满足为xx1且x2.

4.已知集合Mx|xx60,Ny|ay20,aR，若满足M2x10得xx1且x2，则函数的定义域为xx1且x2，故答案

x20NN的所有实数a形成

集合为A，则A的子集有个_____ 【答案】8 【解析】 【分析】

求出集合M3,2，由MNN得NM，进而求出集合A，由此能求出A的子集个数。

【详解】集合Mx|xx603,2，由M2NN得NM，

当N时，a0； 当N3时，a2； 3当N2时，a1；

2A1,0,

3A的子集个数有238

故答案为：8

【点睛】本题考查集合的基本关系以及集合的子集个数；若N中有n个元素，则其所有子集的个数为2n，本题属于基础题。 5.设x0，则x【答案】231 【解析】 【分析】

变形利用基本不等式性质即可求出。 【详解】

3的最小值为_____. x1x0，

x333x112(x1)1231， x1x1x131时等号成立。

当且仅当x故答案为：231

【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题。 6.定义ba为区间a,ba,bR,ab的长度．则不等式_____ 【答案】8 【解析】 【分析】

将分式不等式右边化为零、并因式分解后进行等价转化，由穿根法求出不等式的解集。

3x41的所有解集区间的长度和为

x22x4x210x163x413x410， 得20，化简得【详解】由224(x2x)x2x4x2x4即

(x2)(x8)0，等价于x(x2)(x8)(x2)0，如图所示：

4x(x2)

由图可得不等式的解集是(2,0)(2,8)，

不等式所有解集区间的长度和是268

故答案为：8

【点睛】本题考查分式不等式的解法，进行等价转化后，如果出现高次不等式，可运用“穿针引线”法进行求解。

7.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨． 【答案】20 【解析】

400次，运费为4万元/次，一x40040044x)万元，年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为(·4＋4x≥160，xx1600当＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

x【详解】该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

8.已知不等式xm1成立的充分不必要条件是【答案】【解析】

试题分析：由题意得，不等式xm1得m1xm1；因为不等式xm1成立的充分不必要条

≤m≤

11x，则m的取值范围是____________． 321m11411143m，经检验知，等号可以取得，所以m． 件是x，所以{1233223m12考点：充分不必要条件的应用．

9.研究问题：“已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(1,2)，解关于x的不等式

cxbxa0”，有如下解法：由axbxc0ab()c()0，令y221x1x211，则y(,1)，x2所以不等式cx2bxa0的解集为(,1)，类比上述解法，已知关于x的不等式集为(2,1)【答案】【解析】

12kxb0的解xaxc(2,3)，则关于x的不等式

kxbx10的解集为__________. ax1cx1111,,1 2321kkxbx1x0， 则由题设中提供的解法可得：0可化为解析：关于x的不等式

11ax1cx1acxx1111kxbx1(2,1)(2,3)x(,)(,1)，则关于x的不等式0的解集为x232ax1cx1111111(,)(,1)，应填答案(,)(,1)。 232232b

f(1)的

f(0)f(1)210.已知函数f(x)axbxc(02ab)对任意xR恒有f(x)0成立，则代数式

最小值是___________． 【答案】3 【解析】

fx）ax2bxc0 恒成立，0＜2a＜b，【详解】因为xR，（ 所以 0＜2a＜b ，得2＝b4ac0b2 又02ab，所以c 所以 ，b4ac，4a2b2abcabcab4a24abb24a24abb2 ＝ 4af0f(1)c(abc)baba4a(ba)4ab4a2f1设tb，由0＜2a＜b 得，t＞2，则a44tt2(t1)26(t1)9191（[t1）6]663，当且仅当

f0f(1)4(t1)4(t1)4(t1)4f19t1＝ 时取等号，此时t4， 取最小值是3，

f0f1t1故答案为3．

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，以及换元法，其中对所求式子的恒等变形是解题的关键和难点，属于难题． 二、选择题

11.若a、b、c∈R，则下列命题中正确的是（ ） A. 若ac>bc，则a>b C. 若

B. 若a2>b2，则a>b D. 若af111

，则a>b ab

b，则a>b

【答案】D 【解析】

若ac>bc，则c>0时 a>b；若a2>b2，则|a|>|b|；若以选D.

12.集合Mx|x4且xN，Px|xab,a,bM且ab，P的真子集个数是（ ）

11，则a>b或a<0b，所ab

A. 63 【答案】B 【解析】 【分析】

利用已知条件求出集合P，然后可得真子集个数

B. 127

C. 2171

D. 2201

【详解】因为Mx|x4且xN，Px|xab,a,bM且ab， 所以P0,2,3,4,6,8,12，

所以集合P的真子集个数为：271127 故选：B

【点睛】本题考查集合的求法、真子集的个数问题，较简单，若N中有n个元素，则其所有子集的个数为

。22n。

13.已知命题：“若k1，则关于x不等式k4xk2x10的解集为空集”，那么它的逆

2命题，否命题，逆否命题，以及原命题中，假命题的个数是（ ） A. 0 【答案】B 【解析】 【分析】

B. 2

根据不等式的解集是空集求出对应的等价条件，然后根据四种命题之间的关系利用逆否命题的真假关系进行判断即可

22【详解】若(k4)x(k2)x10的解集为空集， 当k240，即k2时，

当k2，则不等式等价为4x10得x当k2，则不等式等价为10，解得集合为空集，满足条件。

2若k2，若不等式的解集是空集，则k240且(k2)4(k4)0， 即2k2且2k的C. 3

D. 4

1，解集不是空集，不满足条件。 4266，所以2k， 556， 522即不等式(k4)x(k2)x10的解集为空集的等价条件为2k

即原命题等价为若k1，则2k原命题的逆命题等价为若2k命题中假命题的个数为2个。 故选：B

【点睛】本题考查四种命题真假的判断，需掌握原命题与逆否命题是“同真同假”，属于基础题。 14.对于非空实数集A，定义Az|对任意xA,zx．设非空实数集CD,1．现给出以下

6，即原命题成立，则命题的逆否命题为真命题， 56，则k1，则逆命题为假命题，则命题的否命题为假命题，故四种5命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有DC；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有CD；

（4）对于D；

任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的bC，恒有abD．以上命题正确的个数是（ ） A. 1 【答案】B 【解析】 【分析】

根据题干新定义Az|对任意xA,zx，通过分析举例即可判断。

B. 2 C. 3 D. 4

【详解】（1）对任意dD，根据题意，对任意xD，有dx，因为CD，所以对任意的cC，一定有dc，所以dC,即DC，（1）正确； （2）如C(,0)D，则C0,，但C（2错误； D，

（3）如C,0D，则D0,，但CD0,（3）错误；

（4）首先对任意集合A，由定义知A一定有最小值，又由（1）DC，设C，D的最小值分别为c,d，即Cc,,Dd,，只要取adc

则对任意的bC，abdcbd(bc)d，即 abD，（4）正确； 所以（1）(4)正确 故选：B

【点睛】本题是新定义概念题，考查集合的性质，需有比较强的理解能力。 三、解答题

15.记关于x的不等式1（1）若a3，求P；

（2）若PQQ，求正数a的取值范围． 【答案】（1）P(1,3) （2）0,1 【解析】 【分析】

（1）当a3时，分式不等式化为

a10的解集为P，不等式x23的解集为Q. x1x30，结合分式不等式解法的结论，即可得到解P。 x1（2）由含绝对值不等式的解法，得Q(5,1)，并且集合P是Q的子集，由此建立不等式关系，即可得到正数a的取值范围。 【详解】（1）a3时，1a14x30，即10，化简得0，即(x3)(x1)0，所以x1x1x11x3， 所以不等式的解集为(1,3)

由此可得P(1,3)。

（2）Qxx23x3x23x5x1，可得Q(5,1),

a1Px10(1,a)，又PQQ，得PQ， a0,x1(1,a)(5,1)，由此可得0a1，即正数a的取值范围是0,1。

【点睛】本题给出分式不等式和含有绝对值的不等式，求两个解集并讨论它们的包含关系，着重考查了分式不等式的解法、含有绝对值的不等式的解法和集合包含关系的运算等知识，属于基础题。 16.已知a0,b0，求证：【答案】见详解 【解析】 【分析】

利用基本不等式可得【详解】

ba112． 2ababb111a122，，相加即可证明结论。 22abaabba0,b0，

b111a122，， 22abaabbb11a112222， abababba1122 abab【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键。

17.某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成10%），售出商品数量就增加

8x成，要求售价不能低于成本价． 50（1）设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yfx，并写出定义域； （2）若该商品一天营业额至少10260元，求商品定价应在哪个范围． 【答案】（1）f(x)20(10x)(508x)；定义域0,2 （2）x 【解析】 【分析】

（1）根据营业额=售价售出商品数量，列出解析式，再利用售价不能低于成本价，列出不等式，求出x的取值范围。

（2）根据题意，列出不等式，求解即可。 【详解】（1）根据题意，

1x2 2x8)100(1x)20(10x)(508x)； 1050x又售价不能低于成本价，100(1)800，计算得出0x2，

10f(x)100(1所以f(x)20(10x)(508x)，定义域0,2。

（2）根据题意，20(10x)(508x)10260，化简得：8x230x130 计算得出

113x， 24所以x的取值范围为x1x2。 2【点睛】本题考查利用函数知识解决应用题及解不等式的有关知识，新高考中的重要理念就是把数学知识

运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键。 18.设a为实数，函数fxaxax,xR． （1）求fx的解析式；

（2）若f12，求a的取值范围；

（3）当0x1时，求fx的最大值ga． 【答案】（1）f(x)xxa(xR) （2）(,1)(3,)

1a(a222)2a(222a2) （3）g(a)4a1(a2) 【解析】 【分析】

（1）用换元法求f(x)的解析式。 （2）解关于a的绝对值不等式即可。

（3）转化函数为分段函数，每一段求得最值，三段中取最大的。 【详解】（1）令xat，

xta，f(t)tta，

f(x)xxa(xR)

（2）

f12，1a2，a12或a12，

a3或a1，

a的取值范围为(,1)(3,)。

x2axf1(x)(xa)（3）f(x)2，

xaxf2(x)(xa)当a0时，f(x)在0,1单调递增，

fmax(x)f(1)1a；

当a0时，f(x)的图像如图：

\\

1：当

0a1时，即a2时， 2fmax(x)f2(x)12aa1

a2a222：由f1(x)，x≥a 得xax0，

440x(12)a， 2(12)a （舍去）， 2xa，xx(12)a， 2a2a(12)a当1时，即222a2时，fmax(x) 42230：当(12)a1时，即0a222， 2fmax(x)f1(x)1a，

1a(a222)2a(222a2) 综上所述，g(a)4a1(a2)【点睛】本题考查换元法求解析式、绝对值不等式的解法、分段函数求最值，属于综合题。 四、附加题

19.已知集合Aa1,a2,...,an,aiR,i1,2,...,n并且n2．定义TA1ijnajai（例如：

1ij3ajaia2a1a3a1a3a2）．

（1）若A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，M1,2,3,4,5，集合A的子集N满足：NM，且

TMTN，求出一个符合条件的N；

（2）已知集合Aa1,a2,...,a2m满足：aiai1,i1,2,...,2m1,m2，a1a,a2mb，其中a,bR为给定的常数，求TA的取值范围． 【答案】（1）N6,7,8,9,10 （2）(2m1)(ba)T(A)m(ba) 【解析】 【分析】

（1）根据新定义即可求出答案。

（2）利用题干中的新定义把T(A)(2m1)(ba)(2m3)(a2m1a2)再有aiai1，a1a,a2mb可知任意两项之差均在(0,ba)之间， 由放缩法即可求出T(A)的取值范围。

【详解】（1）由于A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，M1,2,3,4,5，

所以N6,7,8,9,10，N5,6,7,8,9,，N4,5,6,7,8,，N3,4,5,6,7,，

2(am1am)

N2,3,4,5,6,，回答其中之一即可。

（2）

由于m2，T(A)(a2a1)(a3a1)(a4a1)(a2ma1)

(a3a2)(a4a2)(a2ma2)(a4a3)amam1(a2ma3)(a2ma2m1)

(2m1)a1(2m3)a2(2m3)a2m1(2m1)a2m (am1am)

(2m1)(a2ma1)(2m3)(a2m1a2)(2m1)(ba)(2m3)(a2m1a2)由于

(am1am)

0a2m1a2ba0a2m2a3ba0a2m3a4ba 0am1amba 所以

(2m1)(ba)T(A)m2(ba)

【点睛】本题是新定义题目，需对题干的定义充分理解；同时也考查了放缩法求式子的取值范

围，综合性比较强。

220.设函数f(x)axbxc（a≠0）满足f(0)2，f(2)2，f(2)2，求当x[2,2]时

y|f(x)|的最大值．

【答案】

5 2【解析】

cf0cf0f2f22f0【详解】解：由题意知4a2bcf2，解得a，

84a2bcf2f2f2b4从而当x2,2时，

yfxf2f22f08x2f2f24xf0

x22xx22x4x2f2f2f0

884

x22xx22x4x2．.

442x22xx22x因为x2,2时0，从而

44x22xx22x4x2x22xx22x4x2fx

442442x2x2．

2x2x25易知当x0,2时x2x2

222x2x25当x2,0时x2x2得

222x25maxfxmaxx2． x2x22212xx2，则f2f2f02． 255故该函数满足题设条件且在2,2上能取到最大值．因此yfx的最大值为．

22最后取fx